Математическая методология - раздел Философия, ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ
Место Математики В Системе Наук Определяется Также Тем, Что О...
Место математики в системе наук определяется также тем, что она' играет для других дисциплин и роль методологии. И не только в отношении естествознания, но и для наук социального, гуманитарного цикла. Как заметил еще Р. Декарт, математика вместе с тем, что она язык науки, является также способом мышления, инструментом доказательства. Таким образом, она выполняет функцию общенаучного метода, принимая на себя, можно сказать, обязанности философской методологии.
Обладая способностью представлять любую информацию в виде количественных характеристик, математика вырабатывает и особые, отличные от естествознания приемы исследования, это математический эксперимент, математическая гипотеза, математическое моделирование. Их специфика состоит в том, что вместо операций с веществом и энергией они добывают результат путем решения соответствующих дифференциальных уравнений, интерпретируя затем полученные числовые выражения в терминах содержательного значения.
Вообще, выделяют три вида эксперимента (от лат. ехреrimentum – проба, опыт): натурный, мысленный и математический.
Натурный эксперимент представляет манипуляцию с вещами и энергиями. Он осуществляется в контролируемых и управляемых условиях, обычно специально созданных. Мысленный эксперимент – это также деятельность с материальными предметами и процессами, но взятыми не в натуре, а на уровне образного прочтения физической ситуации и в значительной мере, как считает Р. Харре, опираясь на интуицию1. Так, Г. Галилей, рассуждая о возможности физических изменений систем, движущихся относительно других систем, провел мысленный эксперимент. «Наполнив» каюту корабля бабочками, мухами и т.п., стал «наблюдать» их поведение с целью определить разницу в состояниях, когда корабль плывет и когда он находится в покое.
Математический эксперимент, имея дело не с самими предметами и процессами природы, а с их количественными описаниями,
______________
1 См.: Харре Р. Потенцирующие образы и интуиция в физике // Вопросы философии. 2000. № 9. С. 78-92.
позволяет избежать материальных затрат на сооружение установок и лабораторий, ибо, как заметил отечественный геометр А. Яглом, единственной лабораторией математика является его интеллект. Характерен такой эпизод. Как-то А. Эйнштейн с супругой знакомился со знаменитой американской обсерваторией Маунт Вильсон. Им показали гигантский телескоп. Фрау Эльза поинтересовалась, зачем нужны столь масштабные инструменты. Директор обсерватории, сдерживая улыбку перед подобной наивностью, прояснил, что это необходимо, чтобы исследовать глубины Вселенной. «Странно, – отозвалась фрау, – а мой муж делает это на обороте старого почтового конверта...»
Аналогичным образом работает и математическая гипотеза, задавая физическую ситуацию на языке числовых параметров и оперируя затем последними. Так, вместо обычной используется своего рода «вычислительная» гипотеза, полученная на основе математических расчетов, благодаря чему имеем доступ к недоступным объектам. Эффективность математической гипотезы обусловлена возможностью на основе математического формализма находить по аналогии результат до выяснения его физического содержания.
В этом отношении примечательна история квантовой механики. Руководитель теоретического семинара нидерландский физик, работавший в Германии, П. Дебай попросил Э. Шредингера прореферировать статью Л. де Бройля «О волнах материи». При подготовке реферата Шредингер взял уравнение классической физики и, руководствуясь идеей де Бройля о том, что любой материальной частице соответствует некоторый волновой процесс, обобщил ситуацию, перенеся уравнение классической физики в новую область. Так появилось знаменитое волновое уравнение квантовой механики, ставшее вторым ее вариантом после матричного, возникшего несколько ранее. Кстати заметить, что Д. Гильберт, оценивая успех Шредингера, обратил внимание на то, что оказался невостребованным прием математической гипотезы, на возможность использования которого в свое время Гильберт указывал. Подробнее об этом см. гл. XIII, 2.
Так же эффективно и математическое моделирование. По определению, модель есть заместитель объекта, квазиобъект, на котором испытываются режимы работы исследуемого явления, и результаты переносятся с учетом масштабов на оригинал. Процедура получения информации на модели осуществляется следующим образом. Если A есть модель B, то выполняется такая зависимость y=f(x), где f – знак связи, а y и x – переменные. Тогда, подставляя на
место x характеристики A, будем получать на месте у набор значений B. В случае математического моделирования в качестве объекта-заместителя выступает не вещь, а набор дифференциальных уравнений, решая которые исследователь выводит результат и интерпретирует его в терминах вещественных характеристик изучаемого объекта.
На этом пути чисто математически бывший президент Академии наук СССР Г. Марчук получил интересный для теории и практики медицины результат, описанный им в книге «Математические модели в иммунологии». Выполненное сугубо формально вычисление привело его к парадоксальному выводу: для выздоровления в случае хронической болезни надо не понижать, а, наоборот, увеличивать концентрацию вируса в организме. Этого можно достичь путем введения биостимуляторов. Отвлекая работу иммунной системы на себя, биостимуляторы создают условия для бурного размножения вируса, вызывающего хронический процесс, что, в свою очередь, обеспечит переход тлеющего течения патологии в открытую форму. А это может содействовать выздоровлению, поскольку в открытой стадии бороться с болезнью легче1.
Все темы данного раздела:
Определение философии. Разброс значений
Существует масса определений философии: от попыток, отлучающих ее от корпуса наук, до признания философии наукой наук.
Распространено убеждение (и не только по причине пред
Функции философии в их отношении к математике
Обычно выделяют два функциональных назначения философии – мировоззренческое и методологическое. Под мировоззрением понимается взгляд на мир и определение места человека в мире.
Философия в математике. Констатации и оценки
Тезис о взаимных влияниях математики и философии хотелось бы подкрепить высказываниями самих ученых.
Еще Платон считал математику необходимым введением в философию. Недаром
Математический объект как абстракция от абстракции
Нередко особенность математического знания видят в том, что оно оперирует понятиями высокой степени абстрактности, благодаря чему его объекты носят очень общий характер, выражая сам
Математика – наука об отношениях
Лишая свои объекты каких-либо вещественных характеристик, абстрагируясь от любых материальных, природных свойств, математика все же что-то им оставляет, иначе она не могла бы соотно
Проблема свободы математического творчества
Определив математику как науку об отношениях, немедленно сталкиваемся с вопросом, а чем или, может быть, кем задаются отношения?
В естествознании отношения, то есть законы
Знак и значение
Специфика математики, ее объектов остро задевает вопрос о математических знаках. Что они обозначают, что за ними скрывается? Мы выходим к общей проблеме – знак и значение, как они п
Проблема существования математического объекта
Этот вопрос закономерен в силу специфики математики, не являющейся описанием вещей. Венгерский математик А. Реньи ставит проблему так. Врач изучает болезни, астроном – звезды и т.п.
Концепция языковых каркасов Карнапа и два языка математики
Любая научная теория оперирует, как уже отмечалось, не непосредственно объектами природы, а их концептуальными отображениями в понятиях. Последние находятся поэтому в двойном подчин
Математика и объективный мир. Пифагорейский синдром
Выключение философского аспекта при решении собственно математических проблем не означает отказа вообще обсуждать философские темы математики, ее языка. Надо только не привносить од
Принцип дихотомии знания
Научное знание разбивают по способу установления истины на два взаимоисключающих класса – по принципу дихотомического деления (от греч. dicha и tome – сечение на две части), когда о
Математика как язык науки
Представляя собой тип формального знания, математика занимает особое место в отношении наук фактуального профиля. Она оказывается хорошо приспособленной для количественной обработки
Математика – источник представлений и концепций в естествознании
Еще одно методологическое назначение математики состоит в том, что она вырабатывает для остальной науки, прежде всего для естествознания, структуры мысли, формулы, на основе которых
Понятие обоснования математики
Под обоснованием математики понимают демонстрацию возможности существования объектов ее теории и возможной истинности предложений об этих объектах. Иначе говоря, это вопрос о соотно
Программа логицизма
Лидеры логицизма (Г. Фреге, Б. Рассел и др.) видели основания математики в логике. Вообще, возможны четыре типа соотношения математики и логики: 1) математика – часть логики; 2) лог
Этап арифметизации.
По существу, он был завершен до появления программы логицизма, однако, как выяснилось позднее, работал на нее. В известной мере это относится и к этапу аксиоматизации арифметики, хотя проводивший в
Второй этап – аксиоматизация арифметики.
Далее встает задача представить в минимуме понятий сам натуральный ряд, то есть вывести (указав правила перехода) из исходных, простейших элементов всю совокупность целых чисел. Аксиоматизацию начи
Причина неудач
Выполнение замысла логистов близилось к концу: оставалось лишь выровнять шероховатости, чем и занялся Г. Фреге, который, как пишут авторы известной книги «Основания теории множеств»
Философская оценка
В реализации логицистской программы ее творцы то и дело выходили на философию, без привлечения которой процедура сведения математики к логике выглядела незавершенной и сами логическ
Критика интуиционистами основ логицизма и проблема бесконечности
Новая ориентация в обоснованиях, впервые заявившая о себе в 1907 г., представляла реакцию на попытки придать математике чисто логическое истолкование. Интуиционисты (Я. Брауэр, Г. В
Интуитивистская альтернатива
Все беды обоснования интуиционизм видит не собственно в логике (в несовершенстве ее аппарата), а в самой математике и именно в неточном использовании ее понятий, прежде всего – поня
Ограниченность интуиционизма
Логико-математические идеи интуиционистов тесно переплетены с известными философскими установками, которые выдают их во многом односторонне-субъективное происхождение.
Поск
Конструктивная ветвь
Попытки спасти интуиционистские идеи и начинания, развить далее оригинальные и продуктивные мысли предприняли сторонники конструктивного течения. Продолжая традицию интуиционистског
Программное заявление
Кризисные явления в математике, заставившие обратиться к ее обоснованиям, и трудности, вставшие перед логицистами, породили наряду с интуиционизмом еще одно течение – формализм. Пер
Концепция абсолютного доказательства и метод формализованной аксиоматики
Чтобы доказать непротиворечивость, Гильберт использует метод так называемого абсолютного доказательства, который находит реализацию в идее формализованной аксиоматики.
Вооб
Результаты Геделя
В 1931 г. 25-летний австрийский математик Венского университета Курт Гедель (позднее, после аншлюса, эмигрировавший в США) доказал теоремы, из которых следовало, что программа Гильб
Это предложение недоказуемо.
Допустим, что данное предложение ложно. То есть неверно, что оно недоказуемо. Следовательно, оно доказуемо. Притом оно истинно, поскольку, допустив, что оно ложно, мы получим противоречие. Но от эт
Итоги исканий
Анализ рассмотренных основных направлений философского обоснования математики показывает, что ни одно из них не принесло удовлетворяющего решения. Вместе с тем каждое, внося что-то
Новые подходы
Были отмечены результаты, полученные ведущими течениями в области обоснований математики. Но это, так сказать, содержательный аспект исканий. Вместе с ним наметилось и другое.
Обоснование в свете эволюции математики
Обзор классических, если можно так сказать, направлений (логицизм, интуиционизм и конструктивизм, формалистское течение) и современных подходов (аксиоматический и теоретико-категори
Истина в формализованных языках
Современные подходы к проблеме истины наряду с традиционной гносеологической истиной (соответствие объекту вне нас) выделяют также онтологическую (истина бытия, то есть его изначаль
Критерий выводимости и понятие корректности
Являясь совокупностью формализованных языков, математика представляет собой область, в которой реализуется разработанное А. Тарским понятие истины. Напомним, что это так называемый
Математика и методы схоластики
В характере математического строя мышления и в принципах схоластических рассуждений есть немало общих черт. Мы уже отмечали ранее их тематические точки касаний. Здесь хотелось бы ос
Математическое доказательство
Теория доказательства разработана в логике и включает три структурных компонента: тезис (то, что предполагается доказать), аргументы (совокупность фактов, общепринятых понятий, зако
Принципы построения дедуктивных теорий
Дедуктивный путь рассуждения как выведение отличается от индуктивного как наведения (от лат. inductio) рядом особенностей.
Дедуктивный вывод является принудительным, его пр
Критерии «внешнего» оправдания
Как и любая наука, математика руководствуется определенными критериями принятия оперируемыми высказываниями в качестве истинных. Необходимо говорить о внутренних и внешних оправдани
Вторичные показатели истины
В силу особой природы математики, где эмпирические критерии истины не участвуют в поиске, их оправдательная функция реализуется, как мы пытались это осветить в последнем параграфе п
Критерии «внутреннего совершенства». Эвристика
Далее мы хотели бы рассмотреть эвристические возможности вторичных показателей истины. Эвристика (от греч. «эврика» – Я нашел) – наука о вспомогательных, дополнительных к основным (
Quot;x(Sx®Px) ® (Px®Sx).
Однако, как нами уже отмечено, подобное умозаключение некорректно. Проиллюстрируем это более прозрачным примером: на основании того, что, скажем, все космонавты спортсмены, вовсе не следует, что вс
Базисные определения. Расстановка позиций
Творческая деятельность математика осуществляется в режиме логического и интуитивного поиска, которые сочетаются на основе принципа дополнительности в боровском смысле.
По
Понятие формализации
Под формализацией понимается специфический прием исследования, назначение которого состоит в том, чтобы уточнять знание посредством выявления его формы (способа организации, структу
Эвристика. Формализация как прием получения нового знания
Наличие глубокого единства формы и содержания, фактов перехода одного в другое и становится основанием использовать процедуру формализации как прием, как метод выявления нового соде
Границы и издержки формализации
Рекомендуя метод формализации к методологическому использованию, стоит отметить некоторые негативные сопровождения, характеризующие этот прием.
Прежде всего, напомним о рез
Проблемная ситуация и алгоритм метода
Обратимся еще к одному методу, широко применяемому в математическом творчестве. Более того, своими корнями он уходит в математику, появившись именно в ней и находя в ней наиболее ад
Преимущества общего подхода
Почему же разработка общих методов оказывается столь эффективной?
Вначале уточним, что имеют в виду, говоря об общем в науке, познании. Общее – не просто свойство, присущее
Эвристика
Метод обобщающей переформулировки проблемы может выступать эффективным эвристически-вспомогательным орудием математического поиска, подспорьем в научных поисках. В трудах математико
В СОЦИАЛЬНОМ ИЗМЕРЕНИИ
Математика занимает особое место в системе общественных ценностей.
По существу она во все времена определяла лицо науки, ибо, как заметил А. Пуанкаре, окончательная идеальн
МАТЕМАТИКА: СПЕЦИФИКА, МЕСТО В СТРУКТУРЕ НАУКИ
Глава 1. Предметная область философии математики 5
1. Определение философии. Разброс значений 5
2. Функции философии в их отношении к математ
ФИЛОСОФСКИЕ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
Глава V. Проблемы обоснования математики и ее решение логицизмом 72
1. Понятие обоснования математики 72
2. Программа логицизма 76
3
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИСТИНА: СТАТУС, СТРУКТУРА, КРИТЕРИАЛЬНЫЕ ОРИЕНТИРЫ
Глава IX. Специфика истины в математике 140
1. Истина в формализованных языках 140
2. Критерий выводимости и понятие корректности. 145
МЕТОДОЛОГИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПОИСКА
Глава XII. Интуиция и логика 190
1. Базисные определения. Расстановка позиций 190
2. Этапы творческого процесса 193
а) Постановка пр
Новости и инфо для студентов