Критерии «внешнего» оправдания

 

Как и любая наука, математика руководствуется определенными критериями принятия оперируемыми высказываниями в качестве истинных. Необходимо говорить о внутренних и внешних оправданиях математического знания.

В дедуктивных системах действует, как уже не раз отмечалось, критерий выводимости формул из аксиом, что выражается в соответствии утверждений структуре данного языка. Показатель истинности не выходит за границу рассматриваемой теории, отсюда ее замкнутость на себе самой, ее внутренняя когерентность.

Дедуктивные системы создаются независимо от того, насколько мы поняли окружающий мир. Реальный мир для математиков имеет только тот смысл, что обеспечивает их существование, поставляя возможность его ощущений. Поэтому здесь и допустимы

__________________

¹ Арлычев А.Н. Априоризм Канта и методология физики //Вопросы философии. 2001. № 11. С. 170.

 

структуры, которым не находится соответствия вовне. Математик не открывает мир, а, скорее, его конструирует. Видимо, не без влияния математики Кант называл человека «великим архитектором Вселенной».

Чистый математик размышляет по строго сформулированному им заданию и в своих хорошо поставленных проблемах не прибегает к использованию информации, добытой в иных сферах знания. В этом случае нет выхода во внезнаковую для данного языка область.

Образная тому иллюстрация, поданная в режиме шутки Конан Дойлем. Его герои Шерлок Холмс и Ватсон, путешествуя на аэростате, приземлились в незнакомой местности. Решили выяснить, куда же они попали. Обратились к прохожему с вопросом, где они находятся. Последовал ответ: «Вы находитесь в корзине аэростата». Холмс заявил на это: «Ватсон, не трать попусту времени. Все равно ты ничего не узнаешь. Это же математик». Ватсона заинтересовало: «Почему ты решил, что он математик?» И вот, что он услышал от Холмса: «Только математик может изрекать абсолютно точные и совершенно бесполезные истины».

Действительно, ответ прохожего верен с точки зрения внутренней истинности, как соответствия высказывания норме принятого языка. Но ответ бесполезен, если его оценивать с позиции истины, рассматриваемой в плане соответствия знания внешней языку ситуации.

Еще одна иллюстрация понятия математической истины в дедуктивных построениях. Во Франции на исходе прошлого столетия была предпринята попытка создания теории нечетного числа. В ней четные числа были изъяты, получилась достаточно стройная система счисления нечетного числа, непротиворечивая, отвечающая и другим требованиям аксиоматики. Однако система содержательно тощая и вряд ли полезная в практических применениях. Поскольку четные числа становились в этой концепции ересью, их использование в вычислениях ставило обучающихся по такой усеченной программе в тупик. Так, во время проверки школы, где преподавание математики велось на основе указанного метода, девочка на вопрос, сколько буде 2+3, ответила: «Это будет 3+2».Она просто не поняла, о чем речь, поскольку выражение «два» не имело для нее числового значения. Однако с точки зрения внутренней, замкнутой на себя истинности знаковых отношений ответ верен... Верен, но бесполезен в смысле получения новой информации.

Понятно, что математику не может не волновать проблема внешнего для конкретной теории, равно и для всей науки, оправда-

 

ния, которое выводило бы вопрос об истине за стены формализованного языка, заостряя внимание на самих критериях подобных языков с точки зрения их оправданности. Следовательно, вопрос об истинности положений математики оборачивается и вопросом об истинности ее аксиом. Предлагаются различные решения.

Вначале считали, что истинность аксиом самоочевидна. Однако самоочевидность, будучи сферой непосредственно наблюдаемого, схватывает не сущностное, а лишь внешнее. Далее, есть ряд теорем, которые не менее очевидны, чем аксиомы, однако доказываются. Например, теорема о том, что сумма двух сторон треугольника больше третьей стороны. Или утверждение, что перпендикуляр короче наклонной, интуитивно более ясно, чем, скажем, аксиома о параллельных, тем не менее принимается лишь как теорема, требуя доказательств.

Надо считаться и с тем соображением, что, рассматривая аксиомы в качестве самоочевидных истин, мы тем самым приписываем этот признак остальным математическим предложениям, поскольку они выводимы из аксиом и в конечном итоге покоятся на критерии самоочевидности последних. Между тем в ряду математических теорем немало таких, которые не только самоочевидны, но и противоречат нашей интуиции и чувству очевидности. Например, существование кривых, не имеющих ни в одной точке касательных. Но «ответственность» за них несут аксиомы.

Итак, идея самоочевидности аксиом как критерия их истинности не выдерживает критики.

С другой стороны, пытались обосновать истинность аксиом тем, что они подтверждаются опытом. Сразу же обнаружились несоответствия. Так, к примеру, пятый постулат требовал, чтобы параллельные были продолжены бесконечно, опыт же ограничен конечным.

Имели место и конвенционалистские решения: аксиомы принимаются по соглашению. Это лишь отодвигало проблему, поскольку сама конвенция принимается также по каким-то внешним ей основаниям.

Таким образом, ни самоочевидность, ни ссылки на опыт, конвенцию не дают надежной точки опоры в поисках критерия истины аксиом¹. Между тем наблюдения истории математики подсказыва-

__________________

¹ Конечно, с этим согласятся не все математики. Интуиционистов и конструктивистов, например, вполне удовлетворяет и самоочевидность, интуитивная ясность исходных образований.

 

ют иные решения. Выявляется, что истинность математических теорий не дана в ее завершенности вместе с построением последних. Истина добывается здесь длительным путем, в процессах ее подтверждения. Имеет место циркуляция идей: от «чистой» математики к прикладной, от прикладной – к практическим приложениям. Затем процесс находит продолжение в движении от практики к прикладным разделам и к «чистой» математике, которая питается фактами, добытыми в области прикладных исследований, уточняет и проверяет свои концепции.

Характеризуя этот «диалог» между двумя разделами математики, Д. Гильберт говорил следующее: «Во время действия созидающей силы чистого мышления внешний мир настаивает на своих правах: он навязывает нам своими реальными фактами новые вопросы и открывает новые области математического знания. И в процессе включения этих новых областей знания в царство чистой мысли мы часто находим ответы на старые нерешенные проблемы и таким путем наилучшим образом продвигаем вперед старые теории». Гильберт считает, что, несмотря на абстрактность математики, ее удаленность от эмпирии, в ней имеет место «постоянно повторяющаяся игра между мышлением и опытом». Именно это обстоятельство и способно объяснить поражающие нас многочисленные аналогии, ту гармонию, которая выявляется «между задачами и методами разных областей знания»¹.

В процессах движения идей от «чистой» математики к ее прикладным аспектам добытые положения находят эмпирическое оправдание и подтверждение. В свою очередь, «чистая» математика обеспечивает прикладные ветви аппаратом исчисления.

Правда, этот диалог порой обостряется до степени перегрева, когда, как выразился однажды академик М. Лаврентьев, разгорается спор между «чистыми» и «нечистыми». Ищут, что важнее. В общенаучном измерении это выяснение отношений между фундаментальной наукой и прикладной, оно и преломилось в математике в форме спора обозначенных в терминах «чистоты» направлений потому, видимо, что математика в целом, то есть и ее абстрактно-теоретические разделы, и прикладные, оценивается часто как фундаментальная область науки, когда ученый задает вопросы сам себе и сам же на них отвечает. В отличие от естествознания, где вопро-

__________________

¹ Гильберт Д. Математические проблемы. С. 471.

 

сы задает природа, и от собственно прикладных разработок, отвечающих на вопросы или, скорее, запросы производства.

История развития математики убеждает, что указанные основные ее разделы – область «чистой мысли» (по выражению Д. Гильберта) и прикладные исследования – идут рядом, обогащая друг друга. Ибо, если математика станет только прикладной, то вскоре нечего будет и прикладывать; если же математика окажется только «чистой», ее не к чему будет прикладывать: останется одна «незамутненная» абстрактность. Характеризуя их обоюдную зависимость, Ф. Клейн отмечал, что сугубо «логические концепции должны составить, так сказать, твердый скелет организма математики, сообщающий ей устойчивость и достоверность». Однако если брать собственную жизнь математики, то и «важнейшие направления и ее продуктивность относятся преимущественно к ее приложениям, то есть к взаимным отношениям ее абстрактных объектов со всеми другими областями»¹. Поэтому Клейн не видит альтернативы существованию математики, кроме как на основе обоюдно обогащающего функционирования этих областей единой науки. Математика немыслима без чистой теории, подчеркивает он. Но столь же нелепо было бы лишать ее приложений. «Это то же, что искать живое существо только с одной костной основой, без мускулов, без нервов и сосудов» ².

Таким образом, проверка аксиом осуществляется косвенным путем – через прикладную математику (проверяют не сами аксиомы, а следствия из них, которые – при соответствующей интерпретации – превращаются в эмпирические гипотезы). То есть получается, что, начав с выяснения проблемы истинности математических предложений, пришли к выводу, что она имеет основание в истинности аксиом, выяснение же природы последних снова привело в поисках аргументов к положеням, выводимым из аксиом. Это и означает, что истины математики раскрываются в процессах взаимодействия ее разделов.

В отыскании критериев внешнего оправдания математических истин необходимо обратить внимание и еще на одно обстоятельство, также связанное с учетом исторического взгляда на математику. Ее развитие отмечено появлением все более абстрактных теорий,

__________________

¹ Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Т. 1. М.; Л., 1933. С. 44.

² Там же.

 

удаляющихся от эмпирии. Но в истоках науки эти эмпирические корни просматриваются заметнее, а поздние этапы постепенно теряют намеки на их внематематическое происхождение. В силу чего математик и может конструировать объекты и отношения, которые уже не встречаются в действительности, но в конечном-то счете он опирается на те отношения и объекты, которые в ней встречаются.

В связи с этим высказывается идея «кусочно-дедуктивного» принципа построения математики. Свойство дедуктивной организации всего здания математики – иллюзия, как считает известный отечественный ученый Е. Фейнберг. Он пишет: «Математику можно считать дедуктивной только на «интервалах» между «узловыми точками», в которых необходимо высказывать новые интуитивные суждения (выбирая по произволу тот или иной из возможных ответов)»' Поскольку подобные «интервалы» обычно достаточно длительны, то у тех, кому не нужно при исследованиях выходить за границы определенного «интервала», и создается «иллюзия возможности построения всеохватывающей дедуктивной математики»².

Итак, аксиомы математики получают – благодаря циркуляции идей между абстрактно-теоретическими и прикладными разделами, а также исторической преемственности ее положений в эволюции математики – внешнее, идущее от эмпирии оправдание. Этим осуществляется доказательство истинности формализованных систем как таковых, как целостного образования (а не отдельных высказываний или формул, критерием истины которых является выводимость). Решающую роль в этом играет метод интерпретации.

Интерпретация (от лат. interpretatio – разъяснение, истолкование) есть задание значения (смысла) математических выражений (символов, формул, высказываний и т. п.). В качестве подобных значений выступают математические объекты, то есть множества, операции, выражения, также называемые интерпретацией. К примеру, значением, то есть интерпретацией символа, может быть конкретная операция сложения или умножения целых чисел. Интерпретацией высказывания в языке неэвклидовой геометрии может выступать, согласно варианту А. Пуанкаре, соответствующее высказывание на языке геометрии Эвклида. Тем самым интерпретация осуществляется как сопоставление всем исходным понятиям

__________________

¹ Фейнберг Е.Л. Эволюция методологии в XX веке // Вопросы философии. 1995. №7. С. 41.

² Фейнберг Е.Л. Указ. соч. С. 41.

 

и отношениям определенной аксиоматической системы некоторых математических объектов и отношений между ними другой системы. То есть исходные положения интерпретируемой абстрактной теории переносятся на некоторую содержательную область, исходные положения которой определяются независимо от первой системы. Этим достигается взаимно-однозначное соответствие между двумя системами. Все исходные положения интерпретируемой теории, то есть структуры, например «принадлежать», «лежать между», «следовать за...», получают подтверждение.

Различают полную и частичную интерпретации. Первая характеризуется тем, что каждому элементарному высказыванию подтверждаемой теории ставится в соответствие некоторое содержательное высказывание из области объектов, выступающей в качестве модели. Частичная интерпретация ограничивается тем, что подобное соответствие проводится лишь для некоторых элементарных высказываний.

Сам алгоритм интерпретации предполагает следующую последовательность шагов .

Пусть мы построили теорию S₁, исходные объекты которой a, b связаны аксиомами типа R – aRb. Первый шаг – исходные термины этой новой, интерпретируемой абстрактной теории заменяем переменными x, y, но сохраняя фиксируемые аксиомами отношения между терминами. В результате аксиомы превращаются в функции – высказывания – вида xRy.

Благодаря этому можно предпринять второй шаг – заменить переменные в полученных высказываниях вновь на постоянные – а¹, b¹, но взятые уже не из исходной, интерпретируемой, теории, a из какой-либо другой области предметов, которая выполняет здесь роль модели. При этом отношения между ними также сохраняем. В итоге получили вновь конкретные высказывания, однако теперь уже об объектах модели – высказываниях типа a¹Rb¹, которые описываются теорией S₂ – Так, в интерпретации Кэли – Клейна термины планитарной геометрии Лобачевского, пройдя через переменные, замещаются следующим образом. «Плоскость» понимается как внутренность некоторого круга в евклидовой плоскости, «точка» – как точка внутри этого круга, «прямая» как хорда его окружности.

__________________

¹ В отечественной литературе вопрос рассматривается в монографии: Рузавин Г.И. О природе математического знания. С. 146-157.

 

Третьим шагом проверяем конкретные высказывания, полученные в теории S₂, на истинность, то есть соответствуют ли добытые утверждения аксиомам. Если они удовлетворяют исходной системе аксиом в S₁, считается, что интерпретация найдена, то есть что получена модель для данной системы аксиом. Тогда все теоремы исходной системы становятся теоремами (доказанными положениями) конечной теории, если произвести подстановку в теоремы прежней теории соответствующие предложения о предметах модельной системы.

Вместе с тем в литературе отмечается, что метод интерпретации не всесилен и страдает известной ограниченностью.

Прежде всего это выражается в том, что подобное обоснование истинности теории является косвенным. Оно апеллирует к модели, но интерпретирующая модель сама оказывается в положении, требующем, в свою очередь, интерпретации и привлечения новой модели и т.д.

Необходимо учитывать и то, что процедура интерпретации сопровождается внесением неопределенности. Когда вторым ее шагом вводятся переменные, это открывает возможность находить разные интерпретации, то есть вводить любые объекты, что неизбежно будет вносить приблизительность в доказательство истинности теории.

Резюмируя рассмотрение проблемы истины в математике, отметим, что приходится говорить о двух критериях. Истинность как выводимость на соответствие утверждений математической теории структуре принятого в ней языка, а также истинность как оправдание высказываний теории внешними ей факторами, упирающимися в конечном счете в эмпирические истоки, находимые в интерпретациях.