Критерий выводимости и понятие корректности - раздел Философия, ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ
Являясь Совокупностью Формализованных Языков, Математика Пред...
Являясь совокупностью формализованных языков, математика представляет собой область, в которой реализуется разработанное А. Тарским понятие истины. Напомним, что это так называемый «внутренний» язык математики, язык исчислений, синтаксис. Наряду с этим, математике приходится рассуждать и о «внешних» проблемах – отношение ее объектов и операций к объективной реальности, то есть о проблемах, относящихся к семантике математических знаков и выдающих философский интерес, разрешаемый уже на «внешнем» языке (об этом шла речь в гл. IV, § 2). Сейчас нас занимает внутриматематический срез языка.
Перевод вопроса об истине в формально-логический план погружает математику в самое себя и ориентирует на подход к истине как соотношению знания к знанию же, как соответствию компонентов последнего в значении когерентности.
Для математики характерно дедуктивное построение (от лат. deductio – выведение). Основное правило дедукции таково. Если посылки верны и имеют определенную структуру, то и вывод, имеющий определенную структуру, будет также верен, то есть истинен. При этом вывод должен быть, естественно, получен при соблюдении в операциях вывода правил логики.
Благодаря этому дедуктивно выстроенные теории оказываются обращенными на самих себя, соответственно подобная теория определяется как совокупность высказываний, замкнутых относительно выводимости. Поскольку теперь проблема истины переведена из факта соответствия знания объекту вовне в тезис внутреннего соответствия, то вступает в силу принцип разрешимости. Разрешимость понимается как процедура доказательства относительно любого высказывания, истинно оно или ложно в данном формализованном языке, то есть соответствует ли оно структуре языка, в границах которого это высказывание формулируется. Истинные формулы должны быть выводимы в принятом языке, но они могут оказаться ложными, невыводимыми в другом языке.
В соответствии с правилом дедукции из верных посылок следует и верный вывод. А если посылки (хотя бы одна) неверны? В этом случае и вывод будет неверен, несмотря на то, что и посылки и вывод имеют определенную, отвечающую заданным параметрам языка структуру и при том процедура вывода была осуществлена по правилам. То есть получается так, что рассуждение проведено логически правильно, выбор посылок соответствует структуре языка, равно как и вывод структурно ему соответствует, а сам вывод неверен. Иначе сказать, логически правильные действия приводят к ложному результату.
В качестве примера, иллюстрирующего ситуацию, сошлемся на онтологическое доказательство бытия Божия, предъявленное в свое время еще схоластами. Был использован силлогизм, выполненный по модели первой фигуры – Barbara:
Бог – существо совершенное.
Все совершенное обладает объективным существованием.
Следовательно, Бог обладает объективным существованием.
Здесь формально все сделано правильно, но вывод, с точки зрения атеиста, ложен.
Имея в виду подобные ситуации, Р. Декарт вводит понятие корректности. Во избежание ошибок вывод должен быть не только логически правилен, но и получен из истинных (а не любых) посылок. Тем самым математическая строгость обретает, как подчеркивает Декарт, обоснование: она нужна не сама по себе, а в качестве инструмента, работающего на материале истинного знания. Как пишет Г. Штейнгауз, строгость – это нечто вроде асептики при хирургических операциях. Она необходима, но цель хирургического вмешательства определяется иными соображениями, а забота об асептике поручается вспомогательному персоналу1.
Что касается онтологического доказательства бытия Божия, то критерий корректности в нем нарушен в первой посылке «Бог – существо совершенное». Ошибка в том, что посылка представляет собой вид так называемого квазионтологического высказывания. Подобные высказывания характеризуются тем, что включают неве-рифицируемую компоненту «Бог». Вводя в качестве посылки суждение «Бог – существо совершенное», мы смещаем акцент на предикацию: «Бог совершенен», уходя от проблемы объективности его существования, которое как бы разумеется само собой. Аналогично в высказывании «Капон – не философ» вопрос о существовании Капона обходится стороной; мы не задаемся тем, существует ли Капон или не существует, нас интересует лишь мнение, философ он или не философ. Может быть, Капона и вовсе нет, а мы рассуждаем о его профессии так, словно это реальный человек.
Математические теории, поскольку они создаются на основе принципов дедуктивных построений, оперируют истинами, отвечающими критерию выводимости, формируемому на базе основного правила дедукции. Поэтому речь может идти здесь лишь о допустимости принятия тех или иных высказываний, но не о том, истинны ли они в гносеологическом отношении, то есть соответствуют ли неким объективным ситуациям. У. Сойер в книге «Прелюдия к математике» проводит такую оправдательную аналогию действиям математика. Судья, освобождающий от наказания преступника за недостаточностью улик, прав логически, но не фактически. И если даже позднее такие улики обнаружатся, судью нельзя будет упрекнуть, ибо вина подозреваемого не была доказана. И хотя отсутствие свидетельств еще не есть свидетельство отсутствия, но в момент решения вопроса такое отсутствие налицо. У. Сойер делает
__________________
1 См.: Штейнгауз Г. Задачи и размышления. М.: Мир, 1974. С. 386.
вывод, что судья в данном случае поступает как математик, правильно решающий задачу на базе принятых посылок.
Хорошей иллюстрацией рассматриваемой особенности математики может служить эпизод, имевший место в середине восьмидесятых годов во время вступительных экзаменов на механико-математическом факультете Томского госуниверситета. Девушка перепутала в письменном задании условия задачи, вместо знака «минус» некоторой величины записала «плюс». Естественно, ответ не сходился с требуемым значением, и экзаменаторы поставили на ее экзаменационной работе оценку «неудовлетворительно». Однако сам ход решения был логически правилен, все математические операции исполнены безупречно. Девушка подала на апелляцию. Вопрос рассматривался на заседании приемной комиссии при ректорате, и деканы, члены комиссии, пришли к выводу, что оценка должна быть изменена на положительную, предложив поставить экзаменующейся «хорошо», то есть рассудили проблему с позиции логической правильности действий на основе принятых ею посылок. Таким образом, экзаменаторы механико-математического факультета подошли к ситуации с точки зрения корректности правильно, но зато они проявили логическую «близорукость», не оценив правильность математического хода рассуждений абитуриентки. Приемная комиссия, как видим, учла специфику математического мышления, которое абстрагируется от внешней среды, замыкаясь на операциях внутри языка системы.
Надо сказать, что проблема отношений между корректностью и формальной правильностью выходит за границы математической деятельности. Мы уже ссылались на практику судопроизводства, подмеченную У. Сойером. Сошлемся еще на один факт из этой области.
В «Литературной газете» середины семидесятых годов прошлого века был описан случай, когда суд вынужден был признать невиновными двух охотников, один из которых случайно убил человека, приняв его за медведя. Установить, кто именно совершил преступление, оказалось невозможным, так как в теле убитого обнаружили только одну пулю, но пули охотников были одинаковыми, стреляли оба, причем с одинакового расстояния и под одним углом. Убийцей мог быть каждый, однако обоих осудить нельзя, так как пострадает невиновный, а это – с точки зрения правосудия – несправедливо, ибо пусть лучше останется на свободе виновный, чем будет наказан невиновный.
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ... А К Сухотин...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Критерий выводимости и понятие корректности
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Определение философии. Разброс значений
Существует масса определений философии: от попыток, отлучающих ее от корпуса наук, до признания философии наукой наук.
Распространено убеждение (и не только по причине пред
Функции философии в их отношении к математике
Обычно выделяют два функциональных назначения философии – мировоззренческое и методологическое. Под мировоззрением понимается взгляд на мир и определение места человека в мире.
Философия в математике. Констатации и оценки
Тезис о взаимных влияниях математики и философии хотелось бы подкрепить высказываниями самих ученых.
Еще Платон считал математику необходимым введением в философию. Недаром
Математический объект как абстракция от абстракции
Нередко особенность математического знания видят в том, что оно оперирует понятиями высокой степени абстрактности, благодаря чему его объекты носят очень общий характер, выражая сам
Математика – наука об отношениях
Лишая свои объекты каких-либо вещественных характеристик, абстрагируясь от любых материальных, природных свойств, математика все же что-то им оставляет, иначе она не могла бы соотно
Проблема свободы математического творчества
Определив математику как науку об отношениях, немедленно сталкиваемся с вопросом, а чем или, может быть, кем задаются отношения?
В естествознании отношения, то есть законы
Знак и значение
Специфика математики, ее объектов остро задевает вопрос о математических знаках. Что они обозначают, что за ними скрывается? Мы выходим к общей проблеме – знак и значение, как они п
Проблема существования математического объекта
Этот вопрос закономерен в силу специфики математики, не являющейся описанием вещей. Венгерский математик А. Реньи ставит проблему так. Врач изучает болезни, астроном – звезды и т.п.
Концепция языковых каркасов Карнапа и два языка математики
Любая научная теория оперирует, как уже отмечалось, не непосредственно объектами природы, а их концептуальными отображениями в понятиях. Последние находятся поэтому в двойном подчин
Математика и объективный мир. Пифагорейский синдром
Выключение философского аспекта при решении собственно математических проблем не означает отказа вообще обсуждать философские темы математики, ее языка. Надо только не привносить од
Принцип дихотомии знания
Научное знание разбивают по способу установления истины на два взаимоисключающих класса – по принципу дихотомического деления (от греч. dicha и tome – сечение на две части), когда о
Математика как язык науки
Представляя собой тип формального знания, математика занимает особое место в отношении наук фактуального профиля. Она оказывается хорошо приспособленной для количественной обработки
Математическая методология
Место математики в системе наук определяется также тем, что она' играет для других дисциплин и роль методологии. И не только в отношении естествознания, но и для наук социального, г
Понятие обоснования математики
Под обоснованием математики понимают демонстрацию возможности существования объектов ее теории и возможной истинности предложений об этих объектах. Иначе говоря, это вопрос о соотно
Программа логицизма
Лидеры логицизма (Г. Фреге, Б. Рассел и др.) видели основания математики в логике. Вообще, возможны четыре типа соотношения математики и логики: 1) математика – часть логики; 2) лог
Этап арифметизации.
По существу, он был завершен до появления программы логицизма, однако, как выяснилось позднее, работал на нее. В известной мере это относится и к этапу аксиоматизации арифметики, хотя проводивший в
Второй этап – аксиоматизация арифметики.
Далее встает задача представить в минимуме понятий сам натуральный ряд, то есть вывести (указав правила перехода) из исходных, простейших элементов всю совокупность целых чисел. Аксиоматизацию начи
Причина неудач
Выполнение замысла логистов близилось к концу: оставалось лишь выровнять шероховатости, чем и занялся Г. Фреге, который, как пишут авторы известной книги «Основания теории множеств»
Философская оценка
В реализации логицистской программы ее творцы то и дело выходили на философию, без привлечения которой процедура сведения математики к логике выглядела незавершенной и сами логическ
Интуитивистская альтернатива
Все беды обоснования интуиционизм видит не собственно в логике (в несовершенстве ее аппарата), а в самой математике и именно в неточном использовании ее понятий, прежде всего – поня
Ограниченность интуиционизма
Логико-математические идеи интуиционистов тесно переплетены с известными философскими установками, которые выдают их во многом односторонне-субъективное происхождение.
Поск
Конструктивная ветвь
Попытки спасти интуиционистские идеи и начинания, развить далее оригинальные и продуктивные мысли предприняли сторонники конструктивного течения. Продолжая традицию интуиционистског
Программное заявление
Кризисные явления в математике, заставившие обратиться к ее обоснованиям, и трудности, вставшие перед логицистами, породили наряду с интуиционизмом еще одно течение – формализм. Пер
Результаты Геделя
В 1931 г. 25-летний австрийский математик Венского университета Курт Гедель (позднее, после аншлюса, эмигрировавший в США) доказал теоремы, из которых следовало, что программа Гильб
Это предложение недоказуемо.
Допустим, что данное предложение ложно. То есть неверно, что оно недоказуемо. Следовательно, оно доказуемо. Притом оно истинно, поскольку, допустив, что оно ложно, мы получим противоречие. Но от эт
Итоги исканий
Анализ рассмотренных основных направлений философского обоснования математики показывает, что ни одно из них не принесло удовлетворяющего решения. Вместе с тем каждое, внося что-то
Новые подходы
Были отмечены результаты, полученные ведущими течениями в области обоснований математики. Но это, так сказать, содержательный аспект исканий. Вместе с ним наметилось и другое.
Обоснование в свете эволюции математики
Обзор классических, если можно так сказать, направлений (логицизм, интуиционизм и конструктивизм, формалистское течение) и современных подходов (аксиоматический и теоретико-категори
Истина в формализованных языках
Современные подходы к проблеме истины наряду с традиционной гносеологической истиной (соответствие объекту вне нас) выделяют также онтологическую (истина бытия, то есть его изначаль
Математика и методы схоластики
В характере математического строя мышления и в принципах схоластических рассуждений есть немало общих черт. Мы уже отмечали ранее их тематические точки касаний. Здесь хотелось бы ос
Математическое доказательство
Теория доказательства разработана в логике и включает три структурных компонента: тезис (то, что предполагается доказать), аргументы (совокупность фактов, общепринятых понятий, зако
Принципы построения дедуктивных теорий
Дедуктивный путь рассуждения как выведение отличается от индуктивного как наведения (от лат. inductio) рядом особенностей.
Дедуктивный вывод является принудительным, его пр
Критерии «внешнего» оправдания
Как и любая наука, математика руководствуется определенными критериями принятия оперируемыми высказываниями в качестве истинных. Необходимо говорить о внутренних и внешних оправдани
Вторичные показатели истины
В силу особой природы математики, где эмпирические критерии истины не участвуют в поиске, их оправдательная функция реализуется, как мы пытались это осветить в последнем параграфе п
Критерии «внутреннего совершенства». Эвристика
Далее мы хотели бы рассмотреть эвристические возможности вторичных показателей истины. Эвристика (от греч. «эврика» – Я нашел) – наука о вспомогательных, дополнительных к основным (
Quot;x(Sx®Px) ® (Px®Sx).
Однако, как нами уже отмечено, подобное умозаключение некорректно. Проиллюстрируем это более прозрачным примером: на основании того, что, скажем, все космонавты спортсмены, вовсе не следует, что вс
Базисные определения. Расстановка позиций
Творческая деятельность математика осуществляется в режиме логического и интуитивного поиска, которые сочетаются на основе принципа дополнительности в боровском смысле.
По
Понятие формализации
Под формализацией понимается специфический прием исследования, назначение которого состоит в том, чтобы уточнять знание посредством выявления его формы (способа организации, структу
Эвристика. Формализация как прием получения нового знания
Наличие глубокого единства формы и содержания, фактов перехода одного в другое и становится основанием использовать процедуру формализации как прием, как метод выявления нового соде
Границы и издержки формализации
Рекомендуя метод формализации к методологическому использованию, стоит отметить некоторые негативные сопровождения, характеризующие этот прием.
Прежде всего, напомним о рез
Проблемная ситуация и алгоритм метода
Обратимся еще к одному методу, широко применяемому в математическом творчестве. Более того, своими корнями он уходит в математику, появившись именно в ней и находя в ней наиболее ад
Преимущества общего подхода
Почему же разработка общих методов оказывается столь эффективной?
Вначале уточним, что имеют в виду, говоря об общем в науке, познании. Общее – не просто свойство, присущее
Эвристика
Метод обобщающей переформулировки проблемы может выступать эффективным эвристически-вспомогательным орудием математического поиска, подспорьем в научных поисках. В трудах математико
В СОЦИАЛЬНОМ ИЗМЕРЕНИИ
Математика занимает особое место в системе общественных ценностей.
По существу она во все времена определяла лицо науки, ибо, как заметил А. Пуанкаре, окончательная идеальн
МАТЕМАТИКА: СПЕЦИФИКА, МЕСТО В СТРУКТУРЕ НАУКИ
Глава 1. Предметная область философии математики 5
1. Определение философии. Разброс значений 5
2. Функции философии в их отношении к математ
ФИЛОСОФСКИЕ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
Глава V. Проблемы обоснования математики и ее решение логицизмом 72
1. Понятие обоснования математики 72
2. Программа логицизма 76
3
Новости и инфо для студентов