Второй этап – аксиоматизация арифметики. - раздел Философия, ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ Далее Встает Задача Представить В Минимуме Понятий Сам Натуральный Ряд, То Ес...
Далее встает задача представить в минимуме понятий сам натуральный ряд, то есть вывести (указав правила перехода) из исходных, простейших элементов всю совокупность целых чисел. Аксиоматизацию начинают Дедекинд и Грассман, а завершает Пеано. Выделив три основных понятия – «натуральное число», «следование за...» (одного числа непосредственно за другим), «начальный член натурального ряда» (0 или 1), Пеано связал их пятью аксиомами.
1) 1 есть натуральное число; 2) следующее за натуральным числом есть натуральное число; 3) 1 не следует ни за каким натуральным числом; 4) если натуральное число b следует за натуральным числом а и за натуральным числом с, то а и с тождественны. Заметим, несколько забегая вперед, что эта аксиома выступает как проявление более общей, логической аксиомы функциональности aRbÙcRb® a=c, то есть если предметы а и с одинаково относятся к b, то а и с есть один и тот же предмет. Скажем, если Петр – брат Елены и Сергей – брат Елены, то Петр и Сергей – братья. Типично дедуктивное умозаключение на основе суждений с отношениями. У В. Теккерея описан интересный эпизод.
В дворянском собрании одного из английских графств высокопоставленные особы делились воспоминаниями. Среди присутствовавших был местный аббат, который сообщил, что первым, кто у него исповедовался, был убийца. Еще не остыли его слова, как в помещение клуба вошел один знатный господин округи. Поздоро-
____________
1 Пуанкаре А. Наука и метод. СПб., 1910. С. 101.
вался, огляделся и произнес: «О, аббат, и вы здесь. А вы знаете, господа, я был первым, кто исповедовался у аббата». В собрании возникла, говоря языком драматургии, немая пауза. Кто бы мог подумать, что столь почитаемый коллега – убийца. Но ни он, ни аббат прямо об этом не заявляли. Факт вытекает как следствие логического умозаключения. Формализуем:
a – знатный дворянин,
b – аббат,
c – убийца,
R – исповедоваться первым.
Налицо та же логическая формула функциональности (aRbÙcRb® a=c), следствием которой является рассматриваемая аксиома арифметики, что и может послужить основанием рассматривать последнюю в качестве теоремы, выводимой из аксиомы логики.
Наконец, аксиома 5) если какое-либо предложение доказано для 1 и если из допущения, что оно верно для натурального числа и, вытекает, что оно верно и для следующего за п натурального числа, то это предложение верно для всех натуральных чисел.
Итак, арифметика аксиоматизирована. Следующий шаг программы –
определение исходных понятий аксиоматизированной арифметики в терминах логики, а аксиом – как теорем логики.
Понадобился специальный логический аппарат. Он создавался ранее. Первые идеи находим у Р. Декарта (XVII в.), рассматривавшего математику как частный случай исчисления (общего формально-логического метода). Г. Лейбниц (в книге «Искусство комбинаторики») говорит о введении универсального языка науки, функционирующего на основе целесообразно подобранной символики и предназначенного для проведения рассуждений1. Не надо будет спорить ни по вопросам науки, ни о политике. Имея такой язык, люди скажут «сядем и будем вычислять». Затем Лейбниц развивает идеи, близкие понятиям символической логики (например, вводит логическое умножение и сложение). В середине XIX в. Д. Буль создает алгебру логики, а де Морган формулирует принципы логики высказываний и логики классов.
Использовать этот аппарат в интересах логицизма и пытается Г. Фреге. Он же формулирует программу логицизма.
____________________
1 Язык предполагает, по Лейбницу, указание списка всех элементарных понятий (алфавит человеческих мыслей), основных отношений между понятиями и правил комбинаций с этими символами.
Проводится следующая цепь доказательств. Математика покоится на логике (не на эксперименте), ибо ее доказательства – апелляция не к опыту, а к возможности (процедуре) логического выведения одного предложения из других. Что же касается самой логики, то ее утверждения, по мнению логицистов, формальны, они ничего не говорят о мире и представляют аналитические высказывания, тавтологии. Их истинность зависит не от содержания, но лишь от формы, оттого они истинны "во всех возможных мирах".
Таким образом, логику можно изложить в виде исчисления, построив формализованный логический язык. Тогда, поскольку математика – часть логики, выдвигается программа: представив логику как исчисление, вывести из ее аксиом все положения чистой математики и все понятия последней описать посредством логических понятий (для чего и необходимо было выразить ее в минимуме исходных терминов и положений). В результате понятия математики оказываются понятиями логики (1); аксиомы математики — доказуемыми теоремами логики (2); устанавливаются правила вывода (для получения из логических положений предложений математики) (3).
В соответствии с программой предстояло определить в терминах логики понятие числа и операций над числами. В основе логического подхода к числу лежит идея взаимно-однозначного соответствия. Это позволяет установить равенство двух (и более) множеств по количеству элементов, не прибегая к математической операции их пересчитывания и пользуясь просто методом сопоставления элементов одного множества элементам другого. Если удается установить полное однозначное соответствие, то множества эквивалентны. Так, множество сторон света эквивалентно множеству углов равностороннего прямоугольника, а также эквивалентно множеству букв в слове «вода», множеству конечностей человека. Можно говорить о множестве всех таких эквивалентных между собой множеств, имя которому – четыре.
Отсюда любое число есть множество всех множеств, которые эквивалентны между собой. Фреге интерпретировал натуральные числа как кардинальные числа некоторых понятий. Кардинальное (то есть не порядковое, а количественное) число (иначе говоря, мощность) понятия F определялось как сокращение для объема понятия, равночисленного с понятием F. Например, все понятия с единичным объемом (скажем, столица Франции, автор романа «Жерминаль») подпадают под одно понятие с кардинальным числом 1, то есть его мощность равна мощности класса 1, все понятия с кардинальным
числом 2 находятся во взаимнооднозначном соответствии, образуя число 2, и т. д. Таким образом, число есть класс всех возможных его реализаций.
Так же логически определяются арифметические операции: сложение, объединение (дизъюнкция) (a+b) = (aÚb), умножение – как отыскание общих элементов (конъюнкция) (a×b)= (aÙ b). Необходимо отметить только, что в логике эти операции подчинены принципу идемпотентности (сохранения степени), который в математике нарушается. Но о том чуть позже.
Все темы данного раздела:
Определение философии. Разброс значений
Существует масса определений философии: от попыток, отлучающих ее от корпуса наук, до признания философии наукой наук.
Распространено убеждение (и не только по причине пред
Функции философии в их отношении к математике
Обычно выделяют два функциональных назначения философии – мировоззренческое и методологическое. Под мировоззрением понимается взгляд на мир и определение места человека в мире.
Философия в математике. Констатации и оценки
Тезис о взаимных влияниях математики и философии хотелось бы подкрепить высказываниями самих ученых.
Еще Платон считал математику необходимым введением в философию. Недаром
Математический объект как абстракция от абстракции
Нередко особенность математического знания видят в том, что оно оперирует понятиями высокой степени абстрактности, благодаря чему его объекты носят очень общий характер, выражая сам
Математика – наука об отношениях
Лишая свои объекты каких-либо вещественных характеристик, абстрагируясь от любых материальных, природных свойств, математика все же что-то им оставляет, иначе она не могла бы соотно
Проблема свободы математического творчества
Определив математику как науку об отношениях, немедленно сталкиваемся с вопросом, а чем или, может быть, кем задаются отношения?
В естествознании отношения, то есть законы
Знак и значение
Специфика математики, ее объектов остро задевает вопрос о математических знаках. Что они обозначают, что за ними скрывается? Мы выходим к общей проблеме – знак и значение, как они п
Проблема существования математического объекта
Этот вопрос закономерен в силу специфики математики, не являющейся описанием вещей. Венгерский математик А. Реньи ставит проблему так. Врач изучает болезни, астроном – звезды и т.п.
Концепция языковых каркасов Карнапа и два языка математики
Любая научная теория оперирует, как уже отмечалось, не непосредственно объектами природы, а их концептуальными отображениями в понятиях. Последние находятся поэтому в двойном подчин
Математика и объективный мир. Пифагорейский синдром
Выключение философского аспекта при решении собственно математических проблем не означает отказа вообще обсуждать философские темы математики, ее языка. Надо только не привносить од
Принцип дихотомии знания
Научное знание разбивают по способу установления истины на два взаимоисключающих класса – по принципу дихотомического деления (от греч. dicha и tome – сечение на две части), когда о
Математика как язык науки
Представляя собой тип формального знания, математика занимает особое место в отношении наук фактуального профиля. Она оказывается хорошо приспособленной для количественной обработки
Математическая методология
Место математики в системе наук определяется также тем, что она' играет для других дисциплин и роль методологии. И не только в отношении естествознания, но и для наук социального, г
Математика – источник представлений и концепций в естествознании
Еще одно методологическое назначение математики состоит в том, что она вырабатывает для остальной науки, прежде всего для естествознания, структуры мысли, формулы, на основе которых
Понятие обоснования математики
Под обоснованием математики понимают демонстрацию возможности существования объектов ее теории и возможной истинности предложений об этих объектах. Иначе говоря, это вопрос о соотно
Программа логицизма
Лидеры логицизма (Г. Фреге, Б. Рассел и др.) видели основания математики в логике. Вообще, возможны четыре типа соотношения математики и логики: 1) математика – часть логики; 2) лог
Этап арифметизации.
По существу, он был завершен до появления программы логицизма, однако, как выяснилось позднее, работал на нее. В известной мере это относится и к этапу аксиоматизации арифметики, хотя проводивший в
Причина неудач
Выполнение замысла логистов близилось к концу: оставалось лишь выровнять шероховатости, чем и занялся Г. Фреге, который, как пишут авторы известной книги «Основания теории множеств»
Философская оценка
В реализации логицистской программы ее творцы то и дело выходили на философию, без привлечения которой процедура сведения математики к логике выглядела незавершенной и сами логическ
Критика интуиционистами основ логицизма и проблема бесконечности
Новая ориентация в обоснованиях, впервые заявившая о себе в 1907 г., представляла реакцию на попытки придать математике чисто логическое истолкование. Интуиционисты (Я. Брауэр, Г. В
Интуитивистская альтернатива
Все беды обоснования интуиционизм видит не собственно в логике (в несовершенстве ее аппарата), а в самой математике и именно в неточном использовании ее понятий, прежде всего – поня
Ограниченность интуиционизма
Логико-математические идеи интуиционистов тесно переплетены с известными философскими установками, которые выдают их во многом односторонне-субъективное происхождение.
Поск
Конструктивная ветвь
Попытки спасти интуиционистские идеи и начинания, развить далее оригинальные и продуктивные мысли предприняли сторонники конструктивного течения. Продолжая традицию интуиционистског
Программное заявление
Кризисные явления в математике, заставившие обратиться к ее обоснованиям, и трудности, вставшие перед логицистами, породили наряду с интуиционизмом еще одно течение – формализм. Пер
Концепция абсолютного доказательства и метод формализованной аксиоматики
Чтобы доказать непротиворечивость, Гильберт использует метод так называемого абсолютного доказательства, который находит реализацию в идее формализованной аксиоматики.
Вооб
Результаты Геделя
В 1931 г. 25-летний австрийский математик Венского университета Курт Гедель (позднее, после аншлюса, эмигрировавший в США) доказал теоремы, из которых следовало, что программа Гильб
Это предложение недоказуемо.
Допустим, что данное предложение ложно. То есть неверно, что оно недоказуемо. Следовательно, оно доказуемо. Притом оно истинно, поскольку, допустив, что оно ложно, мы получим противоречие. Но от эт
Итоги исканий
Анализ рассмотренных основных направлений философского обоснования математики показывает, что ни одно из них не принесло удовлетворяющего решения. Вместе с тем каждое, внося что-то
Новые подходы
Были отмечены результаты, полученные ведущими течениями в области обоснований математики. Но это, так сказать, содержательный аспект исканий. Вместе с ним наметилось и другое.
Обоснование в свете эволюции математики
Обзор классических, если можно так сказать, направлений (логицизм, интуиционизм и конструктивизм, формалистское течение) и современных подходов (аксиоматический и теоретико-категори
Истина в формализованных языках
Современные подходы к проблеме истины наряду с традиционной гносеологической истиной (соответствие объекту вне нас) выделяют также онтологическую (истина бытия, то есть его изначаль
Критерий выводимости и понятие корректности
Являясь совокупностью формализованных языков, математика представляет собой область, в которой реализуется разработанное А. Тарским понятие истины. Напомним, что это так называемый
Математика и методы схоластики
В характере математического строя мышления и в принципах схоластических рассуждений есть немало общих черт. Мы уже отмечали ранее их тематические точки касаний. Здесь хотелось бы ос
Математическое доказательство
Теория доказательства разработана в логике и включает три структурных компонента: тезис (то, что предполагается доказать), аргументы (совокупность фактов, общепринятых понятий, зако
Принципы построения дедуктивных теорий
Дедуктивный путь рассуждения как выведение отличается от индуктивного как наведения (от лат. inductio) рядом особенностей.
Дедуктивный вывод является принудительным, его пр
Критерии «внешнего» оправдания
Как и любая наука, математика руководствуется определенными критериями принятия оперируемыми высказываниями в качестве истинных. Необходимо говорить о внутренних и внешних оправдани
Вторичные показатели истины
В силу особой природы математики, где эмпирические критерии истины не участвуют в поиске, их оправдательная функция реализуется, как мы пытались это осветить в последнем параграфе п
Критерии «внутреннего совершенства». Эвристика
Далее мы хотели бы рассмотреть эвристические возможности вторичных показателей истины. Эвристика (от греч. «эврика» – Я нашел) – наука о вспомогательных, дополнительных к основным (
Quot;x(Sx®Px) ® (Px®Sx).
Однако, как нами уже отмечено, подобное умозаключение некорректно. Проиллюстрируем это более прозрачным примером: на основании того, что, скажем, все космонавты спортсмены, вовсе не следует, что вс
Базисные определения. Расстановка позиций
Творческая деятельность математика осуществляется в режиме логического и интуитивного поиска, которые сочетаются на основе принципа дополнительности в боровском смысле.
По
Понятие формализации
Под формализацией понимается специфический прием исследования, назначение которого состоит в том, чтобы уточнять знание посредством выявления его формы (способа организации, структу
Эвристика. Формализация как прием получения нового знания
Наличие глубокого единства формы и содержания, фактов перехода одного в другое и становится основанием использовать процедуру формализации как прием, как метод выявления нового соде
Границы и издержки формализации
Рекомендуя метод формализации к методологическому использованию, стоит отметить некоторые негативные сопровождения, характеризующие этот прием.
Прежде всего, напомним о рез
Проблемная ситуация и алгоритм метода
Обратимся еще к одному методу, широко применяемому в математическом творчестве. Более того, своими корнями он уходит в математику, появившись именно в ней и находя в ней наиболее ад
Преимущества общего подхода
Почему же разработка общих методов оказывается столь эффективной?
Вначале уточним, что имеют в виду, говоря об общем в науке, познании. Общее – не просто свойство, присущее
Эвристика
Метод обобщающей переформулировки проблемы может выступать эффективным эвристически-вспомогательным орудием математического поиска, подспорьем в научных поисках. В трудах математико
В СОЦИАЛЬНОМ ИЗМЕРЕНИИ
Математика занимает особое место в системе общественных ценностей.
По существу она во все времена определяла лицо науки, ибо, как заметил А. Пуанкаре, окончательная идеальн
МАТЕМАТИКА: СПЕЦИФИКА, МЕСТО В СТРУКТУРЕ НАУКИ
Глава 1. Предметная область философии математики 5
1. Определение философии. Разброс значений 5
2. Функции философии в их отношении к математ
ФИЛОСОФСКИЕ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
Глава V. Проблемы обоснования математики и ее решение логицизмом 72
1. Понятие обоснования математики 72
2. Программа логицизма 76
3
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИСТИНА: СТАТУС, СТРУКТУРА, КРИТЕРИАЛЬНЫЕ ОРИЕНТИРЫ
Глава IX. Специфика истины в математике 140
1. Истина в формализованных языках 140
2. Критерий выводимости и понятие корректности. 145
МЕТОДОЛОГИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПОИСКА
Глава XII. Интуиция и логика 190
1. Базисные определения. Расстановка позиций 190
2. Этапы творческого процесса 193
а) Постановка пр
Новости и инфо для студентов