Реферат Курсовая Конспект
Преимущества общего подхода - раздел Философия, ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ Почему Же Разработка Общих Методов Оказывается Столь Эффектив...
|
Почему же разработка общих методов оказывается столь эффективной?
Вначале уточним, что имеют в виду, говоря об общем в науке, познании. Общее – не просто свойство, присущее каждому элементу множества, как часто считают. В логико-гносеологическом аспекте У. Куайн предлагает следующее понимание. Допустим, говорит он, мы имеем некоторую теорию Ф и класс объясняемых с ее помощью предметов К. Теория является общей, если она, будучи внушена классом предметов К, экстраполируется на область феноменов М, для которой К есть лишь подкласс. Таким образом, исходный класс К оказывается узкой моделью для Ф, поскольку накладывается на более широкую сферу объектов, объясняя эти последние с помощью всех возможных следствий1.
Таковы общеметодологические соображения. В применении конкретно к математике заслуживает внимания позиция Г. Харди.
Харди не согласен с пониманием общего, которое иногда высказывают: ценность предложений математики заключается в их абстрактности. Так, отстаивая этот взгляд, Уайтхед пишет следующее. Утверждая, например, что «2+3=5», мы устанавливаем соотношение между тремя группами «вещей», и эти «вещи» не обязаны быть яблоками, монетами или другими предметами какого-либо
_________________
1 См.: Qwine W. World and Object. N.; Y.; L., 1960. P. 20.
определенного сорта. Они есть просто «вещи». Иначе говоря, смысл нашего установления совершенно не зависит от индивидуальных качеств членов групп. Суть математических объектов и их соотношений, а также высказываний о них в том, что они обладают крайней степенью общности, которая и проявляется в их абстрактности.
Однако, возражает Харди, абстрактность присуща всем математическим понятиям, теориям и т. п. Как же в таком случае отличить внутри математики более общие теории от менее общих? Концепция Уайтхеда ответа не дает. Харди предлагает иное понимание общего. Он пишет: «Идея должна быть такой, чтобы она была пригодной для разработки методов доказательства теорем многих различных типов. Теорема должна быть такой, чтобы, будучи доказанной первоначально для какого-либо специального случая (как, скажем, теорема Пифагора), она допускала широкое приложение и могла явиться образцом для целой серии теорем, подобных ей. Соотношения, развиваемые в доказательстве, должны объединять собою множество различных математических идей» 1.
Мы видим, что и с общегносеологических позиций (Куайн), и с позиции математического творчества (Харди) под общей теорией, методом и т. д. понимается эффективность знания, его способность к динамизму, расширению на область объектов, для описания которых оно первоначально не претендовало. В связи с этим Пойа различает мышление просто продуктивное и творческое. Мышление продуктивно, если приводит к решению данной конкретной задачи, но оно является творческим, если создает средства для решения будущих задач. И далее: «Чем больше число и шире разнообразие задач, к которым применим созданные средства, тем выше творческий уровень мышления»2.
Аналогичную мысль отстаивает и Ф. Клейн. Он считает особо ценными именно те математические теории, которые способны работать в смежных областях знания. «Можно измерять ценность какого-нибудь нового научного построения тем, насколько широко оно может быть применено вне круга тех абстрактных образов, которые только и имел в виду автор» 3.
Итак, общность теории проявляется не просто в широком охвате явлений, но в способности выходить за границы тех задач, для
_________________
1 Харди Г. Исповедь математика. М.: Знание, 1967. С. 12.
2 Пойа Д. Математическое открытие. М.: Наука, 1970. С. 274.
3 Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. С. 188.
решения которых она задумана. Соответственно общим будет метод, применимый в познании не только данного конкретного факта, но гораздо большего круга феноменов, для которого исходный факт – лишь одно из его проявлений.
В этом причина эффективности общего знания: частная проблема, чтобы быть решенной, апеллирует к общему методу, который обладает во много раз большими «полномочиями» и большей эвристической потенцией, нежели любой метод, придуманный для решения задачи в ее исходном варианте. Таков характер всех крупных открытий: они одним ударом решают целый комплекс проблем, для каждой из которых – при отсутствии такого метода – пришлось бы искать свое, специальное объяснение. Как замечает Ван дер Варден, «Ньютон нашел общий метод решения всех дифференциальных... задач, которые Архимед решал только особо подобранными методами и для частных случаев»1.
Но значение общего знания не исчерпывается отмеченным. Прежде чем применить общую теорию, ее надо создать. А здесь снова заявляют о себе преимущества общего подхода перед любыми частными начинаниями.
Выявляется, что поскольку в конкретной постановке задача часто вообще не решается либо это сопряжено с колоссальной тратой сил, то остается одно: искать общее решение. Так, древние, сформулировав три знаменитые задачи: трисекция угла, удвоение куба и квадратура круга, смогли подойти к разгадке, лишь когда отказались от прямых решений, от атаки проблемы в лоб. Были выдвинуты соответственно: идея конических сечений (и некоторых трансцендентных кривых), геометрический метод решения кубических уравнений и метод исчерпывания. Во всех случаях видим стремление выйти к обобщенным решениям 2.
Фактически при постановке исходной проблемы как общей и отыскании общего метода одна задача подменяется другой. Исследуют не первоначальную, не ту ситуацию, которая возникла, а совсем иную . Так, Лейбниц при создании дифференциального исчисления вместо анализа касательной исследует поведение секу-
_________________
1 Ван дер Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. М., 1959. С. 10.
2 См. подробнее: Молодший В.Н. Очерки по философским вопросам математики. М.: Просвещение, 1969. С. 139.
3 В связи с этим Д. Пойа (привлекая «традиционного профессора математики») полушутя рекомендует: «Как вам лучше всего поступить с этой задачей? Оставьте ее в покое и придумайте себе какую-нибудь другую».
щей, а Кеплер и вовсе ушел от первоначальной проблемы измерения объемов бочек в область рассуждения об абстрактных фигурах.
Но переформулировка и таит преимущества. Она расширяет контекст прочтения задачи, ибо сопровождается переходом к более широкой (общей) познавательной платформе, чем предполагаемая на «входе» проблемы. Такой взгляд открывает новые горизонты видения исходной ситуации, дает хороший панорамный обзор, вооружая исследователя знанием крупномасштабного плана.
Следовательно, переходом к общей позиции получаем вместо одной задачи другую. Она скорее поддается решению, поскольку и постулаты, и базис рассуждения оказываются более перспективными. Но и это не все.
Если говорить конкретнее, то здесь существенны определения простоты, проступающие вместе с обобщенной постановкой проблемы.
Отметим два обстоятельства. Общее понимание отвлекает мысль от случайного, второстепенного, продвигая к более отчетливому осознанию ситуации. Характеризуя обстановку в области математических дисциплин в XVIII в., Даламбер писал: «Чем шире тот предмет, который ими охватывается, и чем более обща и абстрактна та форма, в которой он в них рассматривается, тем больше их принципы избавлены от неясностей и тем более они доступны для понимания». Так, замечает он, геометрия проще механики, а они обе менее просты, чем алгебра1.
С другой стороны, упрощение сопровождается сокращением количества исходной информации. Это существенно уменьшает число параметров, которые нужно учесть, и позволяет сконцентрировать усилия на сути проблемы.
Восхождение к абстрактно-упрощенной постановке задачи обязывает расстаться с массой отягчающих ее условие подробностей, очистить предпосылки от деталей, готовых увлечь мысль исследователя в тупики бесплодных решений. Поэтому общую проблему удается скорее понять, нежели конкретную. «Чем меньше данных, – пишет У. Сойер, – тем легче найти решение. Общая теорема редко содержит что-нибудь запутанное; ее цель – обратить внимание на действительно важные факты». Эту мысль он иллюстрирует ссылкой на один факт из истории математики, когда отказ от част-
_________________
1 Даламбер. Динамика. М.; Л.: ГТТИ, 1950. С. 15.
ностей позволил по-новому увидеть задачу и решить ее в общем виде, избежав сложных доказательств.
В 1868 г. Гордан путем трудоемких вычислений показал, что «некоторые специальные совокупности многочленов обладают определенным свойством». А в 1890 г. этот же результат Гильберт получил гораздо проще, по существу, как отмечает Сойер, без всяких вычислений. И это удалось потому, что было отброшено 90 процентов информации, используемой Горданом. Более того, Гильберт «доказал также, что теорема справедлива не только для этих многочленов, но и для любых многочленов вообще!» Таким образом, заключает Сойер, «большая степень обобщения и большая простота неотделимы друг от друга»1.
Вывод о том, что сосредоточенность на частностях заслоняет суть проблемы, мешая ее решению, находит подтверждение в опытах психологов, проведенных в школе. Сначала ученикам давали задачи, в которых фигурировали конкретные объекты (определение площадей стен, земельных участков, различных строений). Засекали время решения. Затем давали те же по содержанию и трудности задачи, но сформулированные применительно к абстрактным объектам: треугольникам, квадратам и т. п. геометрическим фигурам. Было установлено, что задачи второго вида школьники решали быстрее. При анализе причин подобного эффекта выяснилось, что как раз частности, детали и сбивают с толку. Один ученик объяснил задачу с конкретными объектами так: «Здесь трудно. Там один треугольник, а тут крыша и фасад – вот я и запутался» 2.
Рассматриваемая ситуация проливает свет на многочисленные факты открытий, сделанных так называемыми дилетантами. Надо только сначала уточнить определение. Дилетант – не невежда и незнайка, начиненный поверхностными сведениями в области, где он пытается рассуждать. Дилетант – человек, не имеющий в интересующей его по совместительству области специального диплома. Однако это сведущий специалист своей отрасли, вне которой он выступает уже как любитель. Это незнание подробностей чужой дисциплины и оказывается порой позитивным: детали не загромождают горизонт, и его ум скорее схватывает суть явлений. К тому
_________________
1 Сойер У.У. Прелюдия к математике. М.: Математическое просвещение, 1972. С. 20-21.
2 См.: Богоявленский Д. Н., Менчинская H.A. Психология усвоения знаний в школе. М.: АН РСФСР, 1959. С. 142.
же он свободен и от знания запретов, царящих здесь, от указаний, что это невозможно.
Что касается математики, то и здесь было немало подобных умов. Лейбниц, юрист по образованию, имевший звание доктора права и магистра философии. С математикой близко познакомился лишь в 26 лет, побывав до этого дипломатом, политическим советником у герцога ганноверского. Один из крупнейших представителей математики П. Ферма также имел юридическое образование и служил чиновником, одновременно работая еще и в области математических исследований, но уже как любитель. Совсем не математиком начинал свою деятельность Л. Эйлер. Получив образование филолога, он и готовился к исполнению этой профессии, но увлекся математикой. Филологом был и крупный немецкий математик XIX в. Г. Грассман. И т. д. Не станем продолжать этот небезынтересный список. Нам важно прочертить линию признания эффективности общего подхода к проблеме, одним из проявлений которого выступает парадокс «дилетант – специалист».
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ... А К Сухотин...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Преимущества общего подхода
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов