Джон Локк

Этот философ принадлежал к тому типу мыслителей, для которых “понятие реальности неизбежно совпадает с реальностью вещей, познаваемых при посредстве внешних чувств, — вещей, индивидуальность которых реальна, если её противопоставить абстрактной идее”(Юнг К.Г. Психологические типы. М., 1997. С. 56). Между тем, центральное понятие локковской теории познания — понятие идеи — столь широко, что трудно без каких-либо оговорок окрестить эту теорию догматическим эмпиризмом, хотя Локк солидаризируется с философией Гоббса именно в той её части, в какой эта философия эмпирична и номиналистична. Пользуясь классификацией К. Юнга, для которого рациональность является общей “психологической установкой” как платонизма, так и эмпиризма, можно сказать, что Локк отклоняет “логический рационализм” Гоббса, но принимает его “сенсуалистический рационализм”.

Однако и это не даёт ещё оснований для характеристики Локка как эмпирика. Сказать, что “всякое общее познание мы можем искать и находить только в собственном уме; и только изучение наших собственных идей даёт нам такое познание”(2)[2], — это по меньшей мере сделать уступку априоризму, допустить право ratio на собственную, независимую от опыта, обработку материала, заключённого в идеях.

Лишь отрицательный ответ на вопрос, существует ли лучший способ “получения ясных и отчётливых идей, чем тот, при котором мы получаем их посредством чувств”, выдаёт эмпирика, вряд ли способного согласовать свой эмпиризм с декларируемой им “несомненностью” и “достоверностью” математических абстракций “в приложении к реально существующим вещам”. Когда Локк говорит, что существовать математически, значит существовать “совершенно точно”, он понимает точность, как её понимают физик или инженер. В частности, он пишет: “Кто приобрёл идею треугольника и нашёл способ измерить его углы и их величины, тот знает достоверно, что сумма его трёх углов равна двум прямым, и может сомневаться в этом так же мало, как и в истине “невозможно, чтобы одна и та же вещь была и не была”(там же. С. 130).

Мы видим, что Локк не отличает истины разума от истин факта, что отличал уже Гоббс и что позднее Лейбниц сделает основой своей философии. И я не могу удержаться от искушения привести обширную цитату из Л. Витгенштейна, корректно и образно полемизирующего с Локком: “Ты можешь думать, что человек в состоянии при помощи измерения углов треугольника достичь экспериментально или предвидеть из своего опыта то, что он доказал позднее, а именно, что сумма углов треугольника равна двум прямым углам. Но это не так: то, что он доказывает, — это нечто совсем другое по сравнению с тем, что он достигает или предвидит в качестве результата эксперимента... Геометрия не изрекает пророчества, но говорит, что если результат измерения углов треугольника даёт 181, то значит в измерении была допущена ошибка”(Витгенштейн Л. Лекции..., // Людвиг Витгенштейн: человек и мыслитель, М., 1993. С. 288-289).

Сказанного, думаю, достаточно, чтобы заподозрить гносеологическую позицию Локка во внутренней противоречивости, хотя Локк постоянно пытается “вынырнуть” из этого противоречия, делая шаги то в сторону платонизма и априоризма, то в сторону догматического эмпиризма и скептицизма (3)[3].

Однако меня сейчас интересует не локковская философия в целом, а подход Локка к решению того скромного вопроса, с которого я начал эту статью: каким образом “частное” может служить эквивалентом “общего” в практике математических доказательств.

Известно, что в истории философских учений общая постановка этого вопроса конкретизировалась, как правило, на примере теоремы о сумме внутренних углов треугольника. Это было, по-видимому, не случайно, поскольку сама теорема тесно связана с содержанием постулата о параллельных линиях, издавна волновавшем научный мир. Со временем ссылка на эту теорему превратилась в своего рода троп, в метафору, заменяющую абстрактное обсуждение вопроса. Но Локк отступает от этой практики. Для него именно пример приобретает собственное значение, но не в контексте логического вывода частного из общего, а в контексте его теории общих идей.

Вот, что пишет Э. Бет в связи с теорией Локка: “Локк этот вывод толкует таким образом, что доказательство с самого начала относится не к особому треугольнику (например, треугольнику, начерченному на доске — М.Н.), а к “всеобщему треугольнику” и как раз в силу этого оно должно вести к выводу об общезначимости” (Beth E.W. Uber Lockes... S. 365). При этом Э. Бет ссылается на то место из сочинения Локка, где последний говорит о трудности, но необходимости “составить общую идею треугольника”, которая “не должна быть идеей ни косоугольного, ни прямоугольного, ни равностороннего, ни равнобедренного, ни неравностороннего треугольников; она должна быть всеми ими и ни одним из них в одно и то же время” (Локк Дж., Соч. Т. 2, М., 1985. С. 74).

В свете соображений, которые я намереваюсь представить в заключительной части этой статьи, было бы слишком поспешно говорить о невозможности такой общей идеи, как это, оппонируя Локку, заявлял Дж. Беркли. Но, справедливости ради, отмечу, что Локк и сам был невысокого мнения о конструктивности таких общих идей, поскольку являясь абстракциями довольно высокого порядка, они, в отличие от представлений, не подкрепляются чувственным опытом, то есть столь дорогим для Локка свидетельством внешних чувств. Поэтому, кроме этого — абстрактного — пути оправдания математических общих суждений, Локк ищет другой — конкретный путь. Если всякое общее знание заключено только в нашем уме, а не всякая общая идея, порождённая в этом уме, отчётлива и достоверна, то истинность и общность знания надо искать в характере связи между идеями, в отношениях между ними. Тогда критерием истины становится непосредственное восприятие этих отношений[4]. В этом случае “ум воспринимает истину, как глаз воспринимает свет”. Такое познание Локк называет интуитивным, и от “интуиции зависит всецело достоверность и очевидность нашего познания”. Интуиция для Локка выше логики, как и вообще любого дискурса: “познание, основанное на доказательстве, гораздо менее совершенно, чем интуитивное”[5]. Как инстанция более высокая, интуиция необходима для оценки всех звеньев доказательства и заключения о пригодности доказательства в общем случае[6].

Математическое доказательство, согласно Локку, может быть только частным. Поэтому в математике мы нуждаемся во внелогических критериях его общности. Ведь “если бы кто доказал какое-нибудь положение для одного треугольника или круга, его знание не выходило бы за пределы данной отдельной фигуры”[7].

Мы видим, что в этом фрагменте Локк совершенно забывает о своей идее “общего треугольника”, указывая тут же на иной критерий перехода от частного знания к знанию общих положений. Этот, пожалуй главный для него, критерий состоял в следующем: если мы однажды что-либо доказали на частном примере, то в последующем мы можем пользоваться этим обстоятельством неограниченно, не осуществляя новых доказательств, поскольку за это ручается принцип сохранности тех же самых отношений между теми же самыми неизменными вещами[8]. Говоря иначе, для обоснования перехода от частного к общему Локк привлекает идею тождества в той её форме, которую я называю абстракцией постоянства[9]. Но не трудно сообразить, что такой подход — это просто перестановка спорного вопроса (ignoratio elenchi). Никто, конечно, не сомневается, что “если три угла (в действительности их сумма — М.Н.) треугольника были некогда равны двум прямым, они всегда останутся равны двум прямым”, коль скоро речь идёт о геометрическом треугольнике. Но утверждать, что на “этом именно основании частные доказательства дают в математике общее знание”[10], значит подменять вопрос. Речь не о том, что гарантирует сохранность однажды полученного знания, а об источнике общего знания, коль скоро наш опыт ограничен частными примерами. В первом случае квантор общности “бежит по моментам времени” и имеет чисто онтологическое (или, если хотите, гносеологическое) оправдание. Во втором случае квантор общности “бежит по объектам теории”, и его появление должно иметь логический смысл.

Итак, хотя Локк и не уходит от решения вопроса нашей сегодняшней темы, он не улавливает дедуктивный механизм обобщения в рамках математических доказательств, полагая, что достаточно сослаться на принцип сохранности отношений. И этот аргумент Локка можно было бы принять во внимание, если бы его смысл был таков: доказательство, проведённое на особом треугольнике АВС, является общим, поскольку его можно повторить на любом другом треугольнике, ведь условия, существенные для первого доказательства, полностью сохраняются и для всех последующих доказательств на других примерах. Иначе говоря, доказательство на примере равносильно общему доказательству в таких ситуациях, когда общность состоит в методе доказательства, а не в объектах применения этого метода. Обобщить — значит сделать так, чтобы различное можно было бы рассматривать как “одно и то же”. В нашем случае этим “одним и тем же” является именно метод доказательства.

Так, или почти так, понимала суть дела С.А. Яновская, которая в своей последней прижизненной публикации связала решение нашего вопроса с именем Локка. Рассмотрев один из конкретных случаев применения правила полной математической индукции, она отмечала, что это правило “позволяет сводить (при определённых условиях) доказательства, осуществляемые по-разному для разных а, к таким доказательствам, которые выполняются одинаково для любого n, если доказывают что-либо для всех n... Этот последний способ доказательства общих предложений, называемый иногда “правилом Локка”, и есть принимаемое обычно в исчислении предикатов правило “обобщения”, или “введения квантора общности”, позволяющее из... того, что теорема доказана для равнобедренного треугольника АВС, сделать заключение, что она верна для всех равнобедренных треугольников”[11].

Я оставляю в стороне вопрос о тождественности правила "-обобщения логики предикатов и правила полной математической индукции. Я отрицательно ответил на этот вопрос в своей диссертации. Но тогда же я не согласился и с тем, чтобы называть это правило (по крайней мере в чистой логике предикатов) именем Локка[12]. Конечно, упоминание имени философа индуктивистской (и даже интуитивистской) ориентации в связи с чисто формальной процедурой "-обобщения в логике предикатов само по себе любопытно. Но, к сожалению, С.А. Яновская не указала, на каком основании и кому принадлежит инициатива называть это правило “правилом Локка”. Предыдущий анализ локковской философии математики как будто бы не даёт для этого никаких оснований. Только идея “общего треугольника” могла бы послужить подходящим поводом к этому. Но для действительного развития этой идеи Локк сделал не больше, чем Платон или Аристотель[13].