Это предложение недоказуемо. - раздел Философия, ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ Допустим, Что Данное Предложение Ложно. То Есть Неверно, Что Оно Недоказуемо....
Допустим, что данное предложение ложно. То есть неверно, что оно недоказуемо. Следовательно, оно доказуемо. Притом оно истинно, поскольку, допустив, что оно ложно, мы получим противоречие. Но от этого не легче. Мы доказали, что наше предложение истинно, а в истинном предложении утверждается то, что есть на самом деле, то есть что предложение недоказуемо. Иначе сказать, мы доказали недоказуемое. Где ошибка?
Причина в недостаточной определенности самого понятия доказуемости. Общее понятие доказуемости отсутствует, и можно говорить лишь о доказуемости относительно конкретной системы1. Но здесь мы выходим ко 2-й теореме Геделя.
Возникает вопрос, не является ли факт неполноты теории выражением ее противоречивости? Доказательством 2-й теоремы Ге-дель осветил и эту проблему, определив границы непротиворечивости формализованной системы. Формализованная арифметика не обязательно должна быть противоречивой. Но если она непротиворечива, утверждает Гедель, то не существует доказательства ее непротиворечивости, которое можно было бы провести средствами, формализуемыми в этой системе. Таким образом, дело не в том, что вообще нельзя доказать непротиворечивость арифметики. Невозможно такое доказательство непротиворечивости, которое могло бы быть отображено (переведено) в формальное доказательство, проводимое в самой формализованной арифметике, на языке данного исчисления.
Безусловно, выводы Геделя имеют более широкое, чем критика формализма, применение. Теоремы выявили ограниченность под-
__________________
1 Подробнее см.: Смаллиан Р. Как же называется эта книга? М., 1981. С. 237-238.
ходов школы Гильберта. Замыкая проблему обоснования математики на самой математике, формализм подменил вопрос об истине ее утверждений требованием непротиворечивости. Но не все сводимо к синтаксису знаков (например, чисел) и их соединению в формулы. На развитие математики оказывают влияние проблемы, связанные с выяснением предметного значения символов и их сочетаний (формул), а также вопросы практического назначения знаков, использование достижений математики в прикладных аспектах, в решении конкретно-научных, производственных, технологических и т. п. задач. Короче, наряду с синтактикой выполняют важную роль также семантика и прагматика.
Б. Рассел так охарактеризовал эту ситуацию: формалист, писал он, подобен тому часовому мастеру, который настолько поглощен тем, чтобы лучше выглядели часы, что забывает об их назначении показывать время.
Тем не менее вопреки выводам Геделя Д. Гильберт (как и многие математики) продолжал верить в осуществимость своей программы и не считал, что потерпел поражение, продолжая работу по исследованию темы1.
Сложилась характерная ситуация. Ряд математиков, признавая правоту Геделя, в то же время сомневались в том, что математическую логику удастся привести к совершенству, когда она могла бы обнять всю математику единой формальной системой, наподобие той, что демонстрирует Гедель. Подспудный смысл таких настроений выдает сопротивление стремлениям сузить компетенции математического мышления, тем самым обеднив его. Как заметил современный американский математик П. Коэн, жизнь была бы приятней, не будь гильбертовская система потрясена теоремой Геделя.
Вместе с тем следует признать, что выводы Геделя (как и ряд аналогичных теорем – А. Тарского, А. Черча и др.) не означают признания ущербности формальных систем. И хотя они указывают границы применимости формализмов, только на этом их значение не замыкается. На основе указанных решений удалось раскрыть существенные аспекты многих содержательных понятий – напри-
__________________
1 Не случайно, что в надгробии могилы Гильберта высечено:
Wir müssen wissen.
Wir werden wissen.
(Мы должны знать.
Мы будем знать.)
Слова, остававшиеся девизом его жизни.
мер «истинность», «доказуемость», «логическое следование». Скажем, разработка Тарским проблемы истины в формализованных языках внесла большой вклад в теорию истины.
В связи с этим уместно напомнить о методологической функции запретов в науке, одним из которых и является теорема Геделя.
Обращаясь к этой теме, Н. Овчинников подробно прослеживает историю науки под углом плодотворности действия запретов на эволюцию знаний, начиная с исторически первого запрета – принцип атомизма (нельзя разделять, дробить и т. п. частицы вещества, из коих состоит мир) и до современных запретов. По сути, каждый крупный шаг в развитии знания, особенно точного, связан с выдвижением новых запретов, а теоретические построения без запретов не могут претендовать на научность1. Напрашивается мысль рассуждения Овчинникова резюмировать следующим образом. В научном познании настойчиво проявляют себя различные варианты запретов, играющие важные методологические и эвристические роли. Постоянно витает, говоря словами К. Поппера, «интуитивная идея, суть которой в том, что утверждения или теории говорят тем больше, чем больше их запрещают или исключают» 2.
Специально же тема позитивного запретительного значения теорем Геделя рассматривается А.Н. Паршиным3.
Также отмечая позитивную методологическую роль запретов (закон сохранения энергии, ограниченность скорости света в теории относительности, принцип неопределенности Гейзенберга и др.), Паршин делает следующий вывод. Согласно Геделю, если мы хотим формализовать истину, мы не сможем этого сделать ни на каком данном этапе и будем только гнаться за формализацией. Следовательно, мы имеем дело с фактом расширения построенной нами формализованной системы. Поэтому можно формализовать некий добытый результат, но для добывания новых результатов необходимо раз за разом уходить от полученного формализма.
__________________
1 В частности, по поводу принципов атомизма кто-то из физиков заметил: «Если бы вся научная информация погибла, то, располагая лишь единственной гипотезой об атомистическом строении вещества, можно было бы восстановить всю науку».
2 См.: Овчинников Н.Ф. Знание – болевой нерв философской мысли // Вопросы философии. 2001. № 2. С. 124-151. Цит. там же. С. 145.
3 См.: Паршин А.Н. Размышления над теоремой Геделя // Вопросы философии. 2000. № 6. С. 92-109.
Высокую оценку открытию Геделя дает фон Нойман, один из лидеров формалистского направления. Вклад Геделя в логику поистине фундаментален. Это больше, чем монумент. Это веха, разделяющая две эпохи, ибо открытие Геделя изменило предмет логики как науки.
Более того, выводы Геделя имеют не только логическое и не только общенаучное значение, но, как считают исследователи, они открывают возможность постижения природы человеческой мысли и даже самой жизнедеятельности. Так, А. Паршин пишет: «Теорема Геделя показывает не просто ограниченность логических средств, она говорит о каком-то фундаментальном, глубинном свойстве мышления и, может быть, жизни вообще»1.
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ... А К Сухотин...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Это предложение недоказуемо.
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Определение философии. Разброс значений
Существует масса определений философии: от попыток, отлучающих ее от корпуса наук, до признания философии наукой наук.
Распространено убеждение (и не только по причине пред
Функции философии в их отношении к математике
Обычно выделяют два функциональных назначения философии – мировоззренческое и методологическое. Под мировоззрением понимается взгляд на мир и определение места человека в мире.
Философия в математике. Констатации и оценки
Тезис о взаимных влияниях математики и философии хотелось бы подкрепить высказываниями самих ученых.
Еще Платон считал математику необходимым введением в философию. Недаром
Математический объект как абстракция от абстракции
Нередко особенность математического знания видят в том, что оно оперирует понятиями высокой степени абстрактности, благодаря чему его объекты носят очень общий характер, выражая сам
Математика – наука об отношениях
Лишая свои объекты каких-либо вещественных характеристик, абстрагируясь от любых материальных, природных свойств, математика все же что-то им оставляет, иначе она не могла бы соотно
Проблема свободы математического творчества
Определив математику как науку об отношениях, немедленно сталкиваемся с вопросом, а чем или, может быть, кем задаются отношения?
В естествознании отношения, то есть законы
Знак и значение
Специфика математики, ее объектов остро задевает вопрос о математических знаках. Что они обозначают, что за ними скрывается? Мы выходим к общей проблеме – знак и значение, как они п
Проблема существования математического объекта
Этот вопрос закономерен в силу специфики математики, не являющейся описанием вещей. Венгерский математик А. Реньи ставит проблему так. Врач изучает болезни, астроном – звезды и т.п.
Концепция языковых каркасов Карнапа и два языка математики
Любая научная теория оперирует, как уже отмечалось, не непосредственно объектами природы, а их концептуальными отображениями в понятиях. Последние находятся поэтому в двойном подчин
Математика и объективный мир. Пифагорейский синдром
Выключение философского аспекта при решении собственно математических проблем не означает отказа вообще обсуждать философские темы математики, ее языка. Надо только не привносить од
Принцип дихотомии знания
Научное знание разбивают по способу установления истины на два взаимоисключающих класса – по принципу дихотомического деления (от греч. dicha и tome – сечение на две части), когда о
Математика как язык науки
Представляя собой тип формального знания, математика занимает особое место в отношении наук фактуального профиля. Она оказывается хорошо приспособленной для количественной обработки
Математическая методология
Место математики в системе наук определяется также тем, что она' играет для других дисциплин и роль методологии. И не только в отношении естествознания, но и для наук социального, г
Понятие обоснования математики
Под обоснованием математики понимают демонстрацию возможности существования объектов ее теории и возможной истинности предложений об этих объектах. Иначе говоря, это вопрос о соотно
Программа логицизма
Лидеры логицизма (Г. Фреге, Б. Рассел и др.) видели основания математики в логике. Вообще, возможны четыре типа соотношения математики и логики: 1) математика – часть логики; 2) лог
Этап арифметизации.
По существу, он был завершен до появления программы логицизма, однако, как выяснилось позднее, работал на нее. В известной мере это относится и к этапу аксиоматизации арифметики, хотя проводивший в
Второй этап – аксиоматизация арифметики.
Далее встает задача представить в минимуме понятий сам натуральный ряд, то есть вывести (указав правила перехода) из исходных, простейших элементов всю совокупность целых чисел. Аксиоматизацию начи
Причина неудач
Выполнение замысла логистов близилось к концу: оставалось лишь выровнять шероховатости, чем и занялся Г. Фреге, который, как пишут авторы известной книги «Основания теории множеств»
Философская оценка
В реализации логицистской программы ее творцы то и дело выходили на философию, без привлечения которой процедура сведения математики к логике выглядела незавершенной и сами логическ
Интуитивистская альтернатива
Все беды обоснования интуиционизм видит не собственно в логике (в несовершенстве ее аппарата), а в самой математике и именно в неточном использовании ее понятий, прежде всего – поня
Ограниченность интуиционизма
Логико-математические идеи интуиционистов тесно переплетены с известными философскими установками, которые выдают их во многом односторонне-субъективное происхождение.
Поск
Конструктивная ветвь
Попытки спасти интуиционистские идеи и начинания, развить далее оригинальные и продуктивные мысли предприняли сторонники конструктивного течения. Продолжая традицию интуиционистског
Программное заявление
Кризисные явления в математике, заставившие обратиться к ее обоснованиям, и трудности, вставшие перед логицистами, породили наряду с интуиционизмом еще одно течение – формализм. Пер
Результаты Геделя
В 1931 г. 25-летний австрийский математик Венского университета Курт Гедель (позднее, после аншлюса, эмигрировавший в США) доказал теоремы, из которых следовало, что программа Гильб
Итоги исканий
Анализ рассмотренных основных направлений философского обоснования математики показывает, что ни одно из них не принесло удовлетворяющего решения. Вместе с тем каждое, внося что-то
Новые подходы
Были отмечены результаты, полученные ведущими течениями в области обоснований математики. Но это, так сказать, содержательный аспект исканий. Вместе с ним наметилось и другое.
Обоснование в свете эволюции математики
Обзор классических, если можно так сказать, направлений (логицизм, интуиционизм и конструктивизм, формалистское течение) и современных подходов (аксиоматический и теоретико-категори
Истина в формализованных языках
Современные подходы к проблеме истины наряду с традиционной гносеологической истиной (соответствие объекту вне нас) выделяют также онтологическую (истина бытия, то есть его изначаль
Критерий выводимости и понятие корректности
Являясь совокупностью формализованных языков, математика представляет собой область, в которой реализуется разработанное А. Тарским понятие истины. Напомним, что это так называемый
Математика и методы схоластики
В характере математического строя мышления и в принципах схоластических рассуждений есть немало общих черт. Мы уже отмечали ранее их тематические точки касаний. Здесь хотелось бы ос
Математическое доказательство
Теория доказательства разработана в логике и включает три структурных компонента: тезис (то, что предполагается доказать), аргументы (совокупность фактов, общепринятых понятий, зако
Принципы построения дедуктивных теорий
Дедуктивный путь рассуждения как выведение отличается от индуктивного как наведения (от лат. inductio) рядом особенностей.
Дедуктивный вывод является принудительным, его пр
Критерии «внешнего» оправдания
Как и любая наука, математика руководствуется определенными критериями принятия оперируемыми высказываниями в качестве истинных. Необходимо говорить о внутренних и внешних оправдани
Вторичные показатели истины
В силу особой природы математики, где эмпирические критерии истины не участвуют в поиске, их оправдательная функция реализуется, как мы пытались это осветить в последнем параграфе п
Критерии «внутреннего совершенства». Эвристика
Далее мы хотели бы рассмотреть эвристические возможности вторичных показателей истины. Эвристика (от греч. «эврика» – Я нашел) – наука о вспомогательных, дополнительных к основным (
Quot;x(Sx®Px) ® (Px®Sx).
Однако, как нами уже отмечено, подобное умозаключение некорректно. Проиллюстрируем это более прозрачным примером: на основании того, что, скажем, все космонавты спортсмены, вовсе не следует, что вс
Базисные определения. Расстановка позиций
Творческая деятельность математика осуществляется в режиме логического и интуитивного поиска, которые сочетаются на основе принципа дополнительности в боровском смысле.
По
Понятие формализации
Под формализацией понимается специфический прием исследования, назначение которого состоит в том, чтобы уточнять знание посредством выявления его формы (способа организации, структу
Эвристика. Формализация как прием получения нового знания
Наличие глубокого единства формы и содержания, фактов перехода одного в другое и становится основанием использовать процедуру формализации как прием, как метод выявления нового соде
Границы и издержки формализации
Рекомендуя метод формализации к методологическому использованию, стоит отметить некоторые негативные сопровождения, характеризующие этот прием.
Прежде всего, напомним о рез
Проблемная ситуация и алгоритм метода
Обратимся еще к одному методу, широко применяемому в математическом творчестве. Более того, своими корнями он уходит в математику, появившись именно в ней и находя в ней наиболее ад
Преимущества общего подхода
Почему же разработка общих методов оказывается столь эффективной?
Вначале уточним, что имеют в виду, говоря об общем в науке, познании. Общее – не просто свойство, присущее
Эвристика
Метод обобщающей переформулировки проблемы может выступать эффективным эвристически-вспомогательным орудием математического поиска, подспорьем в научных поисках. В трудах математико
В СОЦИАЛЬНОМ ИЗМЕРЕНИИ
Математика занимает особое место в системе общественных ценностей.
По существу она во все времена определяла лицо науки, ибо, как заметил А. Пуанкаре, окончательная идеальн
МАТЕМАТИКА: СПЕЦИФИКА, МЕСТО В СТРУКТУРЕ НАУКИ
Глава 1. Предметная область философии математики 5
1. Определение философии. Разброс значений 5
2. Функции философии в их отношении к математ
ФИЛОСОФСКИЕ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
Глава V. Проблемы обоснования математики и ее решение логицизмом 72
1. Понятие обоснования математики 72
2. Программа логицизма 76
3
Новости и инфо для студентов