Проблемная ситуация и алгоритм метода - раздел Философия, ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ
Обратимся Еще К Одному Методу, Широко Применяемому В Математи...
Обратимся еще к одному методу, широко применяемому в математическом творчестве. Более того, своими корнями он уходит в математику, появившись именно в ней и находя в ней наиболее адекватное выражение.
Суть метода в том, что рекомендуется некую частную проблему, которая стоит перед исследователем, переформулировать в общую и уже в этом виде искать ответ.
Поставим вопрос так. Какую задачу решить легче: частную или общую? Казалось бы, частная задача поддается решению легче, поскольку она более конкретна, наглядна, приближена к жизни, ее можно, что называется, показать на пальцах, тогда как общая задача абстрактна, отвлеченна, недоступна чувственному восприятию.
Между тем опыт научных исследований, история науки убеждают, что проблема, сформулированная в общем виде, решается быстрее, с меньшей затратой усилий, чем проблема, поставленная в частной форме. Более того, задача, взятая в частном виде, порой вообще не решается. Скажем, определение расстояния от Земли до Луны. Как его измерить эмпирическими средствами? Задача была решена как общая, в классе проблем определения расстояний до недоступных объектов.
В связи с этим немецкие математики Р. Дедекинд и П. Дирихле замечают, что, как часто случается, общая задача дается легче, чем была бы частная, если бы мы решали ее прямо в лоб1. Или, согласно мнению Д. Пойа, «легче доказать более сильную теорему, чем более слабую»2. Напомним, что слабой считается теорема, выводимая из другой, более сильной.
Остановимся на гносеологическом механизме, посредством которого осуществляется решение научной задачи методом обобщающей переформулировки. То есть попытаемся найти своего рода алгоритм действия рассматриваемого приема. Здесь мы обратимся к открытию Лейбницем метода дифференциального исчисления.
Ученый бился над проблемой определения касательной к данной точке. То была действительно частная задача, определяемая потребностями строительной механики. Но как частную Лейбниц ее решить не мог, поскольку в этом виде она нерешаема. Тогда Лейбниц, который рассказывает о перипетиях своих исканий сам, взял на дуге вместе с исходной точкой А еще одну точку В и провел через эти две точки секущую (рис. 5).
Указанная операция не составляла труда и осуществима с помощью уравнения прямой. Затем Лейбниц стал приближать по дуге точку В к точке А, соответственно секущая меняла свое положение и в предельном случае, когда точка В накладывалась на точку А,
_________________
1 Цит. по: Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. М., 1975. С. 50.
2 Пойа Д. Как решать задачу. М., 1959. С. 114.
становилась касательной. Сближение точек и представляет операцию дифференцирования, лежащую в основе метода дифференциального исчисления.
Мы подробно рассмотрели механизм открытия, чтобы на этом примере выстроить схему указанного метода и разметить шаги, которые проделал первооткрыватель, а тем самым вынести определенную методологическую рекомендацию.
Первый шаг на этом пути применения метода обобщенного подхода, точнее, обобщающей переформулировки задачи – проблемный сдвиг. Его целью является переориентация задания: исходную, частную проблему надо осознать как общую, перевести в класс общих задач, что и было осуществлено в разбираемом случае путем нанесения второй точки на кривую и проведения секущей. Замысел состоял в том, что теперь ученый имел дело не с одной линией (отыскиваемой касательной), а с целым набором линий, демонстрирующих различные положения. Частное переходило в общее.
Второй шаг – поисковый. Если проблема переосмыслена как общая, то и решение ее требует общего метода. Таким методом становится прием дифференцирования. В его основе – исчисление бесконечно малых. По определению, бесконечно малые есть величины, стремящиеся к пределу, равному нулю. В рассматриваемом случае это и есть наложение точки В на точку А.
Третий шаг – дедуктивный. Отыскав общий метод решения класса задач, мы возвращаемся к нашей исходной проблеме, решение которой представляется уже частным случаем применений общего подхода, одним из следствий найденного метода.
Для убедительности можем сослаться и на открытие И. Кеплера.
В исходном пункте лежала частная, даже и не научная, а сугубо практическая, хозяйственная задача – определение объемов винных бочек. Кеплера заинтересовало, насколько правильно купцы измеряют объемы бочек, погружая в них железный стержень до упора и на основе этого определяя объем всего лишь по одному значению. Сомнение в точности измерений зародилось потому, что бочки не имеют правильной цилиндрической формы. Ученый переводит исходную задачу в общую – измерение объемов, очерченных кривыми поверхностями. Так осуществился первый шаг – проблемный сдвиг. Второй шаг, поисковый, произведен изобретением метода интегрального исчисления как операции, обратной дифференцированию и состоящей в суммировании бесконечно малых значений.
А теперь, получив общий метод измерения объемов, можно вернуться к исходной задаче и, осуществляя дедуктивный шаг, измерять объемы бочек, что выступает уже лишь частным случаем.
Аналогично И. Ньютон пришел к идее дифференциального исчисления через задачи, связанные с разработкой разделов механики: определение мгновенной скорости точки, ускорения, вычисление пройденного телом пути и другие, в общем-то по отношению к методу дифференциального исчисления достаточно специальные темы. Математическое мышление шло этим же обобщенным путем и в ряде других случаев. Исследование колебания струн привело Даламбера к уравнениям в частных производных. С некоторыми задачами электротехники Хевисайд смог справиться, лишь разработав операционный метод решения дифференциальных уравнений и т.д.
Все темы данного раздела:
Определение философии. Разброс значений
Существует масса определений философии: от попыток, отлучающих ее от корпуса наук, до признания философии наукой наук.
Распространено убеждение (и не только по причине пред
Функции философии в их отношении к математике
Обычно выделяют два функциональных назначения философии – мировоззренческое и методологическое. Под мировоззрением понимается взгляд на мир и определение места человека в мире.
Философия в математике. Констатации и оценки
Тезис о взаимных влияниях математики и философии хотелось бы подкрепить высказываниями самих ученых.
Еще Платон считал математику необходимым введением в философию. Недаром
Математический объект как абстракция от абстракции
Нередко особенность математического знания видят в том, что оно оперирует понятиями высокой степени абстрактности, благодаря чему его объекты носят очень общий характер, выражая сам
Математика – наука об отношениях
Лишая свои объекты каких-либо вещественных характеристик, абстрагируясь от любых материальных, природных свойств, математика все же что-то им оставляет, иначе она не могла бы соотно
Проблема свободы математического творчества
Определив математику как науку об отношениях, немедленно сталкиваемся с вопросом, а чем или, может быть, кем задаются отношения?
В естествознании отношения, то есть законы
Знак и значение
Специфика математики, ее объектов остро задевает вопрос о математических знаках. Что они обозначают, что за ними скрывается? Мы выходим к общей проблеме – знак и значение, как они п
Проблема существования математического объекта
Этот вопрос закономерен в силу специфики математики, не являющейся описанием вещей. Венгерский математик А. Реньи ставит проблему так. Врач изучает болезни, астроном – звезды и т.п.
Концепция языковых каркасов Карнапа и два языка математики
Любая научная теория оперирует, как уже отмечалось, не непосредственно объектами природы, а их концептуальными отображениями в понятиях. Последние находятся поэтому в двойном подчин
Математика и объективный мир. Пифагорейский синдром
Выключение философского аспекта при решении собственно математических проблем не означает отказа вообще обсуждать философские темы математики, ее языка. Надо только не привносить од
Принцип дихотомии знания
Научное знание разбивают по способу установления истины на два взаимоисключающих класса – по принципу дихотомического деления (от греч. dicha и tome – сечение на две части), когда о
Математика как язык науки
Представляя собой тип формального знания, математика занимает особое место в отношении наук фактуального профиля. Она оказывается хорошо приспособленной для количественной обработки
Математическая методология
Место математики в системе наук определяется также тем, что она' играет для других дисциплин и роль методологии. И не только в отношении естествознания, но и для наук социального, г
Математика – источник представлений и концепций в естествознании
Еще одно методологическое назначение математики состоит в том, что она вырабатывает для остальной науки, прежде всего для естествознания, структуры мысли, формулы, на основе которых
Понятие обоснования математики
Под обоснованием математики понимают демонстрацию возможности существования объектов ее теории и возможной истинности предложений об этих объектах. Иначе говоря, это вопрос о соотно
Программа логицизма
Лидеры логицизма (Г. Фреге, Б. Рассел и др.) видели основания математики в логике. Вообще, возможны четыре типа соотношения математики и логики: 1) математика – часть логики; 2) лог
Этап арифметизации.
По существу, он был завершен до появления программы логицизма, однако, как выяснилось позднее, работал на нее. В известной мере это относится и к этапу аксиоматизации арифметики, хотя проводивший в
Второй этап – аксиоматизация арифметики.
Далее встает задача представить в минимуме понятий сам натуральный ряд, то есть вывести (указав правила перехода) из исходных, простейших элементов всю совокупность целых чисел. Аксиоматизацию начи
Причина неудач
Выполнение замысла логистов близилось к концу: оставалось лишь выровнять шероховатости, чем и занялся Г. Фреге, который, как пишут авторы известной книги «Основания теории множеств»
Философская оценка
В реализации логицистской программы ее творцы то и дело выходили на философию, без привлечения которой процедура сведения математики к логике выглядела незавершенной и сами логическ
Критика интуиционистами основ логицизма и проблема бесконечности
Новая ориентация в обоснованиях, впервые заявившая о себе в 1907 г., представляла реакцию на попытки придать математике чисто логическое истолкование. Интуиционисты (Я. Брауэр, Г. В
Интуитивистская альтернатива
Все беды обоснования интуиционизм видит не собственно в логике (в несовершенстве ее аппарата), а в самой математике и именно в неточном использовании ее понятий, прежде всего – поня
Ограниченность интуиционизма
Логико-математические идеи интуиционистов тесно переплетены с известными философскими установками, которые выдают их во многом односторонне-субъективное происхождение.
Поск
Конструктивная ветвь
Попытки спасти интуиционистские идеи и начинания, развить далее оригинальные и продуктивные мысли предприняли сторонники конструктивного течения. Продолжая традицию интуиционистског
Программное заявление
Кризисные явления в математике, заставившие обратиться к ее обоснованиям, и трудности, вставшие перед логицистами, породили наряду с интуиционизмом еще одно течение – формализм. Пер
Концепция абсолютного доказательства и метод формализованной аксиоматики
Чтобы доказать непротиворечивость, Гильберт использует метод так называемого абсолютного доказательства, который находит реализацию в идее формализованной аксиоматики.
Вооб
Результаты Геделя
В 1931 г. 25-летний австрийский математик Венского университета Курт Гедель (позднее, после аншлюса, эмигрировавший в США) доказал теоремы, из которых следовало, что программа Гильб
Это предложение недоказуемо.
Допустим, что данное предложение ложно. То есть неверно, что оно недоказуемо. Следовательно, оно доказуемо. Притом оно истинно, поскольку, допустив, что оно ложно, мы получим противоречие. Но от эт
Итоги исканий
Анализ рассмотренных основных направлений философского обоснования математики показывает, что ни одно из них не принесло удовлетворяющего решения. Вместе с тем каждое, внося что-то
Новые подходы
Были отмечены результаты, полученные ведущими течениями в области обоснований математики. Но это, так сказать, содержательный аспект исканий. Вместе с ним наметилось и другое.
Обоснование в свете эволюции математики
Обзор классических, если можно так сказать, направлений (логицизм, интуиционизм и конструктивизм, формалистское течение) и современных подходов (аксиоматический и теоретико-категори
Истина в формализованных языках
Современные подходы к проблеме истины наряду с традиционной гносеологической истиной (соответствие объекту вне нас) выделяют также онтологическую (истина бытия, то есть его изначаль
Критерий выводимости и понятие корректности
Являясь совокупностью формализованных языков, математика представляет собой область, в которой реализуется разработанное А. Тарским понятие истины. Напомним, что это так называемый
Математика и методы схоластики
В характере математического строя мышления и в принципах схоластических рассуждений есть немало общих черт. Мы уже отмечали ранее их тематические точки касаний. Здесь хотелось бы ос
Математическое доказательство
Теория доказательства разработана в логике и включает три структурных компонента: тезис (то, что предполагается доказать), аргументы (совокупность фактов, общепринятых понятий, зако
Принципы построения дедуктивных теорий
Дедуктивный путь рассуждения как выведение отличается от индуктивного как наведения (от лат. inductio) рядом особенностей.
Дедуктивный вывод является принудительным, его пр
Критерии «внешнего» оправдания
Как и любая наука, математика руководствуется определенными критериями принятия оперируемыми высказываниями в качестве истинных. Необходимо говорить о внутренних и внешних оправдани
Вторичные показатели истины
В силу особой природы математики, где эмпирические критерии истины не участвуют в поиске, их оправдательная функция реализуется, как мы пытались это осветить в последнем параграфе п
Критерии «внутреннего совершенства». Эвристика
Далее мы хотели бы рассмотреть эвристические возможности вторичных показателей истины. Эвристика (от греч. «эврика» – Я нашел) – наука о вспомогательных, дополнительных к основным (
Quot;x(Sx®Px) ® (Px®Sx).
Однако, как нами уже отмечено, подобное умозаключение некорректно. Проиллюстрируем это более прозрачным примером: на основании того, что, скажем, все космонавты спортсмены, вовсе не следует, что вс
Базисные определения. Расстановка позиций
Творческая деятельность математика осуществляется в режиме логического и интуитивного поиска, которые сочетаются на основе принципа дополнительности в боровском смысле.
По
Понятие формализации
Под формализацией понимается специфический прием исследования, назначение которого состоит в том, чтобы уточнять знание посредством выявления его формы (способа организации, структу
Эвристика. Формализация как прием получения нового знания
Наличие глубокого единства формы и содержания, фактов перехода одного в другое и становится основанием использовать процедуру формализации как прием, как метод выявления нового соде
Границы и издержки формализации
Рекомендуя метод формализации к методологическому использованию, стоит отметить некоторые негативные сопровождения, характеризующие этот прием.
Прежде всего, напомним о рез
Преимущества общего подхода
Почему же разработка общих методов оказывается столь эффективной?
Вначале уточним, что имеют в виду, говоря об общем в науке, познании. Общее – не просто свойство, присущее
Эвристика
Метод обобщающей переформулировки проблемы может выступать эффективным эвристически-вспомогательным орудием математического поиска, подспорьем в научных поисках. В трудах математико
В СОЦИАЛЬНОМ ИЗМЕРЕНИИ
Математика занимает особое место в системе общественных ценностей.
По существу она во все времена определяла лицо науки, ибо, как заметил А. Пуанкаре, окончательная идеальн
МАТЕМАТИКА: СПЕЦИФИКА, МЕСТО В СТРУКТУРЕ НАУКИ
Глава 1. Предметная область философии математики 5
1. Определение философии. Разброс значений 5
2. Функции философии в их отношении к математ
ФИЛОСОФСКИЕ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
Глава V. Проблемы обоснования математики и ее решение логицизмом 72
1. Понятие обоснования математики 72
2. Программа логицизма 76
3
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИСТИНА: СТАТУС, СТРУКТУРА, КРИТЕРИАЛЬНЫЕ ОРИЕНТИРЫ
Глава IX. Специфика истины в математике 140
1. Истина в формализованных языках 140
2. Критерий выводимости и понятие корректности. 145
МЕТОДОЛОГИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПОИСКА
Глава XII. Интуиция и логика 190
1. Базисные определения. Расстановка позиций 190
2. Этапы творческого процесса 193
а) Постановка пр
Новости и инфо для студентов