В.Э.Войцехович

Пойми себя сам

Дельфийский Оракул

Свет не вне меня, а во мне

И прелeсти твоей секрет
Разгадке жизни равносилен

Борис Пастернак

Что такое жизнь, в чем ее сущность? На этот вопрос пытались ответить самые разные ученые, мыслители, философы, религиозные деятели, поэты... Борис Пастернак приравнивает трудность решения проблемы жизни к загадке красоты. Я согласен с ним, но все же полагаю, что как поэт Пастернак глубже, т.е. понимание сущности жизни внутренне связано с пониманием сущности человека. Углубляясь в самих себя, мы приближаемся и к разгадке жизни вообще. Как же понимали этот феномен?

Мифологическое понимание жизни.

“Все живое” — так считали авторы легенд, сказок, мифов Древней Греции, Китая, Руси и других стран в доцивилизационные времена. Ту же мысль выражает и Дерсу Узала, дитя природы — дальневосточный охотник и герой книг В.К.Арсеньева. “Все — человек”, — говорит Дерсу, подразумевая, что и тигр, и чайник, и дерево подобно нам, имеют душу, желания, стремления и т.п.

В дальнейшем культура дифференцирует все на живое и неживое, на разумное и неразумное и т.д.

Античное понимание жизни.

Его выразил Аристотель: “Жизнью мы называем всякое питание, рост и упадок тела, имеющие основание в нем самом... Душа необходимо есть сущность в смысле формы естественного тела, обладающего в возможности жизнью. Сущность же (как форма) есть энтелехия: стало быть душа есть энтелехия такого тела” [Аристотель. Метафизика. С. 394]. Аристотель прямо связывает жизнь с присутствием души, вносящей движение, рост в тело.

Средневековое понимание жизни.

Научно-философский подход к феномену становится теологическим. Но и в религиозной культуре присутствует идея эволюции; Бог создает различные виды жизни по принципу “от простого к сложному”, начиная с растений и завершая первочеловеком. И вторая важная мысль Библии: подобно тому, как Бог вносит дух в материю, так же и душа вносит движение в мертвое тело.

Понимание жизни в период Возрождения и Нового времени (XVI — XX вв.).

В эту эпоху, эпоху как бы повторения античности, когда культура Запада на 5 столетий обретает интерес к внешнему, к природе, возобновляются поиски сущности на научной основе. Они проходят стадии: механистическую (XVII — XVIII века), физико-химическую (XIX, начало XX века), кибернетически-информационную (вторая половина XX века). Машинно-подобный образ животного и растения у Р.Декарта перерастает в представление о живом как физико-химической фабрике (Э.Геккель, Э.Брюкке). Но с середины XX века живое трактуют гораздо тоньше — и как холистическую систему, обладающую свойством целостности, в отличие от механистических систем (после Л.Берталанфи), и как информационную систему (с Н.Винера, А.Н.Колмогорова).

Системно-структурный взгляд на жизнь сформировался одновременно с квантово-механическим, в 30—40 годы, когда появились работы биолога Л.Берталанфи и физика Э.Шредингера. Тогда удалось осознать главное — понимание специфики живого, ее принципиального отличия от неживого. Отсюда формируется информационно-полевое понимание жизни [Гурвич. С. 24]. [Sheldrake; Thom].

Отсюда ясно, что с позиций синергетики из множества различных определений жизни [Серебровская] для нас имеют значение те, которые опираются на понятия информации, хаоса, самоподобия, воспроизводимости и той или иной направленности на человека как существенную часть живой материи, наиболее развитый биовид (по крайней мере на Земле и в наблюдаемой нами части вселенной). Таким образом, жизнь — это совокупность информационных систем, обладающих свойствами самоподобия, самовоспроизводимости, целенаправленности.

Тогда в область живых систем (растений, животных) попадают звезды, минералы, реки, системы элементарных частиц и т.п., причем в той мере, в какой в них присутствует тенденция к самосохранению и самовоспроизведению, тенденция, противостоящая II началу термодинамики. Так у специалистов по минералам существует убеждение, что минералы — особый вид жизни. Они не только сохраняют себя, но и растут, размножаются, воспроизводят себя в подходящих внешних условиях, а также воспринимают информацию, хранят ее и перерабатывают, даже передают “дружественным” существам и предметам. Ряд геологов и планетологов также находят некоторые свойства существ у горных систем, континентов, планет.

В живом организме как информационной системе взаимодействуют бесформенный хаос и организованная форма, вносящая информацию о самой себе, о собственной структуре, функциях, возможностях в океан потенциального, бесформенного.

Наиболее явно идею оформленности бытия и уровней оформленности выразил Аристотель в учении о форме и материи.

По мнению Аристотеля, все вещи есть соединение материи и формы. Материя понимается как потенция веши, как способность принять форму, как исходное предельно неорганизованное начало, как хаос. Форма — это акт, сила и энергия, способность организовать материю в вещь. Акт, или оплодотворение, овеществление есть entelechia (понятие, напоминающее современному читателю информационное структурирование материи). Рассматривая живую материю, философ разделяет душу (как аналог формы) на вегетативную, чувственную и разумную.

Классифицируя же уровни оформленности бытия, Аристотель вводит: 1) неоформленную материю (хаос), 2) минимально оформленный уровень — глина, камень, 3) растение, 4) животное, 5) человека, 6) форму форм — Бoгa [Аристотель. О душе].

Как отсюда видно, наряду с душой человека, животного, растения Аристотель вводит и “каменную” душу, в каком-то смысле признает живым (а также одушевленным, наделенным энтелехией) и минералы, что вполне соответствует описанному здесь расширительному пониманию живого.

Позже эту классификацию (“лестницу” Аристотеля) совершенствуют, усложняют (особенно в христианской философии), но критерий классификации остается прежним — по степени проникновения формы в материю. Вещь в такой степени сложна, насыщена информацией, одушевлена (или даже одухотворена) и совершенна, в какой степени она оформлена.

Отсюда мы можем рассматривать развитие жизни (по крайней мере на Земле, а может быть и в Метагалактике, памятуя антропный принцип) как восхождение к человеку, как всепланетную устремленность различных форм к нему как аттрактору эволюции, как центру живого бытия. Под человеком в данном случае мы понимаем не только представителя биовида homo sapiens, но гораздо шире — как разумное коллективное животное, устремленное к свету. Свет здесь понимается метафорически, как идеал, источник энергии, знания, обеспечивающий существование и развитие нашего биовида. Свет – главный аттрактор нашей эволюции.

В религии это Бог. В искусстве — красота. В нравственности — добро, благо. В науке — истина. Отсюда человек лишь один из представителей “семейства света”, которое входит в совокупность всех семейств высокоразвитых существ, обладающих разумом.

Вероятно, наряду с семейством света есть и другие семейства разумных существ, нацеленные на иные идеалы.

Идеал света присутствует во всех культурах нашей планеты, а главное — на этом образе строятся мировоззрения (мифы, религии, философские учения). Так, под целью жизни философы понимали восхождение к свету, восхождение по некоей лестнице (8 ступеней Будды на пути к нирване, 6 ступеней оформленности бытия у Аристотеля, 30 ступеней духовного совершенствования на пути к Богу у св. Иоанна Лествичника и т.д.).

Подобные идеи о “световой” природе человека высказывал Тейяр де Шарден. Он понимал вселенскую эволюцию как восхождение к точке Омега (Богу) [Тейяр де Шарден]. Одной из промежуточных ступеней движения к нему является человек (добавим, представитель семейства света).

Отсюда эволюцию жизни можно понимать как устремленность к (обобщенному) человеку. Но под жизнью здесь понимается жизнь в известной нам части вселенной. Потому-то она и известна нам, что проще, чем мы сами, познаваема нами. Мы способны понять лишь то, что соответствует априорным формам познания, данным нам. Та же мысль выражена и в антропном принципе (особенно в его сильном варианте).

Антропный принцип формулировали советский ученый Г.Е.Идлис (1956 г.), позже — немецкий астроном О.Хекман, английский космолог Ф.Хойл и другие. В слабой форме, восходящей к упомянутым авторам, он звучит так: “Фундаментальные физические постоянные принимают такие значения, которые допускают возникновение жизни и разума во вселенной”.

Сегодня мы знаем множество примеров, подтверждающих связь законов природы и условий для возникновения жизни (Берроу, Типлер, Росс). Отсюда сильная формулировка антропного принципа: “Законы и структура Вселенной таковы, что они непременно порождают наблюдателя”.

Поэтому и можно рассматривать жизнь во вселенной, в нашей метагалактике как человекомерный феномен, т.е. нечто сопоставимое с ним, нечто, мерой чего является он сам.

Возникновение жизни и разума во вселенной обусловлено фундаментальными физическими постоянными (ФФП) — такими, как c (скорость света), e (заряд электрона), h (постоянная Планка), H (постоянная Хаббла), гравитационной постоянной g и другими.

Связаны ли они с фундаментальными математическими константами (ФМК)? Вопрос об этом поставил Д.Гильберт [Гильберт]. ФМК — это l, p, e, i, постоянная Эйлера 1 и другие. Все они связаны друг с другом, но связаны ли с материальным миром? Общепризнанного ответа не получено до сих пор. Множество авторов брались за выведение физических постоянных из математических; ФФП из ФМК. На этом пути они руководствовались уверенностью ряда известных математиков и физиков-теоретиков в том, что “В математике все есть”, т.е. все физические законы, постоянные, физическая структура мира в целом — все это потенциально содержится в уже открытых или пока не открытых, будущих математических структурах.

Это утверждение поддержал бы не только Пифагор, но и многие ученые последующих столетий, так или иначе соглашавшиеся с принципом “Все есть число”. Именно поэтому до XVII века, до начала и расцвета экспериментальной и эмпирической науки Нового времени не ставился (да и не мог ставиться) вопрос о “Необъяснимой эффективности математики в естественных науках” (Е.Вигнер). До того времени подобный вопрос был бы бессмысленным в силу веры многих ученых и философов в то, что в сущности мира лежит математика. То, что очевидно, не нужно было объяснять. В то же время с появлением естествоиспытателей наука стала пониматься как пытка по отношению к пассивному объекту — природе. Пытка убивает, превращает живое в мертвое, поэтому целостность мира, всеобщая связь исчезли в классической науке и направлениях философии, ориентированных на нее (позитивизме, прагматизме, например). Современная наука, постнеклассическая наука [Степин] пытается восстановить целостность представления о мире, понимает его как синергийный организм, в котором совместно, в единстве, в коэволюции развиваются живая и неживая материя, человек и вселенная.

Среди различных определений математики для нас имеют значение те, которые сводятся к пониманию ее как совокупности возможных формальных структур. С такой точки зрения наш физический мир описывается в конечном счете математикой. Причем математика содержит в себе не только известный нам физический мир, но и множество иных миров, не открытых пока даже теоретически.

Антропный принцип объясняет, почему не удавалось до сих пор из ФМК вывести ФФП. Дело в следующем. Предположим, верен антропный принцип в сильной формулировке. Тогда ясно, что ФФП привязаны к разумному наблюдателю, присутствующему во вселенной. В то же время ФМК не привязаны к нему, т.к. потенциально содержат не только наш мир, но и множество иных вселенных, в том числе без человека. Поэтому к ФМК необходимо добавить ограничение, например одну константу (или константы), выражающую антропный принцип и законы, описывающие человека в нашей метагалактике. Назовем эту константу A (от имени первочеловека Адама). При добавлении к ФМК константы А множество возможных миров сокращается до множества антропных вселенных. Из ФМК + А выводятся ФФП.

Но откуда взять константу А? — Возможно, в тех областях наших знаний, которые описывают человека, например, в интуиционизме, в гуманитарной математике [Войцехович, 1989. С. 45].

Впервые идею о человекомерной математике высказал голландец Л.Э.Я.Брауэр в 1908 г. Он создал интуиционизм — направление в математике и ее основаниях, которое ориентировано на мышление, применимое в истории, психологии и других гуманитарных областях [Гейтинг. С. 19, 25]. Брауэр вводит, например, свободно становящиеся последовательности, свободу как метапонятие и вообще объекты, зависящие от решения людьми тех или иных проблем (например, существует ли в разложении числа p сочетание 1234567890?). Вопрос не простой, поскольку “длина” разложения pбесконечна. Позже Брауэр вводит в математику понятие Творца как активное начало, созидающее ту или иную математику в зависимости от собственного свободного выбора. Сходные идеи о субъектном начале появляются также в основаниях математики у Э.Цермело (в аксиоме выбора), у Гильберта в метаматематике (метатеория играет роль как бы субъекта по отношению к изучаемой ею объектной теории).

В чем-то сходные идеи о духовной математике высказывали о.Павел Флоренский, А.Ф.Лосев, В.В.Налимов и другие. Конечно, в последнем случае под математикой понимают уже не науку о числах и фигурах и даже не науку о бесконечности (Г.Вейль), а скорее учение о свободной игре мыслеформами, что ближе к Г.Кантору, говорившему, что сущность математики в свободе, и Э.Брауэру, писавшему о внутреннем единстве математики, искусства, жизни.

Так, разрабатывая концепцию спонтанности бытия и познания как распаковки смысла, упакованного на семантическом континууме, Налимов обосновывает всеобщность геометрии (пангеометризм) и полагает, что не только жизнь, но даже сознание получат со временем “геометрическое” основание [Налимов. С. 167].

Вообще субъект, личностное начало активно проникает в науку. Действительность, искусственно разделенная Р.Декартом на активный субъект и (якобы) пассивный объект, обнаружила искаженность, неадекватность такого представления уже в XIX в. — с немецких философов, особенно Шеллинга, настаивавшего на слиянии субъекта с объектом в процессе познания. В науке этот процесс развивается с начала XX-го века, причем не только в математике и ее основаниях, но и в физике, биологии, позже психологии, экологии... В квантовой механике проявляется зависимость объектов от процедуры измерения. Но кто измеряет? Этот пока неуловимый субъект оказывается неустранимым из физического знания. Дальнейшее развитие науки оказывается невозможным без субъекта в самом знании, без личностного знания (понятие о котором ввел М.Полани), без антропного принципа.

Подобного рода человекомерность проявляется и во фрактальной математике [Войцехович, 1992]. Последняя — порождение синергетической эпохи.

Синергетика изучает процессы самоорганизации, становления систем, неустойчивые процессы [Аршинов; Аршинов, Войцехович]. Описание, объяснение и предсказание эволюции систем, их движение по траектории в фазовом пространстве дают частнонаучные теории и общенаучные концепции синергетики. Так термодинамика неравновесных процессов вместе с теорией диссипативных структур, развиваемые И.Пригожиным, Ю.Климонтовичем и другими, применяется теперь не только в физике, но и экологии. Есть даже успешные попытки их использования в социологии, языкознании, психологии.

Но в синергетических проблемах проявляется и новый тип философии. Об этом пишет Пригожин: “...мы переживаем тот период научной революции, когда коренной переоценке подвергается место и само существо научного подхода, — период, несколько напоминающий возникновение научного подхода в Древней Греции. Или его возрождение во времена Галилея” [Пригожин С. 11]. Синергетика столь специфична, что требует принципиально нового мировоззренческого взгляда на бытие, взгляда, отличающегося от всей западной философии, основанной на мышлении в фиксированных понятиях, но в то же время взгляда обобщающего и сближающего Платона и Лао Цзы, Лейбница и Будду, других мыслителей, только кажущихся несовместимыми. Совершенно явно видны фрактальные структуры, соединяющие естественнонаучное и гуманитарное знание, западную и восточную культуры, науку и религию (B.C.Соловьев). Возникают контуры мировоззрения особого типа, принципиально отличающегося от известных типов мировоззрения (мифологии, религии, эзотерики, философии).

В центре синергетики как науки и как мировоззрения стоит понятие фрактала. Латинское fractura переводится как осколок, часть. Понятие фрактала означает неустойчивое, переходное состояние эволюционирующего объекта, состояние промежуточное — между одним устойчивым состоянием и другим. Различают фракталы в математике, в естествознании и гуманитарных науках, а теперь и в философии. Понятие введено Б.Мандельбротом для обозначения множества с дробной размерностью (множества Г.Кантора, кривой К.Вейерштрасса, кривой Хельге фон Кох, ковра Серпинского и тому подобных “экзотических” объектов). Математические фракталы распространились затем на объекты природы, общества, гуманитарной сферы.

Примеры фракталов в природе: изрезанное побережье (например, в Скандинавии), облако, гора, река, дерево, тающая снежинка, гусеница в коконе в период постепенного превращения в бабочку и т.п. Фракталы в гуманитарных областях: влюбленность как переходное состояние, возникновение нового языка, также многослойные, многозначные произведения художественной литературы, осваивая которые, читатель не останавливается ни на одном устойчивом образе, а постоянно переходит от одного к другому.

Важнейшее свойство фрактала — самоподобие. Любая самая малая его часть подобна целому фракталу и любой другой части. Если объекты классической науки “в малом” линейны, фракталы “в малом” те же самые. Их части столь же сложны, как и структура в целом, т.е. “внутренне бесконечны”. Элементы представления о фракталах есть у легендарного Гермеса Трисмегиста (“наверху как и внизу”), Гераклита (“все течет”, “все есть единство противоположностей”), Анаксагора (“семена вещей”, “гомеомерии”), Г.Гегеля (“бытие как единство противоположностей”, “становление как переход от ничто к нечто”) и особенно у Г.Лейбница в монадологии (“монады как замкнутые в себе духовные атомы бытия, как аналоги “душ” различной степени совершенства”).

Фракталу (как общенаучному понятию и главному конструкту синергетики) нельзя дать определение (т.е. свести к старым, известным понятиям). Так было, например, с понятием электромагнитного поля (в классической электродинамике Дж.К.Максвелла) или с понятием множества в теории множеств Г.Кантора.

Ведущий принцип синергетического мировоззрения: “Все есть фрактал” (если формулировать специфику этой “философии” подобно Пифагору “Все есть число”, Гераклиту “Все есть огонь” или Платону “Все есть идеи”). Мышление-переживание фрактальными, неустойчивыми, многомерными мыслеформами открывает вселенную гораздо более богатую, чем это представлялось до сих пор.

Фрактальная математика — это те разделы, которые активно используются в синергетике (хаотической динамике). Сюда входят теория катастроф, фрактальная геометрия, теория алгоритмов, теория клеточных автоматов и другие. Сходные идеи проявляются также в интуиционизме, теории категорий [Войцехович, 1996. С. 46].

Фрактальная математика включает в себя и теорию р-адических чисел, основанных на неархимедовой аксиоме. Аксиома Архимеда — одна из основных аксиом классического (линейного) описания процесса измерения.

С.Улам и И.В.Волович обосновали принцип инвариантности физических теорий относительно способа описания числового поля (классического или р-адического полей). В то же время характерные примеры фракталов были представлены и в р-адическом поле чисел [Robert; Владимиров, Волович, Зеленов]. Появилась возможность широкого описания фрактальных феноменов.

Ряд авторов считают, что основанием фрактальной математики может стать не теория множеств, а теория плохо-обусловленных множеств [Маврикиди]. Для них не выполняется классическая аксиома фундирования, т.е. все части исходного множества являются его подмножествами (а не “атомами, не неделимыми элементами”). Отсюда и самоподобие фрактала, проявляющееся при любом как угодно глубоком “заглядывании” внутрь него.

Интересно, что фрактальная (синергетическая) математика развивалась в соответствии с собственным названием, т.е. в синергии, единстве с собственным мировоззренческим основанием, с философией. Это видно на примере становления теории катастроф и фрактальной геометрии (от истоков до наших дней). В истории фрактальной математики сливаются развивающаяся математика (как наиболее концентрированный интегратор знания и информации, образа сложной системы, даже логоса наблюдаемой нами вселенной), хаос (как образ всего потенциального и бесформенного) и эволюционирующая жизнь (как информационная система).

В истории математики широко известна периодизация истории математики, предложенная А.Н.Колмогоровым^[13], в которой выделяются 4 больших периода.

1. Период зарождения математики (Древний Египет, Вавилон).

2. Период элементарной математики (VI в. до нашей эры — XVI в.).

3. Период математики переменных величин (XVII — начало XIX в.).

4. Период современной математики (с начала XIX в.).

Данная классификация считается многими устаревшей. Мы также присоединились к этой критике и предложили свою периодизацию [Войцехович, 1992. C. 96—102], основанную на обобщении истории теории категорий и идее Пинкерле о прогрессе математики как периодическом скачкообразном освобождении отдельных параметров фундаментальных понятий (объектов), которые до скачка оставались скрытыми, находились в потенциальном состоянии [Pincherle].

1. Период зарождения математики (до 5 — 4 тысячелетия до РХ).

2. Период конкретной эмпирической математики (с 4 тысячелетия до VI в. до РХ).

3. Период становления теоретической математики (VI в. до РХ — I в.).

4. Период средневековой практической математики (I — XV вв.).

5. Период теоретической математики Нового времени (XVI — XX вв.):

а) подпериод математики переменных величин (XVI — XVIII вв.),

б) подпериод нестандартной (неевклидовой) математики (XIX — XX вв.).

6. Период возникновения “гуманитарной математики, в которой начинают формироваться теории субъект-субъектных отношений, математики, способы систематизации которой являются практически (гуманитарно) ориентированными (с XX в.)^[14].

В первом периоде зарождения математики, когда еще не было конкретных чисел, даже названий форм для сосудов, построек, можно говорить лишь о мифологических и протофилософских образах, предшествовавших идее самоорганизации: представления о том, что “все происходит само собой”, “все подобно всему”, “как наверху, так и внизу” (Гермес Трисмегист) и т.п.

Во втором периоде в ходе возникновения конкретных количественных и геометрических представлений мифологические, религиозные образы продолжают развиваться в направлении самоорганизации. Это представление об изначальном хаосе.

Хаос универсален, встречается во всех культурах, в самых различных науках, в том числе и в математике. На первом этапе (зарождения математики) хаос — начало всего. Так в китайской мифологии это место рождения начала, развитие которого ведет к возникновению вселенной. У Лао Цзы (VI в. до РХ) изначально “неназываемое Дао”, которое и выступает творческим организующим началом. Еще раньше в древнеиндийских “Ведах” “нулевой хаос” описывается через апофатические (отрицательные) характеристики. Сходные образы даны и в древнейшем скандинавском эпосе “Старшая Эдда”. Позже эти образы находят свое математическое воплощение в понятиях нуля, пустого пространства, пустого множества, а в XX веке — в понятиях функтор-хаос и функтор-порядок.

Затем образы хаоса множатся и порождают “Небо и Землю” (у китайцев, у греков), мрак и океан (в “Ведах” и у шумеров, египтян, скандинавов). На основе хаоса разрабатывается космогонический цикл (хаос — порядок — хаос — ...) и неизбежность мировых катастроф. Отсюда подсознательный страх, ужас, порождаемый темнотой, ночью, бесформенностью, фрактальностью изначального хаоса, угрожающего переходом в небытие [Лосев; Топоров].

И бездна нам обнажена
Своими страхами и мглами
И нет преград меж ней и нами —
Вот отчего нам ночь страшна

Ф.И.Тютчев

Образы хаоса фундаментальны для математики, так как, во-первых, к этому подталкивает сам аподиктический характер математического знания как образца порядка (а порядок нуждается в своей противоположности), во-вторых, в математическом познании как нигде проявляется творческая сторона хаоса, “рождающего лона”, “непроявленного Дао”, его способности порождать то, чего не было, актуализировать фрактально-дробные образы, “роящиеся” в океане потенциальных форм, существующих независимо от ученого (согласно платонистской трактовке познания).

В третьем периоде развития математики, когда появляются абстрактные фигура и число, наряду с рациональными числами (порожденными гармонией и порядком) пифагорейцы открывают иррациональные числа (воспринятые как нарушение мировой гармонии, как образ хаоса в его ужасающем, разрушительном обличии). Именно через “неразумные” (буквальный перевод термина “иррациональный”) числа в математику позже проникают актуальная бесконечность, идея становления, “монстры” XIX века, идея сложности простого (например, у А.Н.Колмогорова).

Вторым важным открытием античных математиков, ведущим к синергетике, стали зачатки дифференциального и интегрального исчислений (у Демокрита и Архимеда). Суммирование математических атомов — это их кооперирование, совместная гармонизация, естественное подчинение параметру порядка.

Стоит отметить упоминавшееся понятие энтелехии у Аристотеля в его учении о форме и материи и в физике. Оно со временем порождает представление об информации как параметре порядка, управляющем физическими процессами (с их термодинамической проблематикой) [Абдуллаев А.Ш., Новик И.Б.]. Если бы энтелехия Аристотеля и его логика соединились с зачатками символической алгебры Диофанта, то кибернетика, теория информации, теория алгоритмов, компьютеры и математические фракталы могли появиться на две тысячи лет раньше. Грекам для этого не хватило пары веков (их математика активно развивалась приблизительно 5 столетий). Но более серьезным препятствием было не внешнее, а внутреннее — центральное понятие их культуры — гармония. Она мешала математике сбросить старую геометрическую форму, стать алгебраической и соединиться с логикой.

В четвертый период средневековой практической математики европейцы забыли великие открытия греков. Лишь арабские ученые сохранили и частично развили их достижения (оставаясь, в сущности, в предыдущем периоде). Для синергетики важно, что арабам удалось выработать понятие алгоритма. Позже оно помогло создать арифмометры, выдвинуть идею универсального исчисления (Р.Декарт), мысль о машинизации мышления (Г.В.Лейбниц), а в XX веке разработать теорию алгоритмов, продвинуться в понимании сложности (Колмогоров) и открыть фрактальную геометрию (Б.Мандельброт).

В пятом периоде (математика Нового времени) возникают символическая алгебра, дифференциальное и интегральное исчисление, вариационное исчисление, теория динамических систем, качественная теория дифференциальных уравнений.

Все это открывает возможность (с конца XIX века) для открытия двух главных составляющих “синергетической” математики: фрактальной геометрии и теории катастроф.

К первой приводит теория итераций рациональных отображений комплексной плоскости (а также и другие разделы математики — теория множеств, теория групп...) [Мaндeльбpom; Федер].

Ко второй, к теории катастроф (разделу теории динамических систем), приводят теория особенностей гладких отображений X.Уитни, теория бифуркаций динамических систем А.Пуанкаре и А.А.Андронова, работы В.И.Арнольда и Р.Тома.

Исходный фундамент теории катастроф заложен И.Ньютоном в 1686 году в его “Математических началах натуральной философии”. Он исследует (экспериментально и математически) движение простого маятника в воздухе и воде. Полвека спустя Л.Эйлер создает вариационное исчисление и в 1744 году применяет его для определения равновесных конфигураций сжатой упругой колонны. Поэтому проблему бифуркаций называют в инженерной механике проблемой Эйлера. Еще через 40 лет Ж.Л.Лагранж выходит за рамки ньютоновского подхода, развивая аналитический метод. Он открывает фундаментальную теорему о том, что минимум полной потенциальной энергии системы достаточен для устойчивости. В 30-е годы XIX в. У.Р.Гамильтон смог описать векторное поле фазовых траекторий системой дифференциальных уравнений первого порядка. В конце XIX века А.М.Ляпунов поставил и математически точно решил общую задачу об устойчивости движения.

Самые глубокие результаты (после Ньютона) получил Пуанкаре, давший набросок общей теории бифуркаций (в современном смысле слова) и создавший качественную теорию динамических систем.

Отсюда видно, что до XX века развивались два подхода к моделированию движения маятника (и динамической системы вообще): устойчивость состояний (Ньютон, Лагранж, Гамильтон, Ляпунов) и устойчивость траекторий (Эйлер, Пуанкаре). В XX веке эти подходы соединяют Андронов и его школа. Они разрабатывают топологическое понятие структурной устойчивости (Л.С.Понтрягин). Развивают их классификацию Р.Тома, Э.К.Зиман, С.Смейл, В.И.Арнольд [Томпсон].

Независимо от направления Андронова шел X.Уитни, разработавший канонические формы особенностей гладких отображений [Арнольд]. Это прямо связано с понятием универсальной деформации, исследованной А.Гротендиком в алгебраической геометрии [Постон, Стюарт].

Соединить все эти разнородные идеи в нечто похожее на теорию удалось Р.Тома, который поставил проблему создания на основе общей теории динамических систем языка форм. С целью математизации биологии, социологии, психологии Тома пытался ввести идею эволюции в математику, с одной стороны, и продвинуть математические формы в науке об эволюции, с другой [Thom]. Теория катастроф появилась, причем точно в срок — ко времени известности работ Пригожина и Хакена по синергетике.

Итак, развитие синергетических идей в математике предстает как соответствие между мировоззрением эпохи и научными (математическими) идеями. В III-й период развития этой науки, в античную эпоху в философии используют понятия гармонии, хаоса, энтелехии, материи и формы, атомов и пустоты, а в математике появляются рациональные и иррациональные числа, зачатки дифференциального и интегрального исчислений, у арабов — алгоритм. В IV период, в Средние века и эпоху Возрождения, развиваются схоластика и затем пантеизм. А в математике появляются зачатки идей силы, энергии и информации, начинает символизироваться логика. В V период (XVII — XIX века), когда развивается механистическая картина мира, разрабатываются аналитическая геометрия, математический анализ, вариационное исчисление, качественная теория дифференциальных уравнений, теория множеств. Наконец, в VI период (конец XIX — XX век) в философии развиваются идеи историзма и эволюции, русский космизм, учение о ноосфере, антропный принцип и универсальный эволюционизм. В математике — теория категорий (Эйленберг, Маклейн), теория катастроф (Андронов, Уитни, Тома) и фрактальная геометрия (Фату, Жюлиа, Мандельброт).

***

Таким образом, математика в целом (и фрактальная математика в частности) развивается как дочь своего времени, отвечая на культурные и мировоззренческие запросы эпохи. Поворот познания к человеку в начале XX века, открыв гуманитарную математику, дал нам новый путь сближения человека и природы, привел к пониманию как “вселенской” природы человека, так и промежуточности его как аттрактора жизни, осознанию и его полноты, и несовершенства.

С синергетической точки зрения жизнь выглядит как вечный динамический феномен, целеустремленно восходящий к человеку (представителю семейства света) и куда-то далее к высшему (точке Омега?).

Жизнь предстает как соединение дезорганизации и порядка, как единство материи и формы, как хаоса и математики. Математика (как вселенская информация, совокупность всевозможных мыслеформ) оплодотворяет хаос и рождает жизнь.

Но что или кто соединяет математику и неоформленную материю? Субъект. Тот самый субъект, который появляется то в интуиционизме, то в метатеории, то в процедуре измерения в квантовой механике, то в антропном принципе. Условно это можно представить в виде формулы

S : (M + X) — Ж

Вселенский субъект (S) соединяет математику (М) с хаосом (X) и получает жизнь (Ж).

Творящий субъект как Первотворец и содержит в себе, и рождает, и творит все множество форм бытия. Творящий субъект как обобщенный человек, представитель семейства света создает сначала похожие на него формы жизни, а затем творит принципиально новые, непохожие на него, неизвестные ему формы в наблюдаемой части Вселенной.

Жизнь предстает как человекомерная синергия информации и хаоса, человек же — как аттрактор вселенского жизнепотока, как аттрактор эволюции, который порождает множество форм и к которому они же и возвращаются.