Дискретний випадковий вектор - Конспект, раздел Философия, Конспект лекцій з курсу ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ ТА ЕЛЕМЕНТИ Y
X
Y1
...
Y
X
y1
y2
...
ym
x1
p11
p12
...
p1m
x2
p21
p22
...
p2m
...
...
...
...
...
xn
pn1
pn2
...
pnm
Якщо обидві координати вектора є дискретними випадковими величинами, то вектор називають дискретним випадковим вектором. Дискретний випадковий вектор задається набором значень (xk; yj) та ймовірностями pkj=P{X=xk,Y=yj}, з якими ці значення приймаються. Дискретний випадковий вектор, як правило, задають таблицею розподілу.
Ясно, що сума всіх ймовірностей pkj дорівнює одиниці.
У таблиці розподілу випадкового вектора міститься вся інформація про нього. Зокрема, ця таблиця дозволяє знайти розподіл координат вектора.
Оскільки подія {X=xk} складається з суми попарно несумісних подій {X=xk,Y=y1}, {X=xk,Y=y2},..., {X=xk,Y=ym}, то щоб одержати розподіл ймовірностей pk випадкової величини X потрібно просумувати ймовірності pkj, які стоять у k-му рядку таблиці:
pk = P{X=xk} = pk1+ pk2+...+pkm . (1)
При сумуванні ймовірностей pkj по стовпцях знаходимо розподіл ймовірностей випадкової величини Y.
Y
X
-2
-1
0.15
0.05
0.25
0.35
0.2
Приклад 1. Знайти розподіл координат випадкового вектора , заданого таблицею розподілу:
Розв’язок. На підставі формули (1) одержуємо розподіли координат X та Y:
X
Y
-2
-1
P
0.45
0.55
P
0.5
0.25
0.25
Виникає запитання: чи завжди можливо за розподілом координат знайти розподіл вектора? Виявляється, що відповідь на це питання негативна.
Введемо подібно до умовної ймовірності поняття умовного розподілу
. (2)
Випадкові величини X та Y називаються незалежними тоді, коли при всіх значеннях k та j справедливі співвідношення
.
Випадкові величини X та Y незалежні тоді і тільки тоді, коли при всіх значеннях k та j виконується рівність
.
Іншими словами, двовимірний розподіл вектора відновлюється по одновимірних розподілах його координат лише у тому випадку, коли координати вектора є незалежними випадковими величинами.
Приклад 2. В умовах прикладу 1 знайти умовні розподіли та з’ясувати питання про те, чи є випадкові величини X та Y залежними.
Розв’язок. На підставі формули (2) знайдемо умовний розподіл X при Y=2:
.
Аналогічно одержуємо умовний розподіл при Y= –1 та Y=2:
,
.
Випадкові величини X та Y є залежними, наприклад, тому що
ХАРКІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ БУДІВНИЦТВА ТА АРХІТЕКТУРИ... Конспект лекцій з курсу...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Дискретний випадковий вектор
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Передмова
Конспект лекцій підготовано для студентів технічних ВУЗ’ів. При його створенні ставилася задача відібрати матеріал, який можна викласти за час, відведений учбовим планом на курс теорії ймовірності
Первісні поняття. Подія
Теорія ймовірностей вивчає математичну модель випробування (досліду, експерименту), наслідок якого неможливо передбачити. При цьому припускається, що таке випробування може бути повторено необмежен
Частота та ймовірність випадкової події
Ймовірність події A – це число, яке характеризує можливість (долю впевненості) появи цієї події в розглядуваному випробуванні (досліді, експерименті). Іноді ймовірність того чи іншого резуль
Аксіоми ймовірності та її властивості.
Означення 1. Ймовірністю називається числова функція P(A), визначена на множині всіх подій, пов’язаних з даним експериментом, яка задовольняє таким аксіомам:
1. P(A) ³ 0;
2.
Умовна ймовірність
Нехай АтаB є подіями, пов’язаними з деяким випробуванням і P(B)>0.
Означення 1. Умовною ймовірністю P(АïB) події А за умови здійснення події B називається відношення
Формула повної ймовірності
Часто для вивчення випробування, з яким пов’язана подія A, корисно ввести до розгляду події Hk, дл
Класичне означення ймовірності
Розглянемо випробування, простір якого складається з N точок (випробування із скінченою кількістю наслідків). Якщо ймовірності елементарних подій відомі, то ймовірність будь-якої події A у випробув
Комбінаторні методи підрахунку кількості наслідків
Для того, щоб знайти ймовірність події за формулою (1), потрібно знати і загальну кількість наслідків випробування і число наслідків, які сприяють настанню цієї події. Суттєву роль при підрахунках
Асимптотичні формули для схеми Бернуллі.
Формула (1) приводить до громіздких обчислень при великих значеннях n і k, а також при малих значеннях p або 1– p. Тому, доцільно мати наближені, але прості формули для розрахунку відповідних ймові
Випадкова величина та її функція розподілу
Означення 1. Одновимірною випадковою величиною називається величина, значення якої залежить від наслідку експерименту (інакше кажучи, випадковою величиною називається числова функція, яка визначена
Дискретні випадкові величини
Випадкова величина X називається дискретною, якщо: 1) сукупність її можливих значень можна перерахувати – x1, x2,..., xn (або x
Неперервні випадкові величини
Випадкова величина X називається неперервною, якщо: 1) множина її значень співпадає з проміжком (кількома проміжками) числової осі; 2) ймовірність того, що випадкова величина набуває будь-як
Перетворення розподілів
Нехай розподіл випадкової величини X є відомим. Потрібно знайти розподіл випадкової величини Y, яка пов’язана з функціональною залежністю Y=g(X) (Y приймає значення g(
Функція розподілу випадкового вектора
Якщо кожний наслідок випробування задається упорядкованою сукупністю n випадкових величин, то прийнято говорити про n-вимірний випадковий вектор. Виявляється, що для повного опису ви
Неперервний випадковий вектор
Випадковий вектор називається неперервним, якщо його координати X та Y є неперервними випадкови
Закон розподілу суми випадкових величин
Теорема. Нехай випадкові величини X та Y незалежні та мають щільності ймовірностей pX(x) і pY(y). Тоді щільність ймовірності випадков
Ентропія і інформація
Нехай – випадковий вектор.
Означення 1. Інформацією, яка міститься в координаті Y по відношен
Стійкість середнього арифметичного
Повну інформацію про випадкову величину дає її розподіл ймовірності. Проте часто експериментатор не володіє такою інформацією, та вона і не є необхідною. Досить охарактеризувати випадкову величину
Математичне сподівання випадкової величини
Означення 1. Математичним сподіванням випадкової величини X називається число MX, яке в залежності від типу випадкової величини визначається формулою
Кореляційний момент випадкових величин
Означення 1. Кореляційним моментом (кореляцією, коваріацією) K(X,Y) випадкових величин X та Y називається число
K(X,Y)=M
Дисперсія випадкової величини та її властивості
Після того, як математичне сподівання випадкової величини знайдено, виникає питання, наскільки сильно значення випадкової величини відхиляється від математичного сподівання. Характеристикою ступен
Дисперсія суми випадкових величин
Теорема. 1) Якщо випадкові величини X та Y корельовані (отже, залежні), то
D(X+Y)=DX+DY+2K(X,Y); (4)
2) Якщо випадкові вели
Нерівність П.Чебишева
Нерівність П.Чебишева встановлює верхню межу для ймовірності відхилення випадкової величини від її математичн
Регресія
Якщо ми знаємо розподіл однієї координати випадкового вектора при умові, що інша координата приймає певне значення, то можна ввести поняття умовного математичного сподівання.
Означення 1.
Теорія масового обслуговування.
Ця теорія є одним з найважливіших розділів прикладної теорії ймовірності. Теорія масового обслуговування вивчає функціонування систем, у які поступають виклики (вимоги) на обслуговування. Моменти н
Найпростіші задачі теорії надійності
Головне питання теорії надійності полягає в визначенні ймовірнісних характеристик працездатності системи, якщо відома її структура і ймовірносні характеристики працездатності окремих елементів.
є дискретними випадковими величинами, то вектор 
, заданого таблицею розподілу:
. (2)
.
.
та з’ясувати питання про те, чи є випадкові величини X та Y залежними.
.
,
.
.
Новости и инфо для студентов