Основные точки зрения на революцию в математике. Когда заходит речь о характере изменений, происходящих в развитии математического познания, в первую очередь обращают внимание не на качественные, а на количественные - постепенные, медленные - изменения. Тем самым научный прогресс сводится к постепенному накоплению все новых и новых знаний.
Такую концепцию развития науки принято называть кумулятивистской. В применении к математике это означает, что ее развитие определяется только чисто количественным ростом нового знания открытием новых понятий, доказательством новых теорем и т.д. при этом предполагается, что старые понятия и теории не подвергаются пересмотру. Кун в своей работе выступает с решительной критикой такой точки зрения кумулятивного развития научного знания.
Однако, несмотря на свою ограниченность, кумулятивистская концепция нередко еще встречается в математике. Объяснить это можно тем, что в силу самой природы математического познания ученый не обращается непосредственно ни к наблюдениям, ни к эксперименту. Математика развивается на абстрактно-логической основе. Совершенно иначе обстоит дело в естествознании, где иногда эксперимент полностью опровергает теорию и требует пересмотра старого научного знания или даже отказа от него. Именно на этом основываются попытки отрицания всяких революционных изменений в математике.
Отметим прежде всего ошибочность того представления, что революция есть чистое уничтожение, разрушение и отбрасывание старого. Именно из этого понимания революции исходит американский историк математики М.Кроу, утверждая, что необходимой характеристикой революции является то, что некоторый объект будь то король, конституция или научная теория должен быть отвергнут и безвозвратно отброшен18. Основываясь на таком определении, он заявляет в своем десятом законе, что революции никогда не встречаются в математике.
На самом деле, революция в математике не означает отбрасывания старых объектов, а приводит к изменению их смыслового значения и объема области применимости. Так, например, Фурье в своей Аналитической теории тепла писал, что математика сохраняет каждый принцип, который она однажды приобрела.
Другой выдающийся математик Г,Ганкель утверждал, что в большинстве наук одно поколение разрушает то, что построило другое Только в математике каждое поколение строит новую историю на старой структуре цит. по 3. Если бы развитие науки состояло в простом отбрасывании старых теорий, как был бы возможен в ней прогресс Действительно, даже в естествознании, возникновение теории относительности и квантовой механики не привело к полному отказу от классической механики Галилея-Ньютона, а только точно указало границы ее применимости.
В математике преемственность между старым и новым знанием выражена значительно сильнее, к тому же, будучи абстрактными по своей природе, теории не могут быть опровергнуты экспериментальной верификацией. Обратимся к примеру, который приводит Кроу - открытию неевклидовых геометрий. По его мнению, это не была революция в геометрии, поскольку Евклид не был отвергнут, а царствует вместе с другими, неевклидовыми геометриями.
Некоторые ученые считают, что революции возможны только в прикладной математике - в области