рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Конструктивная ветвь

Конструктивная ветвь - раздел Философия, ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ   Попытки Спасти Интуиционистские Идеи И Начинания, Развить Дал...

 

Попытки спасти интуиционистские идеи и начинания, развить далее оригинальные и продуктивные мысли предприняли сторонники конструктивного течения. Продолжая традицию интуиционистского направления, конструктивисты отмежевались от субъективистских выводов его философии и внесли существенные уточнения в методы построения математических объектов, расширив базис конструкции.

__________________

1 Цит по: Рид К. Давид Гильберт М.: Наука, 1977. С. 202.


 

Молодое течение, прежде всего его отечественные представители (A.A. Марков, H.A. Шанин), подвергли критике философские установки интуиционистов: понимание истины, вопрос о критериях истины и др.

В частности, отказываясь от абстрактных показателей истинности математического знания, лидеры интуиционизма апеллировали к изначальной интуиции, подчеркивая ясность ее образований. Обращаясь к этой фундаментальной философской установке, A.A. Марков приходит к выводу, что она неприемлема. «Я никак не могу согласиться, – пишет он, – считать «интуитивную ясность» критерием истинности в математике, так как этот критерий означает полное торжество субъективизма и идет вразрез с пониманием науки как вида общественной деятельности»1.

Критике была подвергнута и интуиционистская идея «свободно становящейся последовательности», как несущая с собой мысль о бесконтрольности математического творчества перед постулатами логики, как деятельность, опиравшаяся на поток сознания, якобы, не детерминированный никакими внешними ему определениями. Не случайно, формулируя программу развития математики, Гильберт обязательным условием считал ее очищение от произвольных наслоений интуиционизма. «Задача науки и состоит в том, чтобы освободить нас от произвола чувств и привычки и предостеречь от субъективизма, который, как мне кажется, достиг своего наибольшего развития в интуиционизме»2.

Другим пунктом расхождений было следующее. Интуиционизм, принимая идею «свободно становящейся последовательности», предполагал в качестве «среды свободного становления» континуум. Однако, как замечает A.A. Марков, «судя по описаниям интуиционистов, свободно становящиеся последовательности не являются конструктивными объектами и их нельзя рассматривать, не привлекая абстракцию актуальной бесконечности»3.

Далее, конструктивисты не считают математическое построение чисто «умственным занятием» (как принято в интуиционизме).

______________________

1 Марков A.A. О конструктивной математике // Труды математического института им. В.А. Стеклова. Т. 17. С. 11.

2 Гильберт Д. Основания геометрии. С. 382. Гильберт удивлен, что «в среде математиков может иметь невероятнейшее и эксцентричнейшее влияние сила гипноза одного темпераментного и остроумного человека» (намек на бурную деятельность Брауэра).

3 Марков A.A. О логике конструктивной математики. М: Знание, 1972. С. 45.


 

Мысленный характер имеют не наши построения, а рассуждения о них (в частности, об абстракции потенциальной осуществимости). Принимается следующее определение: «Конструктивная математика... абстрактная, умозрительная наука о конструктивных процессах, о нашей способности осуществлять такие процессы и их результатах – конструктивных объектах». Примером конструктивного процесса может быть построение ряда вертикальных палочек I I I I I. Оно осуществляется посредством написания одной палочки, приписывания к ней справа другой, к полученным – еще одной, затем еще и еще одной. В итоге имеем конструктивный объект, изображенный выше. Назовем его натуральным числом, в нашем случае – «пять»1.

Конструктивизм разрабатывает понятие алгоритма как разрешающей процедуры, распадающейся на ряд строго задаваемых действий или предписаний в их четкой детерминированности. Алгоритм есть последовательность операций, шагов, где каждый данный шаг однозначно детерминирован предыдущим и, в свою очередь, столь же однозначно детерминирует последующий шаг, то есть мы знаем что и в какой последовательности надо делать (например, умножение, извлечение корня и т. д.). Отсутствие этого понятия тормозило развитие конструктивного направления.

Алгоритм вносит: а) точность предписания, не оставляя места произволу; б) возможность решения по одной и той же программе любой из некоторого класса задач, отличающихся значениями каких-либо параметров (массовость алгоритма); в) направленность, организуя на достижение известной цели и гарантируя искомый результат2. В 30-х гг. прошлого века A.A. Марковым развито понятие нормального алгоритма, серьезно повлиявшего на развитие конструктивных методов. Нормальный алгоритм есть стандартное предписание, определяемое его схемой. Благодаря предписанию, любое слово алфавита (последовательность символов или букв, образуемая из символов, принятых в данном алфавите) может быть преобразовано в некоторое другое слово. Алгоритм определяет и окончание процесса, хотя последний может и не наступить.

__________________

1 См.: Марков A.A. О логике конструктивной математики. М.: Знание, 1972. С. 4.

2 См.: Яновская С.А. Методологические проблемы науки. М.: Мысль, 1972. С. 188.


 

Вместе с тем уточняются логические основания конструктивной математики. В его фундаменте лежат те же логические установки, что приняты интуиционизмом: ограничение области действия закона исключенного третьего, иное понимание операций отрицания, уточнение импликации.

На основе идей конструктивизма были разработаны новые подходы, обогатившие математический анализ. Создается конструктивная теория функций действительного переменного. В ряду особо важных достижений теории исследователи отмечают доказательство теоремы о непрерывности конструктивных функций. Получили плодотворное развитие конструктивные теории дифференцирования и интегрирования, конструктивный функциональный анализ. Благодаря этому появились новые методы, способствующие прогрессивному развитию математической мысли, новым открытиям. Таковым было, например, достижение молодого отечественного математика конструктивистской школы Ю. Матиясевича, который установил в 1970 г. алгоритмическую неразрешимость 10-й проблемы Гильберта, ожидавшей своего часа целых 70 лет1.

Мы рассмотрели интуиционистское обоснование математики и его развитие конструктивистами. Следует отметить, что, несмотря на субъективно-идеалистические посылки интуиционизма, он вносит новое понимание проблемы и новые методы, оказавшиеся особенно успешными в части их ориентации на идею конструктивного построения математических объектов и имеющие, по мнению специалистов (в том числе и не-интуиционистского лагеря), хорошие перспективы.

Вместе с тем интуиционизм и конструктивизм, естественно, также не могли единолично решить проблему обоснования. На том, что сделано интуиционизмом и конструктивизмом, также не могла быть законченной работа по выявлению аспектов подхода к сущности математических объектов, оправданию правомерности их существования.

___________________

1 Вспоминается эпизод. Бухарест, 1971 г. Идет работа IV Международного конгресса по логике, методологии и философии науки. Председатель объявил: «Слово предоставляется профессору Матиясевичу». На кафедру вышел высокий юноша в белой рубашке с короткими рукавами, похожий скорее на студента или даже старшеклассника. По залу прошел гул недоумения, и председательствующий счел нужным пояснить, что профессор Матиясевич, хотя и молодой, но очень талантливый ученый. Заметим, что свой выдающийся результат он получил в возрасте 22 лет.


 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ... А К Сухотин...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Конструктивная ветвь

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Определение философии. Разброс значений
  Существует масса определений философии: от попыток, отлучающих ее от корпуса наук, до признания философии наукой наук. Распространено убеждение (и не только по причине пред

Функции философии в их отношении к математике
  Обычно выделяют два функциональных назначения философии – мировоззренческое и методологическое. Под мировоззрением понимается взгляд на мир и определение места человека в мире.

Философия в математике. Констатации и оценки
  Тезис о взаимных влияниях математики и философии хотелось бы подкрепить высказываниями самих ученых. Еще Платон считал математику необходимым введением в философию. Недаром

Математический объект как абстракция от абстракции
  Нередко особенность математического знания видят в том, что оно оперирует понятиями высокой степени абстрактности, благодаря чему его объекты носят очень общий характер, выражая сам

Математика – наука об отношениях
  Лишая свои объекты каких-либо вещественных характеристик, абстрагируясь от любых материальных, природных свойств, математика все же что-то им оставляет, иначе она не могла бы соотно

Проблема свободы математического творчества
  Определив математику как науку об отношениях, немедленно сталкиваемся с вопросом, а чем или, может быть, кем задаются отношения? В естествознании отношения, то есть законы

Знак и значение
  Специфика математики, ее объектов остро задевает вопрос о математических знаках. Что они обозначают, что за ними скрывается? Мы выходим к общей проблеме – знак и значение, как они п

Проблема существования математического объекта
  Этот вопрос закономерен в силу специфики математики, не являющейся описанием вещей. Венгерский математик А. Реньи ставит проблему так. Врач изучает болезни, астроном – звезды и т.п.

Концепция языковых каркасов Карнапа и два языка математики
  Любая научная теория оперирует, как уже отмечалось, не непосредственно объектами природы, а их концептуальными отображениями в понятиях. Последние находятся поэтому в двойном подчин

Математика и объективный мир. Пифагорейский синдром
  Выключение философского аспекта при решении собственно математических проблем не означает отказа вообще обсуждать философские темы математики, ее языка. Надо только не привносить од

Принцип дихотомии знания
  Научное знание разбивают по способу установления истины на два взаимоисключающих класса – по принципу дихотомического деления (от греч. dicha и tome – сечение на две части), когда о

Математика как язык науки
  Представляя собой тип формального знания, математика занимает особое место в отношении наук фактуального профиля. Она оказывается хорошо приспособленной для количественной обработки

Математическая методология
  Место математики в системе наук определяется также тем, что она' играет для других дисциплин и роль методологии. И не только в отношении естествознания, но и для наук социального, г

Математика – источник представлений и концепций в естествознании
  Еще одно методологическое назначение математики состоит в том, что она вырабатывает для остальной науки, прежде всего для естествознания, структуры мысли, формулы, на основе которых

Понятие обоснования математики
  Под обоснованием математики понимают демонстрацию возможности существования объектов ее теории и возможной истинности предложений об этих объектах. Иначе говоря, это вопрос о соотно

Программа логицизма
  Лидеры логицизма (Г. Фреге, Б. Рассел и др.) видели основания математики в логике. Вообще, возможны четыре типа соотношения математики и логики: 1) математика – часть логики; 2) лог

Этап арифметизации.
По существу, он был завершен до появления программы логицизма, однако, как выяснилось позднее, работал на нее. В известной мере это относится и к этапу аксиоматизации арифметики, хотя проводивший в

Второй этап – аксиоматизация арифметики.
Далее встает задача представить в минимуме понятий сам натуральный ряд, то есть вывести (указав правила перехода) из исходных, простейших элементов всю совокупность целых чисел. Аксиоматизацию начи

Причина неудач
  Выполнение замысла логистов близилось к концу: оставалось лишь выровнять шероховатости, чем и занялся Г. Фреге, который, как пишут авторы известной книги «Основания теории множеств»

Философская оценка
  В реализации логицистской программы ее творцы то и дело выходили на философию, без привлечения которой процедура сведения математики к логике выглядела незавершенной и сами логическ

Критика интуиционистами основ логицизма и проблема бесконечности
  Новая ориентация в обоснованиях, впервые заявившая о себе в 1907 г., представляла реакцию на попытки придать математике чисто логическое истолкование. Интуиционисты (Я. Брауэр, Г. В

Интуитивистская альтернатива
  Все беды обоснования интуиционизм видит не собственно в логике (в несовершенстве ее аппарата), а в самой математике и именно в неточном использовании ее понятий, прежде всего – поня

Ограниченность интуиционизма
  Логико-математические идеи интуиционистов тесно переплетены с известными философскими установками, которые выдают их во многом односторонне-субъективное происхождение. Поск

Программное заявление
  Кризисные явления в математике, заставившие обратиться к ее обоснованиям, и трудности, вставшие перед логицистами, породили наряду с интуиционизмом еще одно течение – формализм. Пер

Концепция абсолютного доказательства и метод формализованной аксиоматики
  Чтобы доказать непротиворечивость, Гильберт использует метод так называемого абсолютного доказательства, который находит реализацию в идее формализованной аксиоматики. Вооб

Результаты Геделя
  В 1931 г. 25-летний австрийский математик Венского университета Курт Гедель (позднее, после аншлюса, эмигрировавший в США) доказал теоремы, из которых следовало, что программа Гильб

Это предложение недоказуемо.
Допустим, что данное предложение ложно. То есть неверно, что оно недоказуемо. Следовательно, оно доказуемо. Притом оно истинно, поскольку, допустив, что оно ложно, мы получим противоречие. Но от эт

Итоги исканий
  Анализ рассмотренных основных направлений философского обоснования математики показывает, что ни одно из них не принесло удовлетворяющего решения. Вместе с тем каждое, внося что-то

Новые подходы
  Были отмечены результаты, полученные ведущими течениями в области обоснований математики. Но это, так сказать, содержательный аспект исканий. Вместе с ним наметилось и другое.

Обоснование в свете эволюции математики
  Обзор классических, если можно так сказать, направлений (логицизм, интуиционизм и конструктивизм, формалистское течение) и современных подходов (аксиоматический и теоретико-категори

Истина в формализованных языках
  Современные подходы к проблеме истины наряду с традиционной гносеологической истиной (соответствие объекту вне нас) выделяют также онтологическую (истина бытия, то есть его изначаль

Критерий выводимости и понятие корректности
  Являясь совокупностью формализованных языков, математика представляет собой область, в которой реализуется разработанное А. Тарским понятие истины. Напомним, что это так называемый

Математика и методы схоластики
  В характере математического строя мышления и в принципах схоластических рассуждений есть немало общих черт. Мы уже отмечали ранее их тематические точки касаний. Здесь хотелось бы ос

Математическое доказательство
  Теория доказательства разработана в логике и включает три структурных компонента: тезис (то, что предполагается доказать), аргументы (совокупность фактов, общепринятых понятий, зако

Принципы построения дедуктивных теорий
  Дедуктивный путь рассуждения как выведение отличается от индуктивного как наведения (от лат. inductio) рядом особенностей. Дедуктивный вывод является принудительным, его пр

Критерии «внешнего» оправдания
  Как и любая наука, математика руководствуется определенными критериями принятия оперируемыми высказываниями в качестве истинных. Необходимо говорить о внутренних и внешних оправдани

Вторичные показатели истины
  В силу особой природы математики, где эмпирические критерии истины не участвуют в поиске, их оправдательная функция реализуется, как мы пытались это осветить в последнем параграфе п

Критерии «внутреннего совершенства». Эвристика
  Далее мы хотели бы рассмотреть эвристические возможности вторичных показателей истины. Эвристика (от греч. «эврика» – Я нашел) – наука о вспомогательных, дополнительных к основным (

Quot;x(Sx®Px) ® (Px®Sx).
Однако, как нами уже отмечено, подобное умозаключение некорректно. Проиллюстрируем это более прозрачным примером: на основании того, что, скажем, все космонавты спортсмены, вовсе не следует, что вс

Базисные определения. Расстановка позиций
  Творческая деятельность математика осуществляется в режиме логического и интуитивного поиска, которые сочетаются на основе принципа дополнительности в боровском смысле. По

Понятие формализации
  Под формализацией понимается специфический прием исследования, назначение которого состоит в том, чтобы уточнять знание посредством выявления его формы (способа организации, структу

Эвристика. Формализация как прием получения нового знания
  Наличие глубокого единства формы и содержания, фактов перехода одного в другое и становится основанием использовать процедуру формализации как прием, как метод выявления нового соде

Границы и издержки формализации
  Рекомендуя метод формализации к методологическому использованию, стоит отметить некоторые негативные сопровождения, характеризующие этот прием. Прежде всего, напомним о рез

Проблемная ситуация и алгоритм метода
  Обратимся еще к одному методу, широко применяемому в математическом творчестве. Более того, своими корнями он уходит в математику, появившись именно в ней и находя в ней наиболее ад

Преимущества общего подхода
  Почему же разработка общих методов оказывается столь эффективной? Вначале уточним, что имеют в виду, говоря об общем в науке, познании. Общее – не просто свойство, присущее

Эвристика
  Метод обобщающей переформулировки проблемы может выступать эффективным эвристически-вспомогательным орудием математического поиска, подспорьем в научных поисках. В трудах математико

В СОЦИАЛЬНОМ ИЗМЕРЕНИИ
  Математика занимает особое место в системе общественных ценностей. По существу она во все времена определяла лицо науки, ибо, как заметил А. Пуанкаре, окончательная идеальн

МАТЕМАТИКА: СПЕЦИФИКА, МЕСТО В СТРУКТУРЕ НАУКИ
Глава 1. Предметная область философии математики 5 1. Определение философии. Разброс значений 5 2. Функции философии в их отношении к математ

ФИЛОСОФСКИЕ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
Глава V. Проблемы обоснования математики и ее решение логицизмом 72 1. Понятие обоснования математики 72 2. Программа логицизма 76 3

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИСТИНА: СТАТУС, СТРУКТУРА, КРИТЕРИАЛЬНЫЕ ОРИЕНТИРЫ
Глава IX. Специфика истины в математике 140 1. Истина в формализованных языках 140 2. Критерий выводимости и понятие корректности. 145

МЕТОДОЛОГИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПОИСКА
Глава XII. Интуиция и логика 190 1. Базисные определения. Расстановка позиций 190 2. Этапы творческого процесса 193 а) Постановка пр

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги