1. Почему предикат можно рассматривать как пропозициональную функцию? Пусть предикат выражает отношение "больше" по величине между числами: х > у.
1) При каких значениях х и у он образует истинные и ложные высказывания?
2) Тот же вопрос, если х = у.
2. Что называют универсумом рассуждения?
1) Определите универсум рассуждений формул х2 + 1 = 0 и х2 - 1 = 0.
2) Каков универсум определения "Все четные числа делятся на 2"?
3) Определите универсум рассуждения "Все студенты нашей группы получают стипендию".
3. Чем отличаются свойства от отношений и как они выражаются символически? Переведите на символический язык следующие утверждения:
1) "Москва – столица России и находится южнее Санкт-Петербурга".
2) "Золото – металл и ценится дороже серебра".
3) "Если человек заболел гриппом, то у него повышается температура".
4. Какие переменные называются свободными и связанными? Определите область действия кванторов в следующих формулах:
1) (х) (А(х) → В(х)) Ú С(х); (Ех) (А(х) Ú B(x));
2) (х) (Еу) (х < у);
3) (х)(у)(х + у = у + х).
5. Преобразуйте следующие суждения с кванторами общности в суждениях с кванторами существования и запишите их в символах:
1) "Если существуют несправедливые приговоры, то не все приговоры справедливы".
2) "Если в любом треугольнике сумма внутренних углов составляет 180°, то не существует треугольника, для которого эта теорема ложна".
3) "Если все работы сдаются в срок, то не существует отстающих";
4) "Если этого он не сделает, то не найдется того, кто это сделает".
6. Чем отличается исчисление предикатов от исчисления высказываний? Можно ли рассматривать последнее как частный случай первого? Обоснуйте свой ответ.
7. Как установить, следует ли формула В из формул А1, А2,..., Am, в исчислении предикатов?
8. Какие проблемы в логике считаются разрешимыми и неразрешимыми? Разрешима ли проблема определения тавтологии в исчислении высказываний? Проверьте это для формулы: А → В ~ ¬ А Ú В.
9. Правильно ли построены следующие силлогизмы?
1) Все рыбы дышат "жабрами". Кашалот не дышит жабрами. Следовательно, кашалот – не рыба".
2) "Мысль – это движение. Движение есть свойство всей материи. Значит, мысль есть свойство всей материи".
3) "Логика изучает формы и законы правильного мышления. Учение о понятии есть часть логики. Следовательно, оно изучает законы и формы правильного мышления".
4) "Всякий предмет состоит из молекул. Логика не состоит из молекул. Следовательно, логика не является предметом".
5) "Истинное суждение правильно отражает действительность. Данная мысль правильно отражает действительность. Следовательно, она является истинным суждением".
10. Превратите следующие силлогизмы в энтимемы.
1) "Липа поглощает углекислоту, так как липа – растение, а все растения поглощают углекислоту".
2) "Ни одна планета не светит собственным светом, но многие тела в Солнечной системе – не планеты, поэтому некоторые тела Солнечной системы светят собственным светом".
3) "Все учителя – педагоги, он учитель, следовательно, он педагог".
11. Являются ли следующие суждения энтимемами:
1) "Поскольку он юрист, он должен знать права человека".
2) "Раз вы не знаете правил логики, то не можете понять ошибки в рассуждении".
3) "Вода замерзла, так как температура понизилась".
12. Найдите ошибку в рассуждении:
1) "Предполагая 2 х 2 = 8 и отнимая от обеих частей по 6, получим –2 = 2. Возведя обе части в квадрат, найдем, что 4 = 4. Значит, 2 х 2 = 8".
13. Определите, правильно ли сделаны следующие выводы:
1) "Если курение вредно, то следует бросить курить. Но некоторые курят без вреда здоровью. Следовательно, не стоит бросать курить".
2) "Если два числа равны друг другу, то их квадраты также равны. Квадраты этих чисел равны. Следовательно, заданные числа также равны".
3) "Иванов может учиться на психологическом, юридическом или экономическом факультете. Он не учится ни на психологическом, ни на юридическом факультете, следовательно, он учится на экономическом факультете".
14. Проверьте правильность рассуждения:
"Вода, например, не горит. А хотите знать почему? Да потому же, почему не горит зола. Вода сама получилась от горения" (М. Ильин).
15. Покажите нелогичность поведения Ходжи Насреддина:
"Однажды Ходжа надел черные одежды и вышел на улицу. Какие-то невежи спросили его: "Ходжа, что с тобой, ты весь в черном?" А Ходжа отвечал: "Умер отец моего сына, и я ношу по нем траур" (Анекдоты о Ходже Насреддине).