Программное заявление - раздел Философия, ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ
Кризисные Явления В Математике, Заставившие Обратиться К Ее О...
Кризисные явления в математике, заставившие обратиться к ее обоснованиям, и трудности, вставшие перед логицистами, породили наряду с интуиционизмом еще одно течение – формализм. Первые выступления формалистов связаны с именем крупнейшего немецкого математика Д. Гильберта и относятся к 1902— 1904 гг. Но основные идеи этого направления сложились позднее в полемике с интуиционизмом.
Под ударами интуиционистской критики незыблемость устоев математики была поколеблена. Гильберт, заявив что интуиционизм стремится «развалить и изуродовать математику», ставит целью вернуть ей прежнюю уверенность. В двадцатые годы Гильберт, его сотрудники и соратники В. Аккерман, И. Бернайс, фон Нойман и др. приступают к математической разработке программы формализма. В 1934 г. вышел первый том «Оснований математики», в фундаменте которого лежала теория доказательства.
Гильберт подверг критике оба предшествующих направления.
В противовес интуиционизму он утверждал, что интуиция не может быть исходным базисом математических построений, поскольку она неопределенна, расплывчата. Чтобы получать надежные выводы, пишет Гильберт, «объекты должны быть обозримы
полностью во всех частях; их показания, их отличие, их следование, расположение одного из них наряду с другим дается непосредственно наглядно» 1. Понятно, что продукты интуитивного мышления подобной наглядностью не обладают. Этому требованию отвечают знаки. Математические знаки существуют как непосредственно созерцаемое. Они легкообозримы, отличимы друг от друга. Вместе с тем знаки несводимы к чему-либо иному, следовательно, выступают в качестве изначальных единиц математического мышления.
Одновременно Гильберт расходится и с логицистами, утверждая, что логика не предваряет математику, ибо прежде, чем оперировать по законам логики со знаками, надо эти знаки иметь, то есть располагать объектами, поддающимися логическим операциям. Никакая наука, в том числе и математика, не может, по его мнению, быть основана только на логике. Наоборот, чтобы производить умозаключения и другие логические операции, мышлению должны быть уже предпосланы некоторые внелогические объекты, существующие наглядно.
Следовательно, ни интуиция, ни логика не могут стать оправданием математики, ее базисом. Основанием математики является, по Гильберту, сама математика, именно ее внутренняя непротиворечивость2.
Но, критикуя концепцию предшественников, Гильберт берет то, по его мнению, ценное, что ими было создано. Опираясь на логицизм и традицию классической математики, он восстанавливает власть закона исключенного третьего над математическим мышлением. Не следует отказываться от этого закона, говорил Гильберт, как и от остальных законов аристотелевской логики. Вместе с законом исключенного третьего обретает прежнюю силу и правило доказательства от противного (ex adverso). Это один из видов так называемого апагогического, то есть непрямого, косвенного, доказательства. Положим, надо доказать тезис A. Допускаем не-A. Из этого Ā выводим некоторое следствие B, приводящее к противоречию. Следовательно, B является ложным. Отсюда высказывание Ā ®B может быть истинным, только если Ā является ложным, соответственно A есть истина. Иными словами, из ложности антитезиса вытекает истинность тезиса.
__________________
1 Гильберт Д. Основания геометрии. С. 351.
2 Как заметил профессор Кенигсбергер, «математика принадлежит к числу тех наук, которые ясны сами по себе». Цит. по: Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. М.; Л., 1937. С. 149.
В свою очередь, доказательство от противного служит опорой принятия актуальной бесконечности, также восстанавливаемой Гильбертом вместо интуиционистского принципа потенциальной бесконечности. То есть проявляется ориентация на финитные методы в противовес требованию интуиционизма, отстаивающего идею неза-вершаемости процедуры построения математического объекта.
С другой стороны, Гильберт принимает от интуиционистов понятие алгоритма как четко детерминированной последовательности операций мысли. Близкие контакты с конструктивизмом наметились в области теории формального доказательства, развитой Гильбертом не без учета идей конструктивной математики. Отметим в этой связи тот факт, что Гильберта относят к основателям конструктивного направления. Теперь о программе формализма более подробно.
Предлагая новое решение проблемы обоснования, Гильберт исходил из идеи, что содержательная математика не может быть логически противоречивой, иначе она вела бы к ошибкам в практической деятельности. Теория, раздираемая противоречиями, не способна вести к успеху в производственных и житейских делах. Но ссылка на практику – аргумент недостаточно корректный, поскольку математика оперирует не с вещами реального мира, а со знаками. Следовательно, речь должна идти о противоречиях в области знаковой формы. Тем самым показатель непротиворечивости как оправдание правомерности введения математических объектов и истинности утверждений о них переводится Гильбертом из факту-ально-содержательного плана в чисто формальный, из сферы гносеологии в область логики, от семантики к синтаксису. То есть надо доказать внутреннюю непротиворечивость математики, в чем и лежит ключ к ее обоснованию.
Итак, исходной и единственной реальностью, с которой имеет дело математика, являются, по мнению Гильберта, знаки. Однако было бы несправедливым усматривать в этом выражение философской установки, как это иногда пытаются делать. Речь идет у Гильберта о внутриматематическом языке, об отношении знака к знаку, а не о том, какова связь математических объектов с внешней реальностью, каковы механизмы абстрагирования, эмпирической обработки чувственно данного, которые приводят к появлению символики. Символы взяты в качестве математической реальности после того, как они были «извлечены» из действительной реальности. То есть это
очищенные от какого-либо конкретного содержания знаки1.
Оперируя со знаками, вычисляя, комбинируя и т. п., математик забывает о предметах природы, которые они могут представлять. Также, принимая методы обоснования математики, можем отвлечься, говоря современным языком, от семантики знаков, рассматривать их как самостоятельную реальность, точнее, искусственно созданную человеком, но после создания отчужденную и от нас, создателей, уже не зависящую, поскольку знакам «вменяется» в обязанность функционировать по заранее принятым правилам преобразования одной знаковой последовательности в другую.
Этим достигается полная строгость и ясность. Отвлечение от содержательных аспектов знака, по Гильберту, совершенно необходимо. В противном случае математика утратит характер достоверного и абсолютного знания, ибо, предваряя посылки, мы переходим в область проблематичного (различие во мнениях как раз покоится на различии предпосылок)2. Отвлекаясь от содержательного момента знаков, переходим в сферу формализованного исчисления.
Итак, «очистили» знаки от семантики. Однако это пока не доказательство обоснованности математических построений. Простое декларирование математических знаков последней для математики реальностью еще не делает эти знаки эквивалентными предметам действительности. Гильберт ищет дополнительные условия. Ими и провозглашается требование непротиворечивости, которое регулирует поведение знаков. Непротиворечивость есть внутриматематический аналог критерия практики, используемого в естествознании3.
__________________
1 Г. Вейль вспоминает: На одном математическом заседании в 1891 г. при обсуждении доклада Г. Викера Гильберт бросил реплику: «Надо, чтобы такие слова, как «точка», «прямая», «плоскость», во всех предложениях геометрии можно было заменить, например, словами стол, стул, пивная кружка». См.: Вейль Г. Математическое мышление. М.: Наука, 1989. С. 237.
2 См.: Гильберт Д. Основания геометрии. С. 388.
3 Е.Д. Смирнова считает, что в основе подхода Гильберта не доказательство непротиворечивости само по себе, а оправдание вводимых в математическое построение идеализации. Принимая исходными данные созерцанию объекты, Гильберт не настаивает на необходимости интерпретации каждого математического утверждения в терминах этих объектов, то есть полагает нужным сохранение идеальных (не имеющих реального коррелята и вообще не могущих быть построенными) объектов. Вместе с тем идеальные элементы принимаются так, что «все то, что можно сделать с их помощью, можно сделать и без них», то есть вводятся ради простоты, удобства, единообразия применяемых методов. Следовательно, при допущениях, принимаемых Гильбертом, «доказательство непротиворечивости эквивалентно доказательству устранимости» (Смирнова Е.Д. Непротиворечивость и элиминируемость в теории доказательств // Философия в современном мире. Философия и логика. М.: Наука, 1974. С. 84-101).
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ... А К Сухотин...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Программное заявление
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Определение философии. Разброс значений
Существует масса определений философии: от попыток, отлучающих ее от корпуса наук, до признания философии наукой наук.
Распространено убеждение (и не только по причине пред
Функции философии в их отношении к математике
Обычно выделяют два функциональных назначения философии – мировоззренческое и методологическое. Под мировоззрением понимается взгляд на мир и определение места человека в мире.
Философия в математике. Констатации и оценки
Тезис о взаимных влияниях математики и философии хотелось бы подкрепить высказываниями самих ученых.
Еще Платон считал математику необходимым введением в философию. Недаром
Математический объект как абстракция от абстракции
Нередко особенность математического знания видят в том, что оно оперирует понятиями высокой степени абстрактности, благодаря чему его объекты носят очень общий характер, выражая сам
Математика – наука об отношениях
Лишая свои объекты каких-либо вещественных характеристик, абстрагируясь от любых материальных, природных свойств, математика все же что-то им оставляет, иначе она не могла бы соотно
Проблема свободы математического творчества
Определив математику как науку об отношениях, немедленно сталкиваемся с вопросом, а чем или, может быть, кем задаются отношения?
В естествознании отношения, то есть законы
Знак и значение
Специфика математики, ее объектов остро задевает вопрос о математических знаках. Что они обозначают, что за ними скрывается? Мы выходим к общей проблеме – знак и значение, как они п
Проблема существования математического объекта
Этот вопрос закономерен в силу специфики математики, не являющейся описанием вещей. Венгерский математик А. Реньи ставит проблему так. Врач изучает болезни, астроном – звезды и т.п.
Концепция языковых каркасов Карнапа и два языка математики
Любая научная теория оперирует, как уже отмечалось, не непосредственно объектами природы, а их концептуальными отображениями в понятиях. Последние находятся поэтому в двойном подчин
Математика и объективный мир. Пифагорейский синдром
Выключение философского аспекта при решении собственно математических проблем не означает отказа вообще обсуждать философские темы математики, ее языка. Надо только не привносить од
Принцип дихотомии знания
Научное знание разбивают по способу установления истины на два взаимоисключающих класса – по принципу дихотомического деления (от греч. dicha и tome – сечение на две части), когда о
Математика как язык науки
Представляя собой тип формального знания, математика занимает особое место в отношении наук фактуального профиля. Она оказывается хорошо приспособленной для количественной обработки
Математическая методология
Место математики в системе наук определяется также тем, что она' играет для других дисциплин и роль методологии. И не только в отношении естествознания, но и для наук социального, г
Понятие обоснования математики
Под обоснованием математики понимают демонстрацию возможности существования объектов ее теории и возможной истинности предложений об этих объектах. Иначе говоря, это вопрос о соотно
Программа логицизма
Лидеры логицизма (Г. Фреге, Б. Рассел и др.) видели основания математики в логике. Вообще, возможны четыре типа соотношения математики и логики: 1) математика – часть логики; 2) лог
Этап арифметизации.
По существу, он был завершен до появления программы логицизма, однако, как выяснилось позднее, работал на нее. В известной мере это относится и к этапу аксиоматизации арифметики, хотя проводивший в
Второй этап – аксиоматизация арифметики.
Далее встает задача представить в минимуме понятий сам натуральный ряд, то есть вывести (указав правила перехода) из исходных, простейших элементов всю совокупность целых чисел. Аксиоматизацию начи
Причина неудач
Выполнение замысла логистов близилось к концу: оставалось лишь выровнять шероховатости, чем и занялся Г. Фреге, который, как пишут авторы известной книги «Основания теории множеств»
Философская оценка
В реализации логицистской программы ее творцы то и дело выходили на философию, без привлечения которой процедура сведения математики к логике выглядела незавершенной и сами логическ
Интуитивистская альтернатива
Все беды обоснования интуиционизм видит не собственно в логике (в несовершенстве ее аппарата), а в самой математике и именно в неточном использовании ее понятий, прежде всего – поня
Ограниченность интуиционизма
Логико-математические идеи интуиционистов тесно переплетены с известными философскими установками, которые выдают их во многом односторонне-субъективное происхождение.
Поск
Конструктивная ветвь
Попытки спасти интуиционистские идеи и начинания, развить далее оригинальные и продуктивные мысли предприняли сторонники конструктивного течения. Продолжая традицию интуиционистског
Результаты Геделя
В 1931 г. 25-летний австрийский математик Венского университета Курт Гедель (позднее, после аншлюса, эмигрировавший в США) доказал теоремы, из которых следовало, что программа Гильб
Это предложение недоказуемо.
Допустим, что данное предложение ложно. То есть неверно, что оно недоказуемо. Следовательно, оно доказуемо. Притом оно истинно, поскольку, допустив, что оно ложно, мы получим противоречие. Но от эт
Итоги исканий
Анализ рассмотренных основных направлений философского обоснования математики показывает, что ни одно из них не принесло удовлетворяющего решения. Вместе с тем каждое, внося что-то
Новые подходы
Были отмечены результаты, полученные ведущими течениями в области обоснований математики. Но это, так сказать, содержательный аспект исканий. Вместе с ним наметилось и другое.
Обоснование в свете эволюции математики
Обзор классических, если можно так сказать, направлений (логицизм, интуиционизм и конструктивизм, формалистское течение) и современных подходов (аксиоматический и теоретико-категори
Истина в формализованных языках
Современные подходы к проблеме истины наряду с традиционной гносеологической истиной (соответствие объекту вне нас) выделяют также онтологическую (истина бытия, то есть его изначаль
Критерий выводимости и понятие корректности
Являясь совокупностью формализованных языков, математика представляет собой область, в которой реализуется разработанное А. Тарским понятие истины. Напомним, что это так называемый
Математика и методы схоластики
В характере математического строя мышления и в принципах схоластических рассуждений есть немало общих черт. Мы уже отмечали ранее их тематические точки касаний. Здесь хотелось бы ос
Математическое доказательство
Теория доказательства разработана в логике и включает три структурных компонента: тезис (то, что предполагается доказать), аргументы (совокупность фактов, общепринятых понятий, зако
Принципы построения дедуктивных теорий
Дедуктивный путь рассуждения как выведение отличается от индуктивного как наведения (от лат. inductio) рядом особенностей.
Дедуктивный вывод является принудительным, его пр
Критерии «внешнего» оправдания
Как и любая наука, математика руководствуется определенными критериями принятия оперируемыми высказываниями в качестве истинных. Необходимо говорить о внутренних и внешних оправдани
Вторичные показатели истины
В силу особой природы математики, где эмпирические критерии истины не участвуют в поиске, их оправдательная функция реализуется, как мы пытались это осветить в последнем параграфе п
Критерии «внутреннего совершенства». Эвристика
Далее мы хотели бы рассмотреть эвристические возможности вторичных показателей истины. Эвристика (от греч. «эврика» – Я нашел) – наука о вспомогательных, дополнительных к основным (
Quot;x(Sx®Px) ® (Px®Sx).
Однако, как нами уже отмечено, подобное умозаключение некорректно. Проиллюстрируем это более прозрачным примером: на основании того, что, скажем, все космонавты спортсмены, вовсе не следует, что вс
Базисные определения. Расстановка позиций
Творческая деятельность математика осуществляется в режиме логического и интуитивного поиска, которые сочетаются на основе принципа дополнительности в боровском смысле.
По
Понятие формализации
Под формализацией понимается специфический прием исследования, назначение которого состоит в том, чтобы уточнять знание посредством выявления его формы (способа организации, структу
Эвристика. Формализация как прием получения нового знания
Наличие глубокого единства формы и содержания, фактов перехода одного в другое и становится основанием использовать процедуру формализации как прием, как метод выявления нового соде
Границы и издержки формализации
Рекомендуя метод формализации к методологическому использованию, стоит отметить некоторые негативные сопровождения, характеризующие этот прием.
Прежде всего, напомним о рез
Проблемная ситуация и алгоритм метода
Обратимся еще к одному методу, широко применяемому в математическом творчестве. Более того, своими корнями он уходит в математику, появившись именно в ней и находя в ней наиболее ад
Преимущества общего подхода
Почему же разработка общих методов оказывается столь эффективной?
Вначале уточним, что имеют в виду, говоря об общем в науке, познании. Общее – не просто свойство, присущее
Эвристика
Метод обобщающей переформулировки проблемы может выступать эффективным эвристически-вспомогательным орудием математического поиска, подспорьем в научных поисках. В трудах математико
В СОЦИАЛЬНОМ ИЗМЕРЕНИИ
Математика занимает особое место в системе общественных ценностей.
По существу она во все времена определяла лицо науки, ибо, как заметил А. Пуанкаре, окончательная идеальн
МАТЕМАТИКА: СПЕЦИФИКА, МЕСТО В СТРУКТУРЕ НАУКИ
Глава 1. Предметная область философии математики 5
1. Определение философии. Разброс значений 5
2. Функции философии в их отношении к математ
ФИЛОСОФСКИЕ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
Глава V. Проблемы обоснования математики и ее решение логицизмом 72
1. Понятие обоснования математики 72
2. Программа логицизма 76
3
Новости и инфо для студентов