рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Эвристика

Эвристика - раздел Философия, ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ   Метод Обобщающей Переформулировки Проблемы Может Выступать Эф...

 

Метод обобщающей переформулировки проблемы может выступать эффективным эвристически-вспомогательным орудием математического поиска, подспорьем в научных поисках. В трудах математиков находим поэтому не только его использование, но и рекомендации, ориентирующие исследователя на создание общих теорий, методов, решений. Мы уже говорили о Лейбнице. Аналогичный путь в изучении своего предмета был задуман и реализован Лагранжем. Раскрывая «секрет», которым он руководствовался при написании «Аналитической механики, ученый отмечал: «Существует уже много трактатов по механике, но план настоящего трактата является совершенно иным. Я поставил своей целью свести теорию механики и методы решения связанных с нею задач к общим формулам, простое развитие которых дает все уравнения, необходимые для решения каждой задачи»1. Следуя задуманному, Лагранж надеется, что он «объединит и осветит с единой точки зрения различные принципы, открытые до сих пор, с целью облегче-

_________________

1 Лагранж Ж. Аналитическая механика. М; Л.: ПТИ, 1950. Т. 1. С. 9.


 

ния решения механических задач, укажет их связь и взаимную зависимость...»1.

На плодотворность приема осмысления частной математической проблемы как общей и обобщенных методов ее решения обращает внимание Г. Вейль. Он считает полезным высказать следующее пожелание: «...всякий раз, когда вам приходится иметь дело с объектом S, наделенным структурой, попытайтесь определить группу его автоморфизмов, то есть группу, элементы которой являются преобразованиями, оставляющими без изменения все структурные соотношения. Вы можете рассчитывать на то, что на этом пути вам удастся глубоко проникнуть во внутреннее строение объекта S»2.

Общий подход плодотворен и тем, что открывает простор панорамному видению, возвышая исследователя до позиции широкого пространственного и временного обзора его частной проблемы. Это проявляется в том, что такой метод стимулирует вовлечение в поиск разностороннего круга идей, притом из сферы не только науки, но и искусства, культуры, вообще всего запаса знаний ученого. Это и расширяет пространство математических исканий, ибо заранее трудно предугадать, на пересечении каких концепций будет высвечена истина. Является перспективным, отмечает белорусский математик, академик Еругин, метод «перемешивания идей». И чем они разнороднее, тем скорее гарантирован успех. Еще более радикальный тезис провозгласил А. Пуанкаре: «Среди комбинаций, на которые падает выбор, часто самыми плодотворными оказываются те, элементы которых взяты их наиболее удаленных друг от друга областей»3.

Общий взгляд расширяет и панораму временного видения объекта исследования. Речь идет об эвристическом подходе к предмету с точки зрения его эволюции: каков он был при его возникновении, какие этапы развития прошел и чем стал к моменту исследования. То есть полезен учет всей истории становления объекта.

Однако объекты математики (как и физики, химии и некоторых других наук) заданы как неизменные. Применим ли здесь истори-ко-эволюционный подход?

_________________

1 Лагранж Ж. Аналитическая механика. М.; Л.: ГТТИ, 1950. Т. 1. С. 9.

2 Вейль Г. Симметрия. М.: Наука, 1968. С. 159.

3 Пуанкаре А. Наука и метод. С. 56.


 

Он применим, но в ином разрезе. Относительно любой области науки имеется история ее изучения. И если некий объект не развивается, то развиваются идеи его освоения мыслью, складывается эволюция познаний. Д. Гильберт высказывает в связи с этим следующее важное замечание. Он пишет, что если нам не удается решить проблему, значит мы не смогли овладеть общей точкой зрения и взять задачу в цепи родственных задач, то есть поместить ее в пространственное и временное окружение.

В формировании общего подхода к объекту решающее слово за философией, ибо в ее категориях и утверждениях сосредоточено всеобщее содержание. Многие крупные ученые особо оговаривали это. Так, М. Борн, например, писал: «Меня никогда не привлекала возможность стать узким специалистом... Философский подтекст работы всегда интересовал меня больше, чем ее специальные результаты»1.

Выступая предельно общими, категории и положения философии применимы в любой сфере знания, более того – в любой теоретической и практической деятельности как средство решения познавательных и прагматистских ситуаций. Широта делает их достаточно неопределенными в своих значениях, но именно эта размытость границ и позволяет исследователю свободно использовать категории в качестве орудий эвристического поиска истины. «Хорошо известно, – пишут Френкель и Бар-Хиллел, – что во всей математике – и в других науках – изучение самых общих, во всей их неограниченной общности, понятий часто оказывалось чрезвычайно ценным для развития науки»2. Даже для математики, категории которой сами достаточно общи, плодотворно «общение» с неограниченно широкими философскими понятиями.

Философские положения открывают простор свободному воображению ученого. В качестве знания с предельным охватом они образуют поле для эффективной, не затрудненной ограничениями синтетической деятельности, ориентируя на получение принципиально новых результатов. Создается возможность появления неожиданных ассоциаций, недосягаемых на почве одних лишь специальных знаний.

_________________

1 Борн М. Моя жизнь и взгляды. С. 19.

2 Френкель Л., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М.: Мир, 1966. С. 14.


 

В плане более конкретных эвристических рекомендаций можно отметить следующие приемы проявления метода обобщающей переформулировки задачи в математическом творчестве.

Прием видоизменения условий задачи. Вообще, как замечает Д. Пойа, варьирование путей решения есть показатель интеллекта, что и реализуется в поиске. Оно проявляется в попытках перевести проблему на другой язык, например с алгебраического на геометрический, с языка двумерного пространства на трехмерное исчисление и т. д. Так, возникшая еще в XIX столетии теорема о четырех красках (при составлении политического облика карт) не поддавалась решению геометрическими методами (почему именно четыре цвета, а может быть, достаточно трех?). Ее решили лишь алгебраически с изобретением ЭВМ.

В качестве эвристической реализации рассматриваемого метода эффективен прием передислокации вектора поиска.

Академик Н. Лузин рекомендует операцию «двойного видения». Когда доказательство теоремы не получается, попробуйте ее опровергать, придумайте контрпример и т. п. Эффективен также прием оборачивания, когда пытаются условие задачи превратить в ее решение или еще сильнее – проблему обернуть как постулат. Таким образом и поступил Н. Лобачевский. Убедившись, что задача логического вывода аксиомы о параллельных из остальных невыполнима и что, следовательно, аксиома независима, Лобачевский и решил превратить эту проблему в постулат новой геометрии.

Прием оборачивания как способ расширения путей поиска на базе общего подхода проявляется и в случае открытий, когда идут не от основания (причины) к следствию, а наоборот. Это своего рода обратный ход.

В XIX в. английский математик и астроном Дж. Адамс и французский астроном У. Леверье чисто математически, опираясь на данные возмущений в орбите Урана, вычислили существование неизвестной дотоле планеты Нептун, которая и была «виновницей» возмущений. Их ход мысли был таков. Вместо того, чтобы вычислять возмущения, которые вносит известная планета с известной массой и орбитой (в нашем эпизоде Уран) в движение других планет, ими решалась обратная задача: по возмущениям, вносимым неизвестной планетой в движение известного науке Урана, Адаме и Леверье определили массу и орбиту этой «незнакомки» (планету Нептун). Подобный прием позднее назвали открытием «на кончике математического пера». Название стало нарицательным, обозначая


 

эффективный метод поиска на пути внеэмпирических операций научного исследования.

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ... А К Сухотин...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Эвристика

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Определение философии. Разброс значений
  Существует масса определений философии: от попыток, отлучающих ее от корпуса наук, до признания философии наукой наук. Распространено убеждение (и не только по причине пред

Функции философии в их отношении к математике
  Обычно выделяют два функциональных назначения философии – мировоззренческое и методологическое. Под мировоззрением понимается взгляд на мир и определение места человека в мире.

Философия в математике. Констатации и оценки
  Тезис о взаимных влияниях математики и философии хотелось бы подкрепить высказываниями самих ученых. Еще Платон считал математику необходимым введением в философию. Недаром

Математический объект как абстракция от абстракции
  Нередко особенность математического знания видят в том, что оно оперирует понятиями высокой степени абстрактности, благодаря чему его объекты носят очень общий характер, выражая сам

Математика – наука об отношениях
  Лишая свои объекты каких-либо вещественных характеристик, абстрагируясь от любых материальных, природных свойств, математика все же что-то им оставляет, иначе она не могла бы соотно

Проблема свободы математического творчества
  Определив математику как науку об отношениях, немедленно сталкиваемся с вопросом, а чем или, может быть, кем задаются отношения? В естествознании отношения, то есть законы

Знак и значение
  Специфика математики, ее объектов остро задевает вопрос о математических знаках. Что они обозначают, что за ними скрывается? Мы выходим к общей проблеме – знак и значение, как они п

Проблема существования математического объекта
  Этот вопрос закономерен в силу специфики математики, не являющейся описанием вещей. Венгерский математик А. Реньи ставит проблему так. Врач изучает болезни, астроном – звезды и т.п.

Концепция языковых каркасов Карнапа и два языка математики
  Любая научная теория оперирует, как уже отмечалось, не непосредственно объектами природы, а их концептуальными отображениями в понятиях. Последние находятся поэтому в двойном подчин

Математика и объективный мир. Пифагорейский синдром
  Выключение философского аспекта при решении собственно математических проблем не означает отказа вообще обсуждать философские темы математики, ее языка. Надо только не привносить од

Принцип дихотомии знания
  Научное знание разбивают по способу установления истины на два взаимоисключающих класса – по принципу дихотомического деления (от греч. dicha и tome – сечение на две части), когда о

Математика как язык науки
  Представляя собой тип формального знания, математика занимает особое место в отношении наук фактуального профиля. Она оказывается хорошо приспособленной для количественной обработки

Математическая методология
  Место математики в системе наук определяется также тем, что она' играет для других дисциплин и роль методологии. И не только в отношении естествознания, но и для наук социального, г

Математика – источник представлений и концепций в естествознании
  Еще одно методологическое назначение математики состоит в том, что она вырабатывает для остальной науки, прежде всего для естествознания, структуры мысли, формулы, на основе которых

Понятие обоснования математики
  Под обоснованием математики понимают демонстрацию возможности существования объектов ее теории и возможной истинности предложений об этих объектах. Иначе говоря, это вопрос о соотно

Программа логицизма
  Лидеры логицизма (Г. Фреге, Б. Рассел и др.) видели основания математики в логике. Вообще, возможны четыре типа соотношения математики и логики: 1) математика – часть логики; 2) лог

Этап арифметизации.
По существу, он был завершен до появления программы логицизма, однако, как выяснилось позднее, работал на нее. В известной мере это относится и к этапу аксиоматизации арифметики, хотя проводивший в

Второй этап – аксиоматизация арифметики.
Далее встает задача представить в минимуме понятий сам натуральный ряд, то есть вывести (указав правила перехода) из исходных, простейших элементов всю совокупность целых чисел. Аксиоматизацию начи

Причина неудач
  Выполнение замысла логистов близилось к концу: оставалось лишь выровнять шероховатости, чем и занялся Г. Фреге, который, как пишут авторы известной книги «Основания теории множеств»

Философская оценка
  В реализации логицистской программы ее творцы то и дело выходили на философию, без привлечения которой процедура сведения математики к логике выглядела незавершенной и сами логическ

Критика интуиционистами основ логицизма и проблема бесконечности
  Новая ориентация в обоснованиях, впервые заявившая о себе в 1907 г., представляла реакцию на попытки придать математике чисто логическое истолкование. Интуиционисты (Я. Брауэр, Г. В

Интуитивистская альтернатива
  Все беды обоснования интуиционизм видит не собственно в логике (в несовершенстве ее аппарата), а в самой математике и именно в неточном использовании ее понятий, прежде всего – поня

Ограниченность интуиционизма
  Логико-математические идеи интуиционистов тесно переплетены с известными философскими установками, которые выдают их во многом односторонне-субъективное происхождение. Поск

Конструктивная ветвь
  Попытки спасти интуиционистские идеи и начинания, развить далее оригинальные и продуктивные мысли предприняли сторонники конструктивного течения. Продолжая традицию интуиционистског

Программное заявление
  Кризисные явления в математике, заставившие обратиться к ее обоснованиям, и трудности, вставшие перед логицистами, породили наряду с интуиционизмом еще одно течение – формализм. Пер

Концепция абсолютного доказательства и метод формализованной аксиоматики
  Чтобы доказать непротиворечивость, Гильберт использует метод так называемого абсолютного доказательства, который находит реализацию в идее формализованной аксиоматики. Вооб

Результаты Геделя
  В 1931 г. 25-летний австрийский математик Венского университета Курт Гедель (позднее, после аншлюса, эмигрировавший в США) доказал теоремы, из которых следовало, что программа Гильб

Это предложение недоказуемо.
Допустим, что данное предложение ложно. То есть неверно, что оно недоказуемо. Следовательно, оно доказуемо. Притом оно истинно, поскольку, допустив, что оно ложно, мы получим противоречие. Но от эт

Итоги исканий
  Анализ рассмотренных основных направлений философского обоснования математики показывает, что ни одно из них не принесло удовлетворяющего решения. Вместе с тем каждое, внося что-то

Новые подходы
  Были отмечены результаты, полученные ведущими течениями в области обоснований математики. Но это, так сказать, содержательный аспект исканий. Вместе с ним наметилось и другое.

Обоснование в свете эволюции математики
  Обзор классических, если можно так сказать, направлений (логицизм, интуиционизм и конструктивизм, формалистское течение) и современных подходов (аксиоматический и теоретико-категори

Истина в формализованных языках
  Современные подходы к проблеме истины наряду с традиционной гносеологической истиной (соответствие объекту вне нас) выделяют также онтологическую (истина бытия, то есть его изначаль

Критерий выводимости и понятие корректности
  Являясь совокупностью формализованных языков, математика представляет собой область, в которой реализуется разработанное А. Тарским понятие истины. Напомним, что это так называемый

Математика и методы схоластики
  В характере математического строя мышления и в принципах схоластических рассуждений есть немало общих черт. Мы уже отмечали ранее их тематические точки касаний. Здесь хотелось бы ос

Математическое доказательство
  Теория доказательства разработана в логике и включает три структурных компонента: тезис (то, что предполагается доказать), аргументы (совокупность фактов, общепринятых понятий, зако

Принципы построения дедуктивных теорий
  Дедуктивный путь рассуждения как выведение отличается от индуктивного как наведения (от лат. inductio) рядом особенностей. Дедуктивный вывод является принудительным, его пр

Критерии «внешнего» оправдания
  Как и любая наука, математика руководствуется определенными критериями принятия оперируемыми высказываниями в качестве истинных. Необходимо говорить о внутренних и внешних оправдани

Вторичные показатели истины
  В силу особой природы математики, где эмпирические критерии истины не участвуют в поиске, их оправдательная функция реализуется, как мы пытались это осветить в последнем параграфе п

Критерии «внутреннего совершенства». Эвристика
  Далее мы хотели бы рассмотреть эвристические возможности вторичных показателей истины. Эвристика (от греч. «эврика» – Я нашел) – наука о вспомогательных, дополнительных к основным (

Quot;x(Sx®Px) ® (Px®Sx).
Однако, как нами уже отмечено, подобное умозаключение некорректно. Проиллюстрируем это более прозрачным примером: на основании того, что, скажем, все космонавты спортсмены, вовсе не следует, что вс

Базисные определения. Расстановка позиций
  Творческая деятельность математика осуществляется в режиме логического и интуитивного поиска, которые сочетаются на основе принципа дополнительности в боровском смысле. По

Понятие формализации
  Под формализацией понимается специфический прием исследования, назначение которого состоит в том, чтобы уточнять знание посредством выявления его формы (способа организации, структу

Эвристика. Формализация как прием получения нового знания
  Наличие глубокого единства формы и содержания, фактов перехода одного в другое и становится основанием использовать процедуру формализации как прием, как метод выявления нового соде

Границы и издержки формализации
  Рекомендуя метод формализации к методологическому использованию, стоит отметить некоторые негативные сопровождения, характеризующие этот прием. Прежде всего, напомним о рез

Проблемная ситуация и алгоритм метода
  Обратимся еще к одному методу, широко применяемому в математическом творчестве. Более того, своими корнями он уходит в математику, появившись именно в ней и находя в ней наиболее ад

Преимущества общего подхода
  Почему же разработка общих методов оказывается столь эффективной? Вначале уточним, что имеют в виду, говоря об общем в науке, познании. Общее – не просто свойство, присущее

В СОЦИАЛЬНОМ ИЗМЕРЕНИИ
  Математика занимает особое место в системе общественных ценностей. По существу она во все времена определяла лицо науки, ибо, как заметил А. Пуанкаре, окончательная идеальн

МАТЕМАТИКА: СПЕЦИФИКА, МЕСТО В СТРУКТУРЕ НАУКИ
Глава 1. Предметная область философии математики 5 1. Определение философии. Разброс значений 5 2. Функции философии в их отношении к математ

ФИЛОСОФСКИЕ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
Глава V. Проблемы обоснования математики и ее решение логицизмом 72 1. Понятие обоснования математики 72 2. Программа логицизма 76 3

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИСТИНА: СТАТУС, СТРУКТУРА, КРИТЕРИАЛЬНЫЕ ОРИЕНТИРЫ
Глава IX. Специфика истины в математике 140 1. Истина в формализованных языках 140 2. Критерий выводимости и понятие корректности. 145

МЕТОДОЛОГИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПОИСКА
Глава XII. Интуиция и логика 190 1. Базисные определения. Расстановка позиций 190 2. Этапы творческого процесса 193 а) Постановка пр

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги