Реферат Курсовая Конспект
О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ НЕПРЕРЫВНЫХ СИГНАЛОВ - раздел Философия, УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ Системный анализ в логистике Частотно-Временное Представление Сигналов Известно, Что Некоторая Фу...
|
ЧАСТОТНО-ВРЕМЕННОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ
Известно, что некоторая функция x(t) и ее спектр X() однозначно выражаются друг через друга (см. формулы (8) и (9) п. 5.4). Следовательно, сигнал можно рассматривать в любом из этих эквивалентных представлений — временном или частотном. При этом масштабные параметры этих представлений связаны обратно пропорциональной зависимостью. Пусть x(t) имеет спектр X(). Изменим масштаб по оси времени в а раз (например, воспроизведем запись x(t) с другой скоростью) и найдем спектр функции x(at):
. (1)
Масштаб по частотной оси изменился в 1/a раз. Более того, из свойств преобразования Фурье следует, что сигналы с ограниченной длительностью имеют спектры неограниченной ширины, а сигналы с ограниченной полосой частот длятся бесконечно долго.
Этот математический результат находится в противоречии с практикой: в реальности все сигналы конечны по длительности, а все чувствительные к сигналам устройства не могут воспринимать и воспроизводить абсолютно все частоты. Например, диапазон частот, к которым чувствителен слух человека, простирается от нескольких герц до 20 — 30 кГц, а все различимые звуки человеческой речи длятся доли секунды.
Говорить об одновременной ограниченности сигналов и по времени, и по спектру оказывается возможным при использовании энергетического критерия точности: сигнал считается имеющим конечную длительность Т, если в этом интервале времени сосредоточена основная часть всей энергии функции x(t); в то же время и ширина спектра F сигнала определяется как область частот, содержащая эту же часть всей энергии спектра X():
, (2)
Здесь величина меньше единицы, но достаточно близка к ней, а величина 1- характеризует косвенным образом точность, о которой шла речь.
Теперь можно говорить о том, какую "площадь" на плоскости "частота — время" занимает тот или иной сигнал. Если строго, следовать теории Фурье-преобразований, то получим, что эта площадь для всех сигналов бесконечна, но для большинства из них энергетический критерий позволит ограничить ее естественным образом (рис.5.1.).
Рис.5.1. Иллюстрация частотно-временной неопределенности сигнала
Меняя форму сигнала s(t), можно менять и занимаемую им площадь. Оказывается, что уменьшать эту площадь можно лишь до некоторого предела. Этот предел достигается на кривой, являющейся гармоническим колебанием, которое модулировано по амплитуде гауссовым импульсом; интересно, что спектр этой кривой имеет такую же форму:
(3)
(4)
Существование предела, ниже которого нельзя сжать площадь сигнала, занимаемую им на плоскости "частота — время", и называется принципом частотно-временной неопределенности сигналов:
(5)
ДИСКРЕТНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ
Вторым важным аспектом теории сигналов является проблема дискретного представления непрерывных сигналов. Вопрос формулируется так: существуют ли условия (и если да, то каковы они), при которых любой непрерывной функции x(t) можно поставить во взаимно однозначное соответствие дискретное множество чисел , k = ... -2, - 1, 0, 1, 2, ...? Ограничимся более конкретной формулировкой поставленной задачи и рассмотрим условия выполнения равенства
(6)
Функции называются координатными функциями, они не должны зависеть от x(t), более того, они заранее известны. Ряд в правой части равенства называется разложением x(t) по координатным функциям. Числовые коэффициенты содержат всю информацию об х(t), необходимую для восстановления этой функции по формуле (6); следовательно, являются функционалами* от функции x(t).
(Функционалом называется отображение множества функций в множество чисел).
Наиболее известны разложения по системе ортогональных и нормированных функций. Это означает, что функции удовлетворяют условиям
(7)
Умножим обе части равенства (6) на и проинтегрируем (опуская тонкости, будем считать, что все операции обоснованы):
(8)
Такое представление называют рядом Фурье, а (x) — коэффициентами Фурье. Условия сходимости ряда Фурье к функции х(t) подробно исследованы и, кратко говоря, сводятся к тому, чтобы были оправданы все необходимые математические операции, а коэффициенты Фурье убывали достаточно быстро (точнее, ). Это не очень жесткое ограничение, но все же оно связывает свойства системы координатных функций и самих функций x(t). Например, если — гармонические функции кратных частот, то x(t) должна быть периодической функцией с периодом Т, равным периоду самой низкочастотной гapмоники:
, (9)
. (10)
Значительный интерес привлекли разложения реализаций случайного процесса с ограниченной полосой частот. Для таких сигналов В.А. Котельников доказал (1946) следующую теорему (теорему отсчетов):
любая функция со спектром, находящимся в интервале [0, F ], полностью определяется последовательностью ее значений в тачках, отстоящих друг от друга на 1/ (2F) единиц времени.
Итак, из многочисленных результатов теории сигналов мы выделяем два, как существенно поясняющие природу непрерывных сигналов. Первый состоит в том, что сигналы обнаруживают своеобразную "упругость" занимаемой ими площади на плоскости "частота — время". Это явление называется частотно-временной неопределенностью сигналов. Второй результат заключается в том, что определенный класс непрерывных сигналов допускает взаимно однозначное соответствие между любой реализацией из этого класса и дискретным набором отсчетов данной реализации.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования... ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЯ...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ НЕПРЕРЫВНЫХ СИГНАЛОВ
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов