рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Преимущества общего подхода

Преимущества общего подхода - раздел Философия, ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ   Почему Же Разработка Общих Методов Оказывается Столь Эффектив...

 

Почему же разработка общих методов оказывается столь эффективной?

Вначале уточним, что имеют в виду, говоря об общем в науке, познании. Общее – не просто свойство, присущее каждому элементу множества, как часто считают. В логико-гносеологическом аспекте У. Куайн предлагает следующее понимание. Допустим, говорит он, мы имеем некоторую теорию Ф и класс объясняемых с ее помощью предметов К. Теория является общей, если она, будучи внушена классом предметов К, экстраполируется на область феноменов М, для которой К есть лишь подкласс. Таким образом, исходный класс К оказывается узкой моделью для Ф, поскольку накладывается на более широкую сферу объектов, объясняя эти последние с помощью всех возможных следствий1.

Таковы общеметодологические соображения. В применении конкретно к математике заслуживает внимания позиция Г. Харди.

Харди не согласен с пониманием общего, которое иногда высказывают: ценность предложений математики заключается в их абстрактности. Так, отстаивая этот взгляд, Уайтхед пишет следующее. Утверждая, например, что «2+3=5», мы устанавливаем соотношение между тремя группами «вещей», и эти «вещи» не обязаны быть яблоками, монетами или другими предметами какого-либо

_________________

1 См.: Qwine W. World and Object. N.; Y.; L., 1960. P. 20.


 

определенного сорта. Они есть просто «вещи». Иначе говоря, смысл нашего установления совершенно не зависит от индивидуальных качеств членов групп. Суть математических объектов и их соотношений, а также высказываний о них в том, что они обладают крайней степенью общности, которая и проявляется в их абстрактности.

Однако, возражает Харди, абстрактность присуща всем математическим понятиям, теориям и т. п. Как же в таком случае отличить внутри математики более общие теории от менее общих? Концепция Уайтхеда ответа не дает. Харди предлагает иное понимание общего. Он пишет: «Идея должна быть такой, чтобы она была пригодной для разработки методов доказательства теорем многих различных типов. Теорема должна быть такой, чтобы, будучи доказанной первоначально для какого-либо специального случая (как, скажем, теорема Пифагора), она допускала широкое приложение и могла явиться образцом для целой серии теорем, подобных ей. Соотношения, развиваемые в доказательстве, должны объединять собою множество различных математических идей» 1.

Мы видим, что и с общегносеологических позиций (Куайн), и с позиции математического творчества (Харди) под общей теорией, методом и т. д. понимается эффективность знания, его способность к динамизму, расширению на область объектов, для описания которых оно первоначально не претендовало. В связи с этим Пойа различает мышление просто продуктивное и творческое. Мышление продуктивно, если приводит к решению данной конкретной задачи, но оно является творческим, если создает средства для решения будущих задач. И далее: «Чем больше число и шире разнообразие задач, к которым применим созданные средства, тем выше творческий уровень мышления»2.

Аналогичную мысль отстаивает и Ф. Клейн. Он считает особо ценными именно те математические теории, которые способны работать в смежных областях знания. «Можно измерять ценность какого-нибудь нового научного построения тем, насколько широко оно может быть применено вне круга тех абстрактных образов, которые только и имел в виду автор» 3.

Итак, общность теории проявляется не просто в широком охвате явлений, но в способности выходить за границы тех задач, для

_________________

1 Харди Г. Исповедь математика. М.: Знание, 1967. С. 12.

2 Пойа Д. Математическое открытие. М.: Наука, 1970. С. 274.

3 Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. С. 188.


 

решения которых она задумана. Соответственно общим будет метод, применимый в познании не только данного конкретного факта, но гораздо большего круга феноменов, для которого исходный факт – лишь одно из его проявлений.

В этом причина эффективности общего знания: частная проблема, чтобы быть решенной, апеллирует к общему методу, который обладает во много раз большими «полномочиями» и большей эвристической потенцией, нежели любой метод, придуманный для решения задачи в ее исходном варианте. Таков характер всех крупных открытий: они одним ударом решают целый комплекс проблем, для каждой из которых – при отсутствии такого метода – пришлось бы искать свое, специальное объяснение. Как замечает Ван дер Варден, «Ньютон нашел общий метод решения всех дифференциальных... задач, которые Архимед решал только особо подобранными методами и для частных случаев»1.

Но значение общего знания не исчерпывается отмеченным. Прежде чем применить общую теорию, ее надо создать. А здесь снова заявляют о себе преимущества общего подхода перед любыми частными начинаниями.

Выявляется, что поскольку в конкретной постановке задача часто вообще не решается либо это сопряжено с колоссальной тратой сил, то остается одно: искать общее решение. Так, древние, сформулировав три знаменитые задачи: трисекция угла, удвоение куба и квадратура круга, смогли подойти к разгадке, лишь когда отказались от прямых решений, от атаки проблемы в лоб. Были выдвинуты соответственно: идея конических сечений (и некоторых трансцендентных кривых), геометрический метод решения кубических уравнений и метод исчерпывания. Во всех случаях видим стремление выйти к обобщенным решениям 2.

Фактически при постановке исходной проблемы как общей и отыскании общего метода одна задача подменяется другой. Исследуют не первоначальную, не ту ситуацию, которая возникла, а совсем иную . Так, Лейбниц при создании дифференциального исчисления вместо анализа касательной исследует поведение секу-

_________________

1 Ван дер Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. М., 1959. С. 10.

2 См. подробнее: Молодший В.Н. Очерки по философским вопросам математики. М.: Просвещение, 1969. С. 139.

3 В связи с этим Д. Пойа (привлекая «традиционного профессора математики») полушутя рекомендует: «Как вам лучше всего поступить с этой задачей? Оставьте ее в покое и придумайте себе какую-нибудь другую».


 

щей, а Кеплер и вовсе ушел от первоначальной проблемы измерения объемов бочек в область рассуждения об абстрактных фигурах.

Но переформулировка и таит преимущества. Она расширяет контекст прочтения задачи, ибо сопровождается переходом к более широкой (общей) познавательной платформе, чем предполагаемая на «входе» проблемы. Такой взгляд открывает новые горизонты видения исходной ситуации, дает хороший панорамный обзор, вооружая исследователя знанием крупномасштабного плана.

Следовательно, переходом к общей позиции получаем вместо одной задачи другую. Она скорее поддается решению, поскольку и постулаты, и базис рассуждения оказываются более перспективными. Но и это не все.

Если говорить конкретнее, то здесь существенны определения простоты, проступающие вместе с обобщенной постановкой проблемы.

Отметим два обстоятельства. Общее понимание отвлекает мысль от случайного, второстепенного, продвигая к более отчетливому осознанию ситуации. Характеризуя обстановку в области математических дисциплин в XVIII в., Даламбер писал: «Чем шире тот предмет, который ими охватывается, и чем более обща и абстрактна та форма, в которой он в них рассматривается, тем больше их принципы избавлены от неясностей и тем более они доступны для понимания». Так, замечает он, геометрия проще механики, а они обе менее просты, чем алгебра1.

С другой стороны, упрощение сопровождается сокращением количества исходной информации. Это существенно уменьшает число параметров, которые нужно учесть, и позволяет сконцентрировать усилия на сути проблемы.

Восхождение к абстрактно-упрощенной постановке задачи обязывает расстаться с массой отягчающих ее условие подробностей, очистить предпосылки от деталей, готовых увлечь мысль исследователя в тупики бесплодных решений. Поэтому общую проблему удается скорее понять, нежели конкретную. «Чем меньше данных, – пишет У. Сойер, – тем легче найти решение. Общая теорема редко содержит что-нибудь запутанное; ее цель – обратить внимание на действительно важные факты». Эту мысль он иллюстрирует ссылкой на один факт из истории математики, когда отказ от част-

_________________

1 Даламбер. Динамика. М.; Л.: ГТТИ, 1950. С. 15.


 

ностей позволил по-новому увидеть задачу и решить ее в общем виде, избежав сложных доказательств.

В 1868 г. Гордан путем трудоемких вычислений показал, что «некоторые специальные совокупности многочленов обладают определенным свойством». А в 1890 г. этот же результат Гильберт получил гораздо проще, по существу, как отмечает Сойер, без всяких вычислений. И это удалось потому, что было отброшено 90 процентов информации, используемой Горданом. Более того, Гильберт «доказал также, что теорема справедлива не только для этих многочленов, но и для любых многочленов вообще!» Таким образом, заключает Сойер, «большая степень обобщения и большая простота неотделимы друг от друга»1.

Вывод о том, что сосредоточенность на частностях заслоняет суть проблемы, мешая ее решению, находит подтверждение в опытах психологов, проведенных в школе. Сначала ученикам давали задачи, в которых фигурировали конкретные объекты (определение площадей стен, земельных участков, различных строений). Засекали время решения. Затем давали те же по содержанию и трудности задачи, но сформулированные применительно к абстрактным объектам: треугольникам, квадратам и т. п. геометрическим фигурам. Было установлено, что задачи второго вида школьники решали быстрее. При анализе причин подобного эффекта выяснилось, что как раз частности, детали и сбивают с толку. Один ученик объяснил задачу с конкретными объектами так: «Здесь трудно. Там один треугольник, а тут крыша и фасад – вот я и запутался» 2.

Рассматриваемая ситуация проливает свет на многочисленные факты открытий, сделанных так называемыми дилетантами. Надо только сначала уточнить определение. Дилетант – не невежда и незнайка, начиненный поверхностными сведениями в области, где он пытается рассуждать. Дилетант – человек, не имеющий в интересующей его по совместительству области специального диплома. Однако это сведущий специалист своей отрасли, вне которой он выступает уже как любитель. Это незнание подробностей чужой дисциплины и оказывается порой позитивным: детали не загромождают горизонт, и его ум скорее схватывает суть явлений. К тому

_________________

1 Сойер У.У. Прелюдия к математике. М.: Математическое просвещение, 1972. С. 20-21.

2 См.: Богоявленский Д. Н., Менчинская H.A. Психология усвоения знаний в школе. М.: АН РСФСР, 1959. С. 142.


 

же он свободен и от знания запретов, царящих здесь, от указаний, что это невозможно.

Что касается математики, то и здесь было немало подобных умов. Лейбниц, юрист по образованию, имевший звание доктора права и магистра философии. С математикой близко познакомился лишь в 26 лет, побывав до этого дипломатом, политическим советником у герцога ганноверского. Один из крупнейших представителей математики П. Ферма также имел юридическое образование и служил чиновником, одновременно работая еще и в области математических исследований, но уже как любитель. Совсем не математиком начинал свою деятельность Л. Эйлер. Получив образование филолога, он и готовился к исполнению этой профессии, но увлекся математикой. Филологом был и крупный немецкий математик XIX в. Г. Грассман. И т. д. Не станем продолжать этот небезынтересный список. Нам важно прочертить линию признания эффективности общего подхода к проблеме, одним из проявлений которого выступает парадокс «дилетант – специалист».

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ... А К Сухотин...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Преимущества общего подхода

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Определение философии. Разброс значений
  Существует масса определений философии: от попыток, отлучающих ее от корпуса наук, до признания философии наукой наук. Распространено убеждение (и не только по причине пред

Функции философии в их отношении к математике
  Обычно выделяют два функциональных назначения философии – мировоззренческое и методологическое. Под мировоззрением понимается взгляд на мир и определение места человека в мире.

Философия в математике. Констатации и оценки
  Тезис о взаимных влияниях математики и философии хотелось бы подкрепить высказываниями самих ученых. Еще Платон считал математику необходимым введением в философию. Недаром

Математический объект как абстракция от абстракции
  Нередко особенность математического знания видят в том, что оно оперирует понятиями высокой степени абстрактности, благодаря чему его объекты носят очень общий характер, выражая сам

Математика – наука об отношениях
  Лишая свои объекты каких-либо вещественных характеристик, абстрагируясь от любых материальных, природных свойств, математика все же что-то им оставляет, иначе она не могла бы соотно

Проблема свободы математического творчества
  Определив математику как науку об отношениях, немедленно сталкиваемся с вопросом, а чем или, может быть, кем задаются отношения? В естествознании отношения, то есть законы

Знак и значение
  Специфика математики, ее объектов остро задевает вопрос о математических знаках. Что они обозначают, что за ними скрывается? Мы выходим к общей проблеме – знак и значение, как они п

Проблема существования математического объекта
  Этот вопрос закономерен в силу специфики математики, не являющейся описанием вещей. Венгерский математик А. Реньи ставит проблему так. Врач изучает болезни, астроном – звезды и т.п.

Концепция языковых каркасов Карнапа и два языка математики
  Любая научная теория оперирует, как уже отмечалось, не непосредственно объектами природы, а их концептуальными отображениями в понятиях. Последние находятся поэтому в двойном подчин

Математика и объективный мир. Пифагорейский синдром
  Выключение философского аспекта при решении собственно математических проблем не означает отказа вообще обсуждать философские темы математики, ее языка. Надо только не привносить од

Принцип дихотомии знания
  Научное знание разбивают по способу установления истины на два взаимоисключающих класса – по принципу дихотомического деления (от греч. dicha и tome – сечение на две части), когда о

Математика как язык науки
  Представляя собой тип формального знания, математика занимает особое место в отношении наук фактуального профиля. Она оказывается хорошо приспособленной для количественной обработки

Математическая методология
  Место математики в системе наук определяется также тем, что она' играет для других дисциплин и роль методологии. И не только в отношении естествознания, но и для наук социального, г

Математика – источник представлений и концепций в естествознании
  Еще одно методологическое назначение математики состоит в том, что она вырабатывает для остальной науки, прежде всего для естествознания, структуры мысли, формулы, на основе которых

Понятие обоснования математики
  Под обоснованием математики понимают демонстрацию возможности существования объектов ее теории и возможной истинности предложений об этих объектах. Иначе говоря, это вопрос о соотно

Программа логицизма
  Лидеры логицизма (Г. Фреге, Б. Рассел и др.) видели основания математики в логике. Вообще, возможны четыре типа соотношения математики и логики: 1) математика – часть логики; 2) лог

Этап арифметизации.
По существу, он был завершен до появления программы логицизма, однако, как выяснилось позднее, работал на нее. В известной мере это относится и к этапу аксиоматизации арифметики, хотя проводивший в

Второй этап – аксиоматизация арифметики.
Далее встает задача представить в минимуме понятий сам натуральный ряд, то есть вывести (указав правила перехода) из исходных, простейших элементов всю совокупность целых чисел. Аксиоматизацию начи

Причина неудач
  Выполнение замысла логистов близилось к концу: оставалось лишь выровнять шероховатости, чем и занялся Г. Фреге, который, как пишут авторы известной книги «Основания теории множеств»

Философская оценка
  В реализации логицистской программы ее творцы то и дело выходили на философию, без привлечения которой процедура сведения математики к логике выглядела незавершенной и сами логическ

Критика интуиционистами основ логицизма и проблема бесконечности
  Новая ориентация в обоснованиях, впервые заявившая о себе в 1907 г., представляла реакцию на попытки придать математике чисто логическое истолкование. Интуиционисты (Я. Брауэр, Г. В

Интуитивистская альтернатива
  Все беды обоснования интуиционизм видит не собственно в логике (в несовершенстве ее аппарата), а в самой математике и именно в неточном использовании ее понятий, прежде всего – поня

Ограниченность интуиционизма
  Логико-математические идеи интуиционистов тесно переплетены с известными философскими установками, которые выдают их во многом односторонне-субъективное происхождение. Поск

Конструктивная ветвь
  Попытки спасти интуиционистские идеи и начинания, развить далее оригинальные и продуктивные мысли предприняли сторонники конструктивного течения. Продолжая традицию интуиционистског

Программное заявление
  Кризисные явления в математике, заставившие обратиться к ее обоснованиям, и трудности, вставшие перед логицистами, породили наряду с интуиционизмом еще одно течение – формализм. Пер

Концепция абсолютного доказательства и метод формализованной аксиоматики
  Чтобы доказать непротиворечивость, Гильберт использует метод так называемого абсолютного доказательства, который находит реализацию в идее формализованной аксиоматики. Вооб

Результаты Геделя
  В 1931 г. 25-летний австрийский математик Венского университета Курт Гедель (позднее, после аншлюса, эмигрировавший в США) доказал теоремы, из которых следовало, что программа Гильб

Это предложение недоказуемо.
Допустим, что данное предложение ложно. То есть неверно, что оно недоказуемо. Следовательно, оно доказуемо. Притом оно истинно, поскольку, допустив, что оно ложно, мы получим противоречие. Но от эт

Итоги исканий
  Анализ рассмотренных основных направлений философского обоснования математики показывает, что ни одно из них не принесло удовлетворяющего решения. Вместе с тем каждое, внося что-то

Новые подходы
  Были отмечены результаты, полученные ведущими течениями в области обоснований математики. Но это, так сказать, содержательный аспект исканий. Вместе с ним наметилось и другое.

Обоснование в свете эволюции математики
  Обзор классических, если можно так сказать, направлений (логицизм, интуиционизм и конструктивизм, формалистское течение) и современных подходов (аксиоматический и теоретико-категори

Истина в формализованных языках
  Современные подходы к проблеме истины наряду с традиционной гносеологической истиной (соответствие объекту вне нас) выделяют также онтологическую (истина бытия, то есть его изначаль

Критерий выводимости и понятие корректности
  Являясь совокупностью формализованных языков, математика представляет собой область, в которой реализуется разработанное А. Тарским понятие истины. Напомним, что это так называемый

Математика и методы схоластики
  В характере математического строя мышления и в принципах схоластических рассуждений есть немало общих черт. Мы уже отмечали ранее их тематические точки касаний. Здесь хотелось бы ос

Математическое доказательство
  Теория доказательства разработана в логике и включает три структурных компонента: тезис (то, что предполагается доказать), аргументы (совокупность фактов, общепринятых понятий, зако

Принципы построения дедуктивных теорий
  Дедуктивный путь рассуждения как выведение отличается от индуктивного как наведения (от лат. inductio) рядом особенностей. Дедуктивный вывод является принудительным, его пр

Критерии «внешнего» оправдания
  Как и любая наука, математика руководствуется определенными критериями принятия оперируемыми высказываниями в качестве истинных. Необходимо говорить о внутренних и внешних оправдани

Вторичные показатели истины
  В силу особой природы математики, где эмпирические критерии истины не участвуют в поиске, их оправдательная функция реализуется, как мы пытались это осветить в последнем параграфе п

Критерии «внутреннего совершенства». Эвристика
  Далее мы хотели бы рассмотреть эвристические возможности вторичных показателей истины. Эвристика (от греч. «эврика» – Я нашел) – наука о вспомогательных, дополнительных к основным (

Quot;x(Sx®Px) ® (Px®Sx).
Однако, как нами уже отмечено, подобное умозаключение некорректно. Проиллюстрируем это более прозрачным примером: на основании того, что, скажем, все космонавты спортсмены, вовсе не следует, что вс

Базисные определения. Расстановка позиций
  Творческая деятельность математика осуществляется в режиме логического и интуитивного поиска, которые сочетаются на основе принципа дополнительности в боровском смысле. По

Понятие формализации
  Под формализацией понимается специфический прием исследования, назначение которого состоит в том, чтобы уточнять знание посредством выявления его формы (способа организации, структу

Эвристика. Формализация как прием получения нового знания
  Наличие глубокого единства формы и содержания, фактов перехода одного в другое и становится основанием использовать процедуру формализации как прием, как метод выявления нового соде

Границы и издержки формализации
  Рекомендуя метод формализации к методологическому использованию, стоит отметить некоторые негативные сопровождения, характеризующие этот прием. Прежде всего, напомним о рез

Проблемная ситуация и алгоритм метода
  Обратимся еще к одному методу, широко применяемому в математическом творчестве. Более того, своими корнями он уходит в математику, появившись именно в ней и находя в ней наиболее ад

Эвристика
  Метод обобщающей переформулировки проблемы может выступать эффективным эвристически-вспомогательным орудием математического поиска, подспорьем в научных поисках. В трудах математико

В СОЦИАЛЬНОМ ИЗМЕРЕНИИ
  Математика занимает особое место в системе общественных ценностей. По существу она во все времена определяла лицо науки, ибо, как заметил А. Пуанкаре, окончательная идеальн

МАТЕМАТИКА: СПЕЦИФИКА, МЕСТО В СТРУКТУРЕ НАУКИ
Глава 1. Предметная область философии математики 5 1. Определение философии. Разброс значений 5 2. Функции философии в их отношении к математ

ФИЛОСОФСКИЕ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
Глава V. Проблемы обоснования математики и ее решение логицизмом 72 1. Понятие обоснования математики 72 2. Программа логицизма 76 3

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИСТИНА: СТАТУС, СТРУКТУРА, КРИТЕРИАЛЬНЫЕ ОРИЕНТИРЫ
Глава IX. Специфика истины в математике 140 1. Истина в формализованных языках 140 2. Критерий выводимости и понятие корректности. 145

МЕТОДОЛОГИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПОИСКА
Глава XII. Интуиция и логика 190 1. Базисные определения. Расстановка позиций 190 2. Этапы творческого процесса 193 а) Постановка пр

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги