Понятие обоснования математики - раздел Философия, ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ
Под Обоснованием Математики Понимают Демонстрацию Возможности...
Под обоснованием математики понимают демонстрацию возможности существования объектов ее теории и возможной истинности предложений об этих объектах. Иначе говоря, это вопрос о соотношении концептуальных математических построений и объективной реальности, которую они должны в конечной инстанции отображать. Это и задает определенный философский смысл проблеме.
В других науках (физике, химии, биологии), которые опираются на эксперимент, наблюдение, существование описываемых ими объектов очевидно, и потому эти науки получают эмпирическое оправдание. Поскольку математика оперирует особыми, «рафинированными» объектами, лишенными свойств в обычном (физическом, химическом и т. п.) смысле, то их прообразы не существуют в реальности так же осязаемо, как в случае остальных наук. Отсюда необходимость обоснования права на их существование.
Более того, умозрительны не только сами объекты математики, но и ее методы, поскольку истинность здесь не в соотносимости высказываний некой эмпирической ситуации, а в их логической выводимости на основе аксиом. Как замечает академик А. Александров, можно тысячи раз измерять сумму углов треугольника и убедиться, что она равна 2d. Но математику этим ничего не дока-
жешь. Ему докажешь, если выведешь рассматриваемое утверждение из аксиом. Так и ученик, решая задачу определения угла треугольника, не измеряет его транспортиром, а выводит логическим, оперируя соответствующими теоремами. В связи с этим академик (в режиме соблюдения постулата «сохранения серьезности») замечает. Когда аспирант-математик жалуется, что у него нет условий для занятий, ему можно ответить: «Какие условия тебе нужны? Есть бумага и карандаш и есть подоконник. Занимай его и работай».
В силу специфики математической науки ее объекты постулируются, либо если и доказываются ссылкой на ранее созданные и принятые теории, то в этих последних они также постулируются. Иных оснований и обоснований для введения математических, равно как и для вынесения претендующих на истинность высказываний о них, у нас нет. Все иные основания могли бы быть только экспериментально-наблюдательными, но ссылка на эмпирию здесь бьет мимо цели. Остается принять объекты лишь с помощью постулатов, что и требует философского оправдания их права на существование.
Следует признать, что сама обоснованность обоснования отнюдь не безальтернативна. Задается вопрос, так ли уж эффективно обоснование математики? По мнению Л. Витгенштейна, в обосновании нуждается нечто недостаточно устойчивое, иначе какой резон этим заниматься? Но тогда то, что вовлекается в процедуру обоснования, что служит опорой для него, должно быть на самом деле надежным, стабильным. Однако философия подобными свойствами не обладает. Так может ли она стать обоснованием математики? Никакая философия, резюмирует Витгенштейн, не может помочь математике, ибо она имеет только математические трудности, но не философские. Как полагают некоторые исследователи, математик вообще не нуждается в чьих-либо оправданиях и поддержках, ибо, по выражению Р. Киплинга, математика сама себе расстелила ковры ослепительной славы, так кто или что ей способны еще чего-то добавить!
Здесь есть своя правда. Заметим лишь, что, обращаясь к философским обоснованиям, не имеют в виду оправдать математику с помощью какой-либо конкретной философской доктрины, что определенно сомнительно (хотя не исключено и это). Главная цель подобных намерений в том, чтобы понять, каково отношение математической теории в качестве чисто умозрительной структуры к
реальности, что стоит за математическим объектом (и стоит ли вообще что-то) и чему он обязан своим появлением. По существу, это попытки (и прежде всего самих математиков) выйти за грани собственной науки, соотнести ее содержание с чем-то внешним, предлежащим ему – с действительным миром, с другими продуктами человеческой мысли. Но подобные проблемы и называются философскими. Поэтому к ним едва ли применимы такие квалификации, как нечто неустойчивое, зыбкое. Они столь же неустойчивы, сколь устойчивы.
Проблема обоснования вызревала исторически, имеет глубокие корни. Вехами на пути становления проблемы были кризисы в основаниях математики, которые и возвели постановку этой темы в ранг актуальных. Выделяют три кризиса.
Первый из них поразил уже античную математику (V в. до н. э.). Речь о несоизмеримости отрезков. Две величины или длины считаются соизмеримыми, если обладают общей мерой, то есть величиной или длиной, которая укладывается на них целое число раз. Считалось, что все отрезки соизмеримы, и вдруг обнаружились странности. Оказалось, что некоторые длины несоизмеримы. Например, сторона и диагональ квадрата, катет и гипотенуза прямоугольного треугольника, также несоизмеримы длина окружности и ее диаметр, площади круга и квадрата, построенного на радиусе этого круга, и др.
Возьмем соотношение стороны и диагонали квадрата. Каждый из этих отрезков может быть точно вымерен в единицах длины – метрах, сантиметрах и т. д. Но становится невозможным измерить их один посредством другого, то есть взяв за единицу измерения меньший отрезок. Так, сторона квадрата не укладывается целое число раз на его диагонали. Непременно образуется остаток. Но, может быть, можно взять за единицу этот остаток и измерить диагональ им? Оказалось, что и этот новый отрезок столь же непоместим ровным счетом, как и прежний. И так до бесконечности.
Таким образом, наряду с целыми и дробными числами появляется новое число. В общем случае гипотенузу можно выразить посредством катета через ранее неизвестную величину c =√(a2 + b2).
Это с назвали иррациональным числом, то есть выходящим за грань разумного, рационального (каковым остались целые и дробные величины).
Второй кризис оснований математики развернулся на рубеже XVII-XVIII вв. по причине вычисления бесконечно малых. По определению, бесконечно малые – это величины, стремящиеся к пределу, равному нулю, но никогда его не достигающему. Это их противоречивое свойство порождало двусмысленность: одни математики считали бесконечно малые нулями и отбрасывали их при вычислениях, другие считали, что все же они отличны от нуля, хотя и на величину бесконечно малую. Перед лицом подобной раздвоенности известный английский философ того времени Д. Беркли обвинил современную ему математику во всех грехах, поставив под сомнение ее научность.
Многие в течение долгих лет считали Беркли на этом основании ретроградом, воюющим против нового. Конечно, подобные выступления не красили философа, но не стоило ему приписывать квалификации темного человека, не сведущего в математике. А. Огурцов справедливо замечает в связи с этим следующее. Полемика Д. Беркли по поводу дифференциального исчисления Ньютона была не полемика обскуранта с новыми открытиями в математике, а защита идеалов античной математики в эпоху, когда их начали сменять новые идеалы . Иными словами, Беркли лишь философски прочертил кризисную ситуацию, поразившую математическую науку.
Выход из кризиса был найден выдающимся французским математиком начала XIX столетия Огюстом Коши, ставшим в 1831 г. иностранным почетным членом Петербургской Академии наук. Подобно тому, как в результате первого кризиса в математику влились новые, иррациональные, числа, второй кризис оснований также принес новые числа. Разрабатывая теорию пределов, Коши обозначил бесконечно малые как величины, существующие в их исчезновении, представляя, по существу, бесконечно умаляющееся. И это было неслыханное заявление, сделавшее решительный поворот в развитии математики. Позднее петербургский математик и физик Л. Эйлер провел своего рода классификацию бесконечно малых, окончательно утвердив этим их математический статус.
Едва улеглись страсти после второго кризиса оснований, как в конце XIX столетия назрел третий – самый глубокий и продолжительный, который волнует математику, логику и философию еще и поныне. Дело в том, что если первый и второй кризисы касались
_______________
1 См.: Огурцов А.П. Выступление на «круглом столе» журнала: Псевдонаучное знание в современной культуре // Вопросы философии. 2001. № 6. С. 17.
собственных проблем математики, выяснения характера ее объектов и принципов их построения, то третий кризис поставил вопрос о точности математики, безупречности ее основных понятий. И это затрагивает уже фундамент математики, по-настоящему выводя проблему на уровень философского осмысления темы, поскольку речь идет о статусе математической науки, правомерности построения ее объектов, возможности их существования и критериях истинности утверждений о них. В предыдущих кризисах подобные вопросы, конечно, тоже возникали, но лишь в частных, не глобальных проявлениях.
По выводу математики из третьего кризиса сложились три направления – логицизм, интуиционизм с его конструктивной ветвью и школа формалистов. Расцвет деятельности всех трех течений падает на период конца XIX – начала XX столетия с выходом конструктивизма в более позднее время. Кроме того, отдельной строкой выделены современные попытки обоснования, нашедшие выражение в теоретико-множественном и категориальном подходах.
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ... А К Сухотин...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Понятие обоснования математики
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Определение философии. Разброс значений
Существует масса определений философии: от попыток, отлучающих ее от корпуса наук, до признания философии наукой наук.
Распространено убеждение (и не только по причине пред
Функции философии в их отношении к математике
Обычно выделяют два функциональных назначения философии – мировоззренческое и методологическое. Под мировоззрением понимается взгляд на мир и определение места человека в мире.
Философия в математике. Констатации и оценки
Тезис о взаимных влияниях математики и философии хотелось бы подкрепить высказываниями самих ученых.
Еще Платон считал математику необходимым введением в философию. Недаром
Математический объект как абстракция от абстракции
Нередко особенность математического знания видят в том, что оно оперирует понятиями высокой степени абстрактности, благодаря чему его объекты носят очень общий характер, выражая сам
Математика – наука об отношениях
Лишая свои объекты каких-либо вещественных характеристик, абстрагируясь от любых материальных, природных свойств, математика все же что-то им оставляет, иначе она не могла бы соотно
Проблема свободы математического творчества
Определив математику как науку об отношениях, немедленно сталкиваемся с вопросом, а чем или, может быть, кем задаются отношения?
В естествознании отношения, то есть законы
Знак и значение
Специфика математики, ее объектов остро задевает вопрос о математических знаках. Что они обозначают, что за ними скрывается? Мы выходим к общей проблеме – знак и значение, как они п
Проблема существования математического объекта
Этот вопрос закономерен в силу специфики математики, не являющейся описанием вещей. Венгерский математик А. Реньи ставит проблему так. Врач изучает болезни, астроном – звезды и т.п.
Концепция языковых каркасов Карнапа и два языка математики
Любая научная теория оперирует, как уже отмечалось, не непосредственно объектами природы, а их концептуальными отображениями в понятиях. Последние находятся поэтому в двойном подчин
Математика и объективный мир. Пифагорейский синдром
Выключение философского аспекта при решении собственно математических проблем не означает отказа вообще обсуждать философские темы математики, ее языка. Надо только не привносить од
Принцип дихотомии знания
Научное знание разбивают по способу установления истины на два взаимоисключающих класса – по принципу дихотомического деления (от греч. dicha и tome – сечение на две части), когда о
Математика как язык науки
Представляя собой тип формального знания, математика занимает особое место в отношении наук фактуального профиля. Она оказывается хорошо приспособленной для количественной обработки
Математическая методология
Место математики в системе наук определяется также тем, что она' играет для других дисциплин и роль методологии. И не только в отношении естествознания, но и для наук социального, г
Программа логицизма
Лидеры логицизма (Г. Фреге, Б. Рассел и др.) видели основания математики в логике. Вообще, возможны четыре типа соотношения математики и логики: 1) математика – часть логики; 2) лог
Этап арифметизации.
По существу, он был завершен до появления программы логицизма, однако, как выяснилось позднее, работал на нее. В известной мере это относится и к этапу аксиоматизации арифметики, хотя проводивший в
Второй этап – аксиоматизация арифметики.
Далее встает задача представить в минимуме понятий сам натуральный ряд, то есть вывести (указав правила перехода) из исходных, простейших элементов всю совокупность целых чисел. Аксиоматизацию начи
Причина неудач
Выполнение замысла логистов близилось к концу: оставалось лишь выровнять шероховатости, чем и занялся Г. Фреге, который, как пишут авторы известной книги «Основания теории множеств»
Философская оценка
В реализации логицистской программы ее творцы то и дело выходили на философию, без привлечения которой процедура сведения математики к логике выглядела незавершенной и сами логическ
Интуитивистская альтернатива
Все беды обоснования интуиционизм видит не собственно в логике (в несовершенстве ее аппарата), а в самой математике и именно в неточном использовании ее понятий, прежде всего – поня
Ограниченность интуиционизма
Логико-математические идеи интуиционистов тесно переплетены с известными философскими установками, которые выдают их во многом односторонне-субъективное происхождение.
Поск
Конструктивная ветвь
Попытки спасти интуиционистские идеи и начинания, развить далее оригинальные и продуктивные мысли предприняли сторонники конструктивного течения. Продолжая традицию интуиционистског
Программное заявление
Кризисные явления в математике, заставившие обратиться к ее обоснованиям, и трудности, вставшие перед логицистами, породили наряду с интуиционизмом еще одно течение – формализм. Пер
Результаты Геделя
В 1931 г. 25-летний австрийский математик Венского университета Курт Гедель (позднее, после аншлюса, эмигрировавший в США) доказал теоремы, из которых следовало, что программа Гильб
Это предложение недоказуемо.
Допустим, что данное предложение ложно. То есть неверно, что оно недоказуемо. Следовательно, оно доказуемо. Притом оно истинно, поскольку, допустив, что оно ложно, мы получим противоречие. Но от эт
Итоги исканий
Анализ рассмотренных основных направлений философского обоснования математики показывает, что ни одно из них не принесло удовлетворяющего решения. Вместе с тем каждое, внося что-то
Новые подходы
Были отмечены результаты, полученные ведущими течениями в области обоснований математики. Но это, так сказать, содержательный аспект исканий. Вместе с ним наметилось и другое.
Обоснование в свете эволюции математики
Обзор классических, если можно так сказать, направлений (логицизм, интуиционизм и конструктивизм, формалистское течение) и современных подходов (аксиоматический и теоретико-категори
Истина в формализованных языках
Современные подходы к проблеме истины наряду с традиционной гносеологической истиной (соответствие объекту вне нас) выделяют также онтологическую (истина бытия, то есть его изначаль
Критерий выводимости и понятие корректности
Являясь совокупностью формализованных языков, математика представляет собой область, в которой реализуется разработанное А. Тарским понятие истины. Напомним, что это так называемый
Математика и методы схоластики
В характере математического строя мышления и в принципах схоластических рассуждений есть немало общих черт. Мы уже отмечали ранее их тематические точки касаний. Здесь хотелось бы ос
Математическое доказательство
Теория доказательства разработана в логике и включает три структурных компонента: тезис (то, что предполагается доказать), аргументы (совокупность фактов, общепринятых понятий, зако
Принципы построения дедуктивных теорий
Дедуктивный путь рассуждения как выведение отличается от индуктивного как наведения (от лат. inductio) рядом особенностей.
Дедуктивный вывод является принудительным, его пр
Критерии «внешнего» оправдания
Как и любая наука, математика руководствуется определенными критериями принятия оперируемыми высказываниями в качестве истинных. Необходимо говорить о внутренних и внешних оправдани
Вторичные показатели истины
В силу особой природы математики, где эмпирические критерии истины не участвуют в поиске, их оправдательная функция реализуется, как мы пытались это осветить в последнем параграфе п
Критерии «внутреннего совершенства». Эвристика
Далее мы хотели бы рассмотреть эвристические возможности вторичных показателей истины. Эвристика (от греч. «эврика» – Я нашел) – наука о вспомогательных, дополнительных к основным (
Quot;x(Sx®Px) ® (Px®Sx).
Однако, как нами уже отмечено, подобное умозаключение некорректно. Проиллюстрируем это более прозрачным примером: на основании того, что, скажем, все космонавты спортсмены, вовсе не следует, что вс
Базисные определения. Расстановка позиций
Творческая деятельность математика осуществляется в режиме логического и интуитивного поиска, которые сочетаются на основе принципа дополнительности в боровском смысле.
По
Понятие формализации
Под формализацией понимается специфический прием исследования, назначение которого состоит в том, чтобы уточнять знание посредством выявления его формы (способа организации, структу
Эвристика. Формализация как прием получения нового знания
Наличие глубокого единства формы и содержания, фактов перехода одного в другое и становится основанием использовать процедуру формализации как прием, как метод выявления нового соде
Границы и издержки формализации
Рекомендуя метод формализации к методологическому использованию, стоит отметить некоторые негативные сопровождения, характеризующие этот прием.
Прежде всего, напомним о рез
Проблемная ситуация и алгоритм метода
Обратимся еще к одному методу, широко применяемому в математическом творчестве. Более того, своими корнями он уходит в математику, появившись именно в ней и находя в ней наиболее ад
Преимущества общего подхода
Почему же разработка общих методов оказывается столь эффективной?
Вначале уточним, что имеют в виду, говоря об общем в науке, познании. Общее – не просто свойство, присущее
Эвристика
Метод обобщающей переформулировки проблемы может выступать эффективным эвристически-вспомогательным орудием математического поиска, подспорьем в научных поисках. В трудах математико
В СОЦИАЛЬНОМ ИЗМЕРЕНИИ
Математика занимает особое место в системе общественных ценностей.
По существу она во все времена определяла лицо науки, ибо, как заметил А. Пуанкаре, окончательная идеальн
МАТЕМАТИКА: СПЕЦИФИКА, МЕСТО В СТРУКТУРЕ НАУКИ
Глава 1. Предметная область философии математики 5
1. Определение философии. Разброс значений 5
2. Функции философии в их отношении к математ
ФИЛОСОФСКИЕ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
Глава V. Проблемы обоснования математики и ее решение логицизмом 72
1. Понятие обоснования математики 72
2. Программа логицизма 76
3
Новости и инфо для студентов