Становление современной концепции математики

Становление современной концепции математики. Большой вклад в правильное понимание неевклидовых геометрий внес выдающийся французский математик А. Пуанкаре.

Пуанкаре был одним из первых математиков, увидевших несостоятельность чисто эмпирического понимания геометрии, Математическое вообще и геометрическое, в частности, утверждение - это точное утверждение, которое не опровергается и не дополняется исторически таким образом, как положения физики, химии или другой опытной науки.

Если бы Гаусс тли Лобачевский нашли, что сумма углов у некоторых реальных треугольников меньше 180 , то это по мнению Пуанкаре, не свидетельствовало бы о ложности евклидовой геометрии, но говорило бы лишь о том, что световые лучи не подчиняются ее аксиомам. Тезис о необходимости неопровержимости через опыт геометрических истин, с точки зрения Пуанкаре, безусловно верен. Вместе с тем Пуанкаре не принимал учение Канта об априорности геометрических аксиом. Можно спросить писал он что представляют собой эти гипотезы аксиомы геометрии ? Факты ли это, полученные из опыта, или суждения аналитические или синтетические apriori? Мы должны ответить отрицательно на эти три вопроса.

Если бы эти гипотезы были фактами опыта и наблюдения, то геометрия подлежала бы постоянному пересмотру и не была бы наукой точною если бы это были синтетические apriori суждения, а тем более аналитические, то невозможно было бы отрешиться от них, и на их отрицании ничего нельзя было бы построить Пуанкаре А. Об основных гипотезах геометрии - в сб. Об основаниях геометрии М 1956, с.397 . Пуанкаре развивает взгляд на аксиомы, получивший в дальнейшем наименование конвенционализма, как на утверждения, в становлении которых известную роль играет опыт, но которые формируются по соображениям простоты и удобства. Пуанкаре признает основной тезис эмпиризма, а именно - если бы не было твердых тел в природе, то геометрия не существовала бы. вместе с тем, по его мнению, геометрия все-таки не наука о твердых телах она изучает не твердые тела, а идеальные представления о них, и эти идеальные представления уже не подвергаются контролю опыта, независимы от него в своей структуре.

Позиция Пуанкаре также не может быть принята как вполне объясняющая суть дела, ведь можно спросить, почему проверяются на опыте и исправляются им физические представления, хотя они также только идеализации? В чем специфика математических моделей? Но тем не менее именно благодаря идеям Пуанкаре обсуждению проблемы неевклидовых геометрий впервые было придано верное направление.

В отличие от Гельмгольца, Ф. Клейна и других ученых, у Пуанкаре на первом месте стоит специфика математики как науки, ее отличие от физики. Пуанкаре в принципе наметил выход из основного затруднения в философии математики XIX в. он пытался обосновать, что необходимость математических истин не нуждается в посылках априоризма, но вполне примирима с опытным их происхождением.

Основная идея, необходимая для современного понимания математики, возникла, однако, не в философии Пуанкаре, а в контексте работ Дедекинда, Кантора и Гильберта, которые стремились на логической основе уточнить исходные понятия геометрии и других математических наук. Надо сказать, что эти работы также в значительной мере были обусловлены появлением неевклидовых геометрий и других абстрактных образов, оперирование которыми предъявило повышенные требования к логике обоснования математических утверждений.

Высоко оценивая работы Гильберта, Пуанкаре скептически относился к формалистам, стремившимся, по его мнению, изъять из математики интуицию и превратить ее в механическое оперирование символами. Неприязнь к претензиям формалистов была, по-видимому, главной причиной, по которой Пуанкаре не понял важности для философии математики представления о математической теории как о формальной системе и не принял той простой идеи, что, с какими бы интуитивными образами она ни была связана генетически, она функционирует по отношению к опытному знанию исключительно как формальная система, как определенная знаковая модель, для эффективности которой существенна лишь ее внутренняя непротиворечивость. Такой взгляд на функцию и структуру математической теории дает возможность дополнить критику Пуанкаре более удовлетворительной позитивной концепцией, в рамках которой находит полное оправдание и факт неевклидовых геометрий.

С понятием формальной системы или формальной структуры иногда связывают представление только об особом внутреннем устройстве математической теории.

Фактически, однако, это понятие представляет собой центральный момент современного понимания математики вообще, понимания ее происхождения, функции и т. д. Мы сформулируем в рамках этой общей концепции некоторые утверждения о математике с тем, чтобы отметить прогресс философии математики, который наметился к началу XX века. 1. Математика не есть опытная наука, изучающая определенные свойства действительности, наряду с механикой, физикой, химией и т. д. Математика находится не рядом с опытными науками, как считал Аристотель и многие после него, а над опытными науками, представляя собой определенную надстройку над ними. Математика в общем является набором формальных знаковых моделей для теоретического знания и таким образом связана с опытом не непосредственно, а через другие науки. 2. Математика выступает по отношению к эмпирическому знанию как особого рода язык, способ трансформации эмпирических высказываний, установления связи между ними. Для этой цели математическая теория должна быть непротиворечивой, но не обязательно интуитивно ясной или имеющей опытное происхождение.

В математике в принципе допустимы любые непротиворечивые структуры, которые эффективны в прикладном отношении или важны для внутреннего обоснования математической науки.

Неевклидова геометрия менее законна, чем евклидова или какие-либо другие мыслимые математические структуры.

Математика, в отличие от других наук, имеет право на создание чистых форм, т. е. образов, не имеющих какой-либо эмпирической интерпретации, но лишь в интенции на некоторую внутреннюю задачу.

Лобачевский, как мы уже говорили, допускал такое чисто функциональное оправдание своей геометрии, но оно не казалось ему достаточным из-за его в целом эмпирического взгляда на природу геометрических истин . 3. Математические утверждения необходимы неопровержимы на опыте вследствие внутренней логической определенности понятий. Эмпирический закон, к примеру, закон, утверждающий, что все газы расширяются при нагревании по закону V0 l at, где V0 - исходный объем, t - температура, а a - коэффициент расширения, может быть опровергнут только потому, что мы имеем внешнее, эмпирическое определение газа, независимое от самого закона.

Если же газом назвать всякое вещество, которое расширяется в соответствии с данным законом, то закон, очевидно, будет неопровержим, ибо все, что ему не соответствует, не будет газом по определению. Утверждение 2 2 4, как и любое другое математическое утверждение, неопровержимо просто потому что символы, его составляющие, не имеют внешних определений, независимых от самого утверждения.

Математические понятия, даже если они генетически связаны с опытом, представляют собой не просто абстракции и даже не просто идеализации, но конструкции, т. е. понятия, свойства которых полностью определены включающей их системой формальных связей. 4. Математическая теория сама по себе не истинна, не ложна, она приобретает это свойство только после интерпретации в определенной сфере опытных представлений. Убеждение пифагорейцев и некоторых более поздних философов-рационалистов Декарт, Лейбниц, Фреге в особой достоверности математического знания является не более чем мистификацией логической структуры математических теорий, необходимости их внутренних связей. 5. Единство математики обеспечивается исключительно методом, но не предметом исследования.

Сфера возможного приложения математики в принципе бесконечна математик может говорить обо всем, что поддается формулировке на точном оперативном языке, что может быть изучено в своей логической форме в отвлечении от конкретного содержания.

Это значит, в частности, что различие между геометрией и арифметикой по их близости к опыту, которому традиционно придавалось столь много внимания, в действительности является несущественным, по крайней мере в плане обоснования. Обоснование любой математической теории есть доказательство ее непротиворечивости, и оно может опираться только на ее формальную структуру, а не на ассоциации, которые мы привыкли связывать с ее понятиями.

Эти положения фиксируют основные моменты так называемого формалистского или структуралистского понимания математики Формалистскую философию математики следует отличать от формализма как программы обоснования математики, хотя формализм существенно опирается на понимание математики как логической структуры которое оформилось к концу XIX в. и которое делает акцент на логических особенностях и особых функциях математического знания.

Этими положениями в значительной мере определяется современное, так сказать, рабочее понимание математики, которое мы можем встретить в методологических работах самих математиков и физиков, в предисловиях к учебникам и т. д. Математика определяется и как наука о необходимых заключениях Б. Пирс в книге Кутюра Л. Философские принципы математики Спб 1913, с. 183 , и как иерархия формальных структур Н. Бурбаки Очерки по истории математики, М 1963, с. 255 , и как строгий язык, созданный для перехода от одних опытных суждений к другим Бор Н. Атомная физика и человеческое познание, М 1961, с. 96 , и как особого рода идеальная техника науки, относительно которой можно говорить об эффективности, но нельзя говорить об истинности и ложности Александров А. Д. Диалектика и математика.

Сибирский математический журнал, 1970, 2 , и как наука о знаковых моделях Илиев Л Математика как наука о моделях УМН, 1971, т. 27, вып. 2 . Высказывается также взгляд на математику как на символический миф, который, как и обычный миф, будучи вымыслом, помогает тем не менее человеку разобраться в ситуациях реального мира Bochner S. He role of mathematics in the rise of science Princeton, 1966 . Несмотря на некоторые нюансы, все эти определения выражают одно и то же, а именно взгляд на математику как на логически организованную систему понятий, для существования которой важна лишь ее дедуктивная, трансформирующая функция.

Возникновение такого взгляда на математику было прежде всего расширением предмета математики, признанием de jure математических образов, не связанных с опытом и интуицией.

С этой точки зрения, и эмпиризм, и кантовская философия математики оказываются несостоятельными, произвольно сужающими область приемлемых математических объектов. Очевидно, что отбрасывается также и всякая натурфилософия математик не должен ломать голову над тем, что стоит, к примеру, за бесконечно малой в реальности, ибо дело не в созерцании и не в содержательном описании бесконечности, но лишь в формальных определениях, в оперативной силе понятия.

Развитие новых представлений о природе математики завершилось в первых двух десятилетиях нашего века. Уже в самом начале XX в. центр тяжести в философии математики смещается к проблемам логического обоснования. И это обусловлено не только интересом к новым проблемам, но и тем обстоятельством, что вопрос о природе неевклидовых геометрий постепенно перестает быть загадкой.

Несмотря на различия в понимании своей науки, проявившиеся в отношении путей поиска ее логических оснований, математики начала XX века не оспаривают того, что логическая непротиворечивость есть необходимое и достаточное условие существования математической теории как таковой Вскоре, однако, наступила реакция. Пуанкаре, а затем Борель, Лебег, Лузин и в особенности Брауэр стали возражать против столь широкого понимания математического существования Неевклидовы геометрии, а также и другие монстры математического мира, открытые позднее, превращаются с этой точки зрения в обычные рядовые объекты математики, ничуть не более странные, чем дробные или отрицательные числа.

Тем самым завершается один из самых глубоких переворотов в философии математики, в представлениях о природе математического знания. Философское значение неевклидовых геометрий состоит в том, что их открытие явилось исходным пунктом и основным стимулом этого переворота. Открытие в науке, как бы оно ни было велико, само по себе не является вкладом в философию.

Однако существуют открытия, которые влекут за собой изменения в философии науки, в понимании ее предмета, методов, связи с другими науками. Неевклидовы геометрии - пример одного из таких открытий, чрезвычайно редких в истории науки. До построения неевклидовых геометрий к таким сдвигам в математике, имевшим философское значение, можно отнести только три события, а именно появление самой идеи математики как дедуктивной науки, открытие несоизмеримых величин и открытие дифференциального исчисления в XVII в. В наше время таким событием явился отказ от основных программ обоснования математики прежде всего под влиянием логических исследований К. Геделя, последствия которого для философии математики пока еще окончательно не осмыслены. 4