СИСТЕМА ФИЛОСОФИИ МАТЕМАТИКИ АРИСТОТЕЛЯК.Маркс назвал Аристотеля 384-322 гг. до н.э. величайшим фи лософомдревности . Основные вопросы философии, логики, психологии,естествознания, техники, политики, этики и эстетики, поставленные в наукеДревней Греции, получили у Аристотеля полное и всестороннее освещение.Вматематике он, по-видимому, не проводил конкретных ис следований, однаковажнейшие стороны математического познания были подвергнуты им глубокомуфилософскому анализу, послужившему методо логической основой деятельностимногих поколений математиков.Ко времени Аристотеля теоретическая математика прошла значи тельныйпуть и достигла высокого уровня развития.
Продолжая традицию философскогоанализа математического познания, Аристотель поставил вопрос о необходимостиупорядочивания самого знания о способах усво ения науки, о целенаправленнойразработке искусства ведения познава тельной деятельности, включающего дваосновных раздела образован ность и научное знаниедела . Среди известных сочинений Аристотеля нет специально посвященныхизложению методологических проблем мате матики.
Но по отдельным высказываниям,по использованию математичес кого материала в качестве иллюстраций общихметодологических положе ний можно составить представление о том, каков был егоидеал постро ения системы математических знаний.Исходным этапом познавательной деятельности, согласно Аристоте лю,является обучение, которое основано на некотором уже ранее имеющемсязнании Как математические науки, так и каждое из прочих искусствприобретается именно таким способом . Для отделения зна ния от незнанияАристотель предлагает проанализировать все те мне ния, которые по-своемувысказывали в этой области некоторые мыслите ли и обдумать возникшие приэтом затруднения.
Анализ следует прово дить с целью выяснения четырех вопросов что вещь есть, почему она есть, есть ли она и что она есть .Основным принципом, определяющим всю структуру научного знаниядела , является принцип сведения всего к началам и воспроизведения всегоиз начал.
Универсальным процессом производства знаний из на чал, согласноАристотелю, выступает доказательство.Доказательством же я называюсиллогизм пишет он который дает знания . Изложе нию теориидоказательного знания полностью посвящен Органон Арис тотеля.Основные положения этой теории можно сгруппировать в разде лы, каждый изкоторых раскрывает одну из трех основных сторон мате матики как доказывающейнауки то, относительно чего доказывается, то, что доказывается и то, наосновании чего доказывается . Таким образом, Аристотель дифференцированноподходил к объекту, предмету и средствам доказательства.Существование математических объектов признавалось задолго доАристотеля, однако пифагорейцы, например, предполагали, что они на ходятся вчувственных вещах, платоники же, наоборот, считали их су ществующими отдельно.Согласно Аристотелю 1. В чувственных вещах математические объекты не существуют, так как находиться в том же самом месте два тела не в состоянии 2. Аристотель считал предметом математики количественную опреде ленностьи непрерывность . В его трактовке количеством называется то, чтоможет быть разделено на составные части, каждая из кото рых является чем-тоодним, данным налицо.
То или другое количест во есть множество, если его можносчесть, это величина, если его можно измерить . Множеством при этомназывается то, что в возмож ности потенциально делится на части ненепрерывные, величиною - то, что делится на части непрерывные . Прежде чемдать определение непрерывности, Аристотель рассматривает понятие бесконечного,так как оно относится к категории количества и проявляется преждевсе го в непрерывном. Что бесконечное существует, уверенность в этомвозникает у исследователей из пяти оснований из времени ибо оно бесконечно из разделения величин далее, только таким образом не иссякнут возникновениеи уничтожение, если будет бесконечное, откуда берется возникающее.
Далее, изтого, что конечное всегда граничит с чем-нибудь, так как необходимо, чтобы одновсегда граничило с дру гим. Но больше всего на том основании, что мышлениене останав ливается и число кажется бесконечным, и математическиевеличины . Существует ли бесконечное как отдельная сущность или оноявляется акциденцией величины или множества? Аристотель принимает второй ва риант,так как если бесконечное не есть ни величина, ни множество, а самоявляется сущностью то оно будет неделимо, так как делимое будет иливеличиной, или множеством.
Если же оно не делимо, оно не бесконечно в смысленепроходимого до конца . Невозможность математи ческого бесконечного какнеделимого следует из того, что математи ческий объект - отвлечение отфизического тела, а актуально недели мое бесконечное тело несуществует . Число как что-то отдельное и в то же времябесконечное не существует, ведь если возможно пе ресчитатьсчислимое, то будет возможность пройти до конца и беско нечное . Такимобразом, бесконечность здесь в потенции существует, актуально же - нет.Опираясь на изложенное выше понимание бесконечного, Аристотельопределяет непрерывность и прерывность.
Так, непрерывное есть само посебе нечто смежное.
Смежное есть то, что, следуя за другим, каса етсяего . Число как типично прерывное дискретное образование фор мируетсясоединением дискретных, далее неделимых элементов - единиц.
Геометрическиманалогом единицы является точка при этом соединение точек не может образоватьлинию, так как точкам, из которых было бы составлено непрерывное,необходимо или быть непрерывными, или ка саться друг друга . Нонепрерывными они не будут ведь края точек не образуют чего-нибудьединого, так как у неделимого нет ни края, ни другой части . Точки немогут и касаться друг друга, поскольку касаются все предметы или какцелое целого, или своими частями, или как целое части.
Но так как неделимое неимеет частей, им необходимо касаться целиком, но касающееся целиком не образуетнепрерывного .Невозможность составления непрерывного из неделимых и небходи мость егоделения на всегда делимые части, установленные для величи ны, Аристотельраспространяет на движение, пространство и время, обосновывая например, в Физике правомерность этого шага. С дру гой стороны, он приходит квыводу, что признание неделимых величин противоречит основным свойствамдвижения.
Выделение непрерывного и прерывного как разных родов бытия послужилоосновой для размежевания в логико-гносеологической области, для резкогоотмежевания арифмети ки от геометрии.
Началами в каждом роде я называю то, относительно чего неможет быть доказано, что оно есть. Следовательно, то, что обозначает первичноеи из него вытекающее, принимается. Существование начал не обходимо принять,другое - следует доказать.Например, что такое единица или что такое прямое иличто такое треугольник следует при нять что единица и величина существует,также следует принять, другое - доказать . В вопросе о появлении у людейспособности позна ния начал Аристотель не соглашается с точкой зрения Платона оврож денности таких способностей, но и не допускает возможности приобре тенияих здесь он предлагает следующее решение необходимо обла дать некоторойвозможностью, однако не такой, которая превосходила бы эти способности вотношении точности . Но такая возможность, оче видно, присуща всем живымсуществам в самом деле, они обладают при рожденной способностью разбираться,которая называется чувственным восприятием.
Формирование начал идет отпредшествующего и более из вестного для нас , то есть от того, что ближе кчувственному воспри ятию к предшествующему и более известномубезусловно таким явля ется общее . Аристотель дает развернутуюклассификацию начал, исходя из разных признаков.Во-первых, он выделяет начала, из которых что-либо доказыва ется,и такие, о которых доказывается . Первые суть общие всемначала , вторые - свойственные лишь данной науке , например, чис ло,величина . В системе начал общие занимают ведущее место, но ихнедостаточно, так как среди общих начал не может быть таких, из ко торыхможно было бы доказать все . Этим и объясняется, что среди на чал должныбыть одни свойственны каждой науке в отдельности, другие- общие всем .Во-вторых, начала делятся на две группы в зависимости от того, что онираскрывают существование объекта или наличие у не го некоторых свойств.В-третьих, комплекс начал доказывающей науки делится на аксиомы, предположения,постулаты, исходные определения.Выбор начал у Аристотеля выступает определяющим моментом пост роениядоказывающей науки именно начала характеризуют науку как данную, выделяют ееиз ряда других наук. То, что доказывается , можно трактовать оченьшироко. С одной стороны, это элементарный до казывающий силлогизм и егозаключения.
Из этих элементарных процес сов строится здание доказывающей наукив виде отдельно взятой тео рии. Из них же создается и наука как система теорий.Однако не вся кий набор доказательств образует теорию.
Для этого он должен удов летворятьопределенным требованиям, охватывающим как содержание до казываемыхпредложений, так и связи между ними. В пределах же науч ной теории необходимоимеет место ряд вспомогательных определений, которые не являются первичными, нослужат для раскрытия предмета те ории.Хотя вопросы методологии математического познания и небыли из ложены Аристотелем в какой-то отдельной работе, но по содержанию всовокупности они образуют полную систему.
В основе философии матема тикиАристотеля лежит понимание математических знаний как отражения объективногомира.
Эта установка сыграла важную роль в борьбе Арис тотеля с платоновымидеализмом ведь если в явлениях чувственного мира не находится вовсематематическое, то каким образом возможно, что к ним прилагаются егосвойства писал он. Разумеется, матери ализм Аристотеля былнепоследовательным, в целом его воззрения в большей степени соответствовалипотребностям математического позна ния, сем взгляды Платона.
В свою очередьматематика была для Аристо теля одним из источников формирования ряда разделовего философской системы.