рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Интуитивистская альтернатива

Интуитивистская альтернатива - раздел Философия, ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ   Все Беды Обоснования Интуиционизм Видит Не Собственно В Логик...

 

Все беды обоснования интуиционизм видит не собственно в логике (в несовершенстве ее аппарата), а в самой математике и именно в неточном использовании ее понятий, прежде всего – понятия бесконечности. Первично математическое мышление, а язык и логика суть несовершенные способы его выражения.

Достичь точности и должна помочь интуиция. Необходимо, чтобы все построения опирались только на те утверждения, которые санкционированы изначальной интуицией. Не вдаваясь пока в анализ философских аспектов этого понятия, отметим следующее. Материал, из которого созидаются математические объекты, не является собственно математическим. Это актуально переживаемое. Оно очищено от всего, берется лишь сам акт восприятия, так называемые «жизненные моменты», непосредственно воспринимаемые субъектом. Изначальная интуиция – деятельность, связанная с глубинным ощущением времени. Идея выводить число на основе времени восходит еще к Канту. Человеку всегда дано нечто переживаемое. В качестве элементарного акта мысленных построений интуиционизм рассматривает разделение моментов жизни на качественно различные части, которые, будучи разъединены лишь временем, могут быть снова объединены. В силу сменяемости и последовательности событий мы, воспринимая некоторый объект, можем говорить о следующем за ним объекте. Одновременно происходит очищение разделения переживаемого от какого бы то ни было эмоционального содержания до момента, пока не останется интуиция абстрактного двуединства. «Два в одном» – это и есть базисная интуиция Я. Брауэра.

Так переживаемое во времени t как «настоящее 1» в силу течения времени и возможности удерживать памятью прошлое в нашем сознании двоится на прошлое и настоящее. В итоге имеем: «прошлое – 1, настоящее – 2». Последнее в следующий момент времени (fe) также двоится на настоящее и прошлое, в результате получаем «прошлое – 2, настоящее – 3». При том они даны как очищенные от любого конкретного содержания элементов деления. Складывается числовой ряд:

t1 настоящее 1;

t2 прошлое 1 – настоящее 2;

t3 прошлое 2 – настоящее 3 и т. д.


 

Характеризуя механизм математического построения числа, А. Гейтинг писал: «В построении любого предмета мы представляем его себе как сущность, отвлекаясь от его частных свойств. Мы познаем также возможность неограниченного повторения этой сущности. Здесь-то и лежит источник понятия натурального числа» 1.

Отметим, что к аналогичному представлению подошел известный немецкий ученый Г. Гельмгольц, предвосхитив интуиционистское понимание происхождения чисел. Пытаясь выявить психологические источники аксиом арифметики, он писал: «Счет есть операция, основывающаяся на том, что мы находимся в состоянии удерживать в памяти последовательность, в которой являлись во времени один за другим акты нашего сознания»2.

Стоит особо подчеркнуть тот факт, что хотя по внешним описаниям рассуждения интуиционистов по поводу возникновения числового ряда кажутся построенными на механическом повторе восприятия, на самом деле они, вводя интуицию, пытались уйти от автоматизма, скорее характерного для строго логического мышления и сторонников логицизма. Математическая традиция, на которую опирались логицисты, исповедовала математику «чистых количеств», она и стала опорой математического естествознания. Интуиционизм же нащупывал выход к другим основаниям, в истоках которых находится, как выражались иные, «математика качеств». Она связана не со сложением (механическим повторением), а с операцией деления, когда «два» является не внешним повторением «одного», а внутренним результатом его саморасщепления. Подобное раздвоение единого таит начала бесконечного числа. Это хорошо иллюстрирует схема Эрнста Бинделя.

 

 

 

1 Гейтин А Интуиционизм. М.: Мир, 1965. С. 22.

2 Гельмгольц Г. Счет и измерение. Казань, 1898. С. 6.

 


 

В ряду справа – операции механического мышления и+1, в столбце слева – акты человеческого мышления 1 : п.

Если правый ряд отрицает левый, то левый органически содержит в себе правый как один из моментов анализа.

Итак, первичные математические объекты постулируются на основе интуиции.

Другим важным пунктом интуиционистской программы был пересмотр принципов конструирования систем математических объектов. Я. Брауэр полагал, что они должны формироваться на базе некоторых принципов построения, но не вводиться в математический обиход с самого начала целиком, как множества, отвечающие требованиям заданных аксиом.

Все это существенно меняло подход к обоснованию математики. Для логицизма математический объект существует, если его определение не приводит к противоречию. С точки же зрения интуиционизма существование объекта оправданно, если он задан эффективным определением, указывающим способ (алгоритм) построения. Наиболее адекватно отвечают этому генетические, фиксирующие происхождение объекта определения. Так, согласно родовидовому определению (ближайший класс и отличительные признаки данного подкласса), окружность – замкнутая кривая, все точки которой расположены на одинаковом расстоянии от центра. В соответствии с генетическим определением окружность есть замкнутая кривая, полученная движением точки b отрезка ab вокруг неподвижной точки a.

Разъясняя смысл интуиционистского подхода, Вейль пишет: «Для математика совершенно безразлично, что такое окружность, для него принципиально знать, каким образом может быть задана окружность...» То есть не суть важно, что собой представляет окружность, каково ее математическое содержание, имеет значение лишь способ, каким она может быть построена. Точно так же никто не может определить, что такое функция. Однако функция задана, «если каждому вещественному числу a каким-либо определенным закономерным образом ставится в соответствие число b (например, при помощи формулы b=2a+1). Тогда говорят, что b является значением функции f при значении аргумента, равном а» .

По идее логицистов, все производные понятия дедуцируются из исходных, здесь же понятия рассматриваются не как выводимые, а

__________

1 Вейль Г. О философии математики. М; Л.: ГТТИ, 1934. С. 39.


 

как порождаемые в некотором определенном порядке. Налицо генетический (вместо аксиоматического) метод построения теории, вместо дедукции – конструкция1.

Соответственно в аксиоматике исходным является система высказываний, описывающая некоторую область объектов, и система логических действий над ними. Важны отношения, устанавливаемые между объектами, тогда как последние могут обладать любой природой (получать самую различную интерпретацию). При генетическом же построении исходными являются не высказывания, а наличные, данные объекты, которые вводятся остенсивно, то есть путем прямого указания на объект, и уточняются индуктивными определениями. Процедура построения задается таким образом: (1) указываются исходные объекты, которые суть объекты теории; (2) утверждается, что результаты применения определенных операций к (1) есть также объекты теории; (3) утверждается, что объекты, полученные в результате осуществления пунктов (1) и (2), – единственные объекты теории. Например, (1) 1 есть число; (2) если а есть число, то а 1 – число; (3) ничто другое не есть число2.

В свете новых идей пересматриваются интуиционизмом и логические принципы.

Абстракция потенциальной (не актуальной) осуществимости предполагает, что элементы бесконечного множества не могут быть заданы одновременно, они последовательно возникают в процессе его построения. Это становящаяся бесконечность, не имеющая последнего члена, ибо после n-шагов всегда можно сделать (n+1)-й шаг. Так, вместо актуальной бесконечности принимаемой логицизмом и традиционной математикой, вводится понятие потенциальной бесконечности.

Ультраинтуиционистское течение (одним из представителей которого является выдворенный в свое время из СССР сын поэта Сергея Есенина А. Есенин-Вольпин), отказывается не только от актуальной, но и от потенциальной бесконечности, признавая лишь конечные множества, – концепция «откровенной точки зрения». В соответствии с этим подвергаются уточнению понятия всеобщно-

______________

1 Следует заметить, что интуиционистские теории так же могут быть изложены аксиоматически (и это сильнейший аргумент в пользу интуиционизма), однако здесь используются другие методы.

2 Подробнее см.: Смирнов В.А. Генетический метод построения научной теории // Философские вопросы современной формальной логики. М: Изд-во АН СССР, 1962. С. 263-285.


 

ста и квантора общности. Математические высказывания, содержащие выражения «все», «каждый» и т. п., принимаются, только если указан способ их получения. В частности, нельзя говорить обо всех, но о каждом можно.

Особое внимание уделяется закону исключенного третьего. Утверждается, что принципы классической логики не имеют абсолютной приложимости, не зависящей от содержания предмета обсуждения. В частности, закон исключенного третьего, сохраняя силу для конечных множеств, утрачивает ее в области потенциально бесконечного как незавершенного бесконечного.

Рассмотрим предикат Р(х), где областью изменения переменной является множество М Согласно закону исключенного третьего, либо в М имеется х, такой, что Р(х), либо такого х, что Р(х), нет.

Символически $х Р(х) Ú $х Р(х). Если М – конечное множество, и предикат Р(х) таков, что мы можем установить для каждого х, истинно или нет Р(х), закон исключенного третьего действителен. В случае же, когда М – бесконечное множество, у нас нет гарантии, что мы найдем такой х в некоторое конечное число операций. Поскольку же необходим полный перебор значений х, а эта процедура бесконечна, то мы так и не получим ответа на интересующий нас вопрос, ибо такого х, что Р(х), может, в М вообще не быть либо он расположен слишком далеко. По шутливому замечанию Г. Вейля, закон исключенного третьего действителен лишь для Господа Бога, обозревающего мир в целом.

В связи с этим интуиционизм не приемлет и метода доказательства от противного, поскольку оно покоится на законе исключенного третьего. Согласно интуиционизму, принятие $х Р(х) на том основании, что принятие $хР(х)ведет к противоречию, не правомочно. Из этого доказательства следует лишь $х Р(х), то есть неверно, что не существует такой х, что Р(х).

Критические выступления против классической логики заставили интуиционистов разработать новые, уточненные принципы логики. Первое интуиционистское исчисление построил Гейтинг в 1930 г. Для самих интуиционистов исчисление не представляло интереса, зато другие математики получили, наконец, возможность познакомиться с новой логической системой. Тут же были предприняты попытки ее анализа. Первым, кто получил результаты, стал отечественный математик А.Н. Колмогоров, который показал,


 

что гейтинговское исчисление поддается интерпретации в терминах классической логики как исчисление проблем (задач). При этом, оставляя понятия «проблема» и ее «решение» неопределенными (как это и делается обычно), интуиционизм ставит в соответствие конъюнкции решение двух проблем, дизъюнкции – хотя бы одной из двух, импликации – сведение решения одной проблемы к решению другой. Интуиционистская логика оказывается здесь частью классической. Вместе с тем есть и другие интерпретации, где, наоборот, классическая логика переводима в интуиционистскую.

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ... А К Сухотин...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Интуитивистская альтернатива

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Определение философии. Разброс значений
  Существует масса определений философии: от попыток, отлучающих ее от корпуса наук, до признания философии наукой наук. Распространено убеждение (и не только по причине пред

Функции философии в их отношении к математике
  Обычно выделяют два функциональных назначения философии – мировоззренческое и методологическое. Под мировоззрением понимается взгляд на мир и определение места человека в мире.

Философия в математике. Констатации и оценки
  Тезис о взаимных влияниях математики и философии хотелось бы подкрепить высказываниями самих ученых. Еще Платон считал математику необходимым введением в философию. Недаром

Математический объект как абстракция от абстракции
  Нередко особенность математического знания видят в том, что оно оперирует понятиями высокой степени абстрактности, благодаря чему его объекты носят очень общий характер, выражая сам

Математика – наука об отношениях
  Лишая свои объекты каких-либо вещественных характеристик, абстрагируясь от любых материальных, природных свойств, математика все же что-то им оставляет, иначе она не могла бы соотно

Проблема свободы математического творчества
  Определив математику как науку об отношениях, немедленно сталкиваемся с вопросом, а чем или, может быть, кем задаются отношения? В естествознании отношения, то есть законы

Знак и значение
  Специфика математики, ее объектов остро задевает вопрос о математических знаках. Что они обозначают, что за ними скрывается? Мы выходим к общей проблеме – знак и значение, как они п

Проблема существования математического объекта
  Этот вопрос закономерен в силу специфики математики, не являющейся описанием вещей. Венгерский математик А. Реньи ставит проблему так. Врач изучает болезни, астроном – звезды и т.п.

Концепция языковых каркасов Карнапа и два языка математики
  Любая научная теория оперирует, как уже отмечалось, не непосредственно объектами природы, а их концептуальными отображениями в понятиях. Последние находятся поэтому в двойном подчин

Математика и объективный мир. Пифагорейский синдром
  Выключение философского аспекта при решении собственно математических проблем не означает отказа вообще обсуждать философские темы математики, ее языка. Надо только не привносить од

Принцип дихотомии знания
  Научное знание разбивают по способу установления истины на два взаимоисключающих класса – по принципу дихотомического деления (от греч. dicha и tome – сечение на две части), когда о

Математика как язык науки
  Представляя собой тип формального знания, математика занимает особое место в отношении наук фактуального профиля. Она оказывается хорошо приспособленной для количественной обработки

Математическая методология
  Место математики в системе наук определяется также тем, что она' играет для других дисциплин и роль методологии. И не только в отношении естествознания, но и для наук социального, г

Математика – источник представлений и концепций в естествознании
  Еще одно методологическое назначение математики состоит в том, что она вырабатывает для остальной науки, прежде всего для естествознания, структуры мысли, формулы, на основе которых

Понятие обоснования математики
  Под обоснованием математики понимают демонстрацию возможности существования объектов ее теории и возможной истинности предложений об этих объектах. Иначе говоря, это вопрос о соотно

Программа логицизма
  Лидеры логицизма (Г. Фреге, Б. Рассел и др.) видели основания математики в логике. Вообще, возможны четыре типа соотношения математики и логики: 1) математика – часть логики; 2) лог

Этап арифметизации.
По существу, он был завершен до появления программы логицизма, однако, как выяснилось позднее, работал на нее. В известной мере это относится и к этапу аксиоматизации арифметики, хотя проводивший в

Второй этап – аксиоматизация арифметики.
Далее встает задача представить в минимуме понятий сам натуральный ряд, то есть вывести (указав правила перехода) из исходных, простейших элементов всю совокупность целых чисел. Аксиоматизацию начи

Причина неудач
  Выполнение замысла логистов близилось к концу: оставалось лишь выровнять шероховатости, чем и занялся Г. Фреге, который, как пишут авторы известной книги «Основания теории множеств»

Философская оценка
  В реализации логицистской программы ее творцы то и дело выходили на философию, без привлечения которой процедура сведения математики к логике выглядела незавершенной и сами логическ

Критика интуиционистами основ логицизма и проблема бесконечности
  Новая ориентация в обоснованиях, впервые заявившая о себе в 1907 г., представляла реакцию на попытки придать математике чисто логическое истолкование. Интуиционисты (Я. Брауэр, Г. В

Ограниченность интуиционизма
  Логико-математические идеи интуиционистов тесно переплетены с известными философскими установками, которые выдают их во многом односторонне-субъективное происхождение. Поск

Конструктивная ветвь
  Попытки спасти интуиционистские идеи и начинания, развить далее оригинальные и продуктивные мысли предприняли сторонники конструктивного течения. Продолжая традицию интуиционистског

Программное заявление
  Кризисные явления в математике, заставившие обратиться к ее обоснованиям, и трудности, вставшие перед логицистами, породили наряду с интуиционизмом еще одно течение – формализм. Пер

Концепция абсолютного доказательства и метод формализованной аксиоматики
  Чтобы доказать непротиворечивость, Гильберт использует метод так называемого абсолютного доказательства, который находит реализацию в идее формализованной аксиоматики. Вооб

Результаты Геделя
  В 1931 г. 25-летний австрийский математик Венского университета Курт Гедель (позднее, после аншлюса, эмигрировавший в США) доказал теоремы, из которых следовало, что программа Гильб

Это предложение недоказуемо.
Допустим, что данное предложение ложно. То есть неверно, что оно недоказуемо. Следовательно, оно доказуемо. Притом оно истинно, поскольку, допустив, что оно ложно, мы получим противоречие. Но от эт

Итоги исканий
  Анализ рассмотренных основных направлений философского обоснования математики показывает, что ни одно из них не принесло удовлетворяющего решения. Вместе с тем каждое, внося что-то

Новые подходы
  Были отмечены результаты, полученные ведущими течениями в области обоснований математики. Но это, так сказать, содержательный аспект исканий. Вместе с ним наметилось и другое.

Обоснование в свете эволюции математики
  Обзор классических, если можно так сказать, направлений (логицизм, интуиционизм и конструктивизм, формалистское течение) и современных подходов (аксиоматический и теоретико-категори

Истина в формализованных языках
  Современные подходы к проблеме истины наряду с традиционной гносеологической истиной (соответствие объекту вне нас) выделяют также онтологическую (истина бытия, то есть его изначаль

Критерий выводимости и понятие корректности
  Являясь совокупностью формализованных языков, математика представляет собой область, в которой реализуется разработанное А. Тарским понятие истины. Напомним, что это так называемый

Математика и методы схоластики
  В характере математического строя мышления и в принципах схоластических рассуждений есть немало общих черт. Мы уже отмечали ранее их тематические точки касаний. Здесь хотелось бы ос

Математическое доказательство
  Теория доказательства разработана в логике и включает три структурных компонента: тезис (то, что предполагается доказать), аргументы (совокупность фактов, общепринятых понятий, зако

Принципы построения дедуктивных теорий
  Дедуктивный путь рассуждения как выведение отличается от индуктивного как наведения (от лат. inductio) рядом особенностей. Дедуктивный вывод является принудительным, его пр

Критерии «внешнего» оправдания
  Как и любая наука, математика руководствуется определенными критериями принятия оперируемыми высказываниями в качестве истинных. Необходимо говорить о внутренних и внешних оправдани

Вторичные показатели истины
  В силу особой природы математики, где эмпирические критерии истины не участвуют в поиске, их оправдательная функция реализуется, как мы пытались это осветить в последнем параграфе п

Критерии «внутреннего совершенства». Эвристика
  Далее мы хотели бы рассмотреть эвристические возможности вторичных показателей истины. Эвристика (от греч. «эврика» – Я нашел) – наука о вспомогательных, дополнительных к основным (

Quot;x(Sx®Px) ® (Px®Sx).
Однако, как нами уже отмечено, подобное умозаключение некорректно. Проиллюстрируем это более прозрачным примером: на основании того, что, скажем, все космонавты спортсмены, вовсе не следует, что вс

Базисные определения. Расстановка позиций
  Творческая деятельность математика осуществляется в режиме логического и интуитивного поиска, которые сочетаются на основе принципа дополнительности в боровском смысле. По

Понятие формализации
  Под формализацией понимается специфический прием исследования, назначение которого состоит в том, чтобы уточнять знание посредством выявления его формы (способа организации, структу

Эвристика. Формализация как прием получения нового знания
  Наличие глубокого единства формы и содержания, фактов перехода одного в другое и становится основанием использовать процедуру формализации как прием, как метод выявления нового соде

Границы и издержки формализации
  Рекомендуя метод формализации к методологическому использованию, стоит отметить некоторые негативные сопровождения, характеризующие этот прием. Прежде всего, напомним о рез

Проблемная ситуация и алгоритм метода
  Обратимся еще к одному методу, широко применяемому в математическом творчестве. Более того, своими корнями он уходит в математику, появившись именно в ней и находя в ней наиболее ад

Преимущества общего подхода
  Почему же разработка общих методов оказывается столь эффективной? Вначале уточним, что имеют в виду, говоря об общем в науке, познании. Общее – не просто свойство, присущее

Эвристика
  Метод обобщающей переформулировки проблемы может выступать эффективным эвристически-вспомогательным орудием математического поиска, подспорьем в научных поисках. В трудах математико

В СОЦИАЛЬНОМ ИЗМЕРЕНИИ
  Математика занимает особое место в системе общественных ценностей. По существу она во все времена определяла лицо науки, ибо, как заметил А. Пуанкаре, окончательная идеальн

МАТЕМАТИКА: СПЕЦИФИКА, МЕСТО В СТРУКТУРЕ НАУКИ
Глава 1. Предметная область философии математики 5 1. Определение философии. Разброс значений 5 2. Функции философии в их отношении к математ

ФИЛОСОФСКИЕ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
Глава V. Проблемы обоснования математики и ее решение логицизмом 72 1. Понятие обоснования математики 72 2. Программа логицизма 76 3

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИСТИНА: СТАТУС, СТРУКТУРА, КРИТЕРИАЛЬНЫЕ ОРИЕНТИРЫ
Глава IX. Специфика истины в математике 140 1. Истина в формализованных языках 140 2. Критерий выводимости и понятие корректности. 145

МЕТОДОЛОГИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПОИСКА
Глава XII. Интуиция и логика 190 1. Базисные определения. Расстановка позиций 190 2. Этапы творческого процесса 193 а) Постановка пр

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги