Математика – наука об отношениях - раздел Философия, ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ
Лишая Свои Объекты Каких-Либо Вещественных Характеристик, Абс...
Лишая свои объекты каких-либо вещественных характеристик, абстрагируясь от любых материальных, природных свойств, математика все же что-то им оставляет, иначе она не могла бы соотноситься с реальностью. Чем-то должны характеризоваться ее объекты.
Да. Это способность вступать в отношения – количественные, пространственные. Здесь вновь проявляется особенность математического знания, именно то, что она описывает не вещи, а отношения. А. Пуанкаре подчеркивает в связи с этим: «Математик изучает не предметы, но лишь отношения между предметами, следовательно, для него вполне безразлично, будут ли данные предметы замещены какими-нибудь другими, лишь бы только не изменились при этом их отношения»1. Аналогичные идеи развиваются современными учеными. С. Клини, Н. Бурбаки, Р. Фейнман и др. также акцентируют внимание на том, что математика абстрагируется от естественных характеристик предметов по их свойствам и учитывает лишь отношения между ними. «Если об объектах, — пишет, например, С. Клини, – мы ничего не знаем, кроме соотношений, имеющихся между ними в системе, то такая система называется абстрактной. В этом случае усматривается только структура системы, а природа ее объектов остается неопределенной во всех отношениях, кроме одного, что они согласуются с этой структурой»2. С этим, кстати, и связано одно (уже упомянутое нами ранее) из распространенных определений математики как «скопления абстрактных форм – математических структур»3.
Итак, математика описывает отношения. По определению, отношения – это то, на основе чего вещи могут быть сравниваемы. Математика берет своим предметом количественные и пространственные отношения. Точнее сказать, она может рассматривать отношения в любых физических проявлениях, в любых физических телах и процессах, но выявляет при этом именно количественную и пространственную характеристики – количественное соотношение, интенсивность какой-либо качественной определенности или ее пространственного распределения. Отсюда способность математи-
______________
1 Пуанкаре А. Наука и гипотеза. С. 23.
2 Клини С Введение в метаматематику. М., 1957. С. 29-30.
3 Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М.: Иностр. лит., 1968. С. 259. Заметим, Н. Бурбаки – коллективный псевдоним группы современных математиков, по преимуществу французских.
ки к количественной обработке любой информации, выражая ее в числовых значениях.
К. Гаусс следующим образом на примере противостояния положительных и отрицательных чисел раскрывает эту особенность математики выявлять независимо от природных свойств количественные соотношения в предметах, сосчитывать и сравнивать их. Эти числа применимы лишь в том случае, пишет Гаусс, когда сосчитанное соотнесено с чем-то противоположным, так что их соединение дало бы в результате нуль. «Точнее говоря, – продолжает Гаусс, – это условие осуществляется только там, где сосчитанное составляет не субстанции (сами по себе мыслимые предметы), а соотношения между двумя предметами»1. Принимая предметы расположенными в один ряд, например: A, B, C, D..., притом отношение А к В мыслится равным отношению В к С и т. д., можем понятие противоположности выразить таким образом. Перестановка членов отношения проводится так, что если переход (отношение) от А к В есть 1, то переход от В к А должен быть выражен через – 1. Модель такого отношения дает перемещение в пространстве. Когда идем от А к В, а затем обратно от В к А, общий итог подобного перемещения равен нулю. Иначе говоря, АВ+ВА=0. Гаусс резюмирует: «Математик совершенно отвлекается от свойств предметов... Его задача ограничивается счетом и взаимным сравнением отношений»2.
В силу того, что математика описывает не отдельные вещи, а их отношения, ее основное понятие «число» также представляет собой отношение. Именно число (речь идет о конкретных числах – 5, 7, 14 и т. д.) есть множество всех множеств, которые эквивалентны между собой. Скажем, число «три» является определением всех множеств, которые можно поставить во взаимно-однозначное отношение с {А, В, С}-множеством, есть то общее свойство, присущее всем тройкам, из каких бы предметов они не были составлены.
Конечно, это определение не безупречно. Оно таит порочный круг (idem per idem). В простейших случаях мы избегаем его, употребляя для описания числа «два» выражение «двойка» (то есть два – это все двойки), для чисел 3, 4, 5 и т. д. – соответственно: «тройка», «четверка», «пятерка». Но видимость преодоления круга становится явной уже при характеристике числа 11.
____________
1 Цит. по: Кунтус Ф. Математика и точное изложение теоретико – познавательных проблем // Новые идеи в философии. СПб.: Образование, 1914.№П.С. 130.
2 Там же. С. 133.
Имеются различные предложения, как избежать тавтологии. В. Куайн, в частности, пишет следующее. Если, например, число «пять» есть класс всех пятичленных классов, то и есть класс всех п-членных классов. Но можно разорвать порочный круг применения п для определения этого же п, если каждое число характеризовать через предшествующее ему число. Так, продолжает В. Куайн, имея число 5, можно число 6 представить как класс всех тех классов, которые при исключении одного члена будут принадлежать классу 5. Обратившись к самому началу ряда, 0 удобно объяснить как класс, состоящий из единственного пустого класса. Тогда 1 – класс тех классов, уменьшение которых на один член приводит к классам, принадлежащим 0, число 2 – класс тех классов, которые после исключения одного члена принадлежат классу 1 и т. д.1
Дж. Фон Нойман предлагает для названной цели ввести в де-финиенсу каждого числа указание на класс предшествующих чисел. В этом случаепустой класс ø, 1 – класс, единственным членом которого является 0 {ø}, 2 – класс, состоящий из двух членов: 0 и 1{ ø, { ø }} и т.д. Там, где Г. Фреге говорит, что "класс из n членов принадлежит числу n», фон Нойман предлагает выражение: «класс из n членов – это класс, члены которого могут быть поставлены во взаимно-однозначное соответствие с членами числа n».
Все темы данного раздела:
Определение философии. Разброс значений
Существует масса определений философии: от попыток, отлучающих ее от корпуса наук, до признания философии наукой наук.
Распространено убеждение (и не только по причине пред
Функции философии в их отношении к математике
Обычно выделяют два функциональных назначения философии – мировоззренческое и методологическое. Под мировоззрением понимается взгляд на мир и определение места человека в мире.
Философия в математике. Констатации и оценки
Тезис о взаимных влияниях математики и философии хотелось бы подкрепить высказываниями самих ученых.
Еще Платон считал математику необходимым введением в философию. Недаром
Математический объект как абстракция от абстракции
Нередко особенность математического знания видят в том, что оно оперирует понятиями высокой степени абстрактности, благодаря чему его объекты носят очень общий характер, выражая сам
Проблема свободы математического творчества
Определив математику как науку об отношениях, немедленно сталкиваемся с вопросом, а чем или, может быть, кем задаются отношения?
В естествознании отношения, то есть законы
Знак и значение
Специфика математики, ее объектов остро задевает вопрос о математических знаках. Что они обозначают, что за ними скрывается? Мы выходим к общей проблеме – знак и значение, как они п
Проблема существования математического объекта
Этот вопрос закономерен в силу специфики математики, не являющейся описанием вещей. Венгерский математик А. Реньи ставит проблему так. Врач изучает болезни, астроном – звезды и т.п.
Концепция языковых каркасов Карнапа и два языка математики
Любая научная теория оперирует, как уже отмечалось, не непосредственно объектами природы, а их концептуальными отображениями в понятиях. Последние находятся поэтому в двойном подчин
Математика и объективный мир. Пифагорейский синдром
Выключение философского аспекта при решении собственно математических проблем не означает отказа вообще обсуждать философские темы математики, ее языка. Надо только не привносить од
Принцип дихотомии знания
Научное знание разбивают по способу установления истины на два взаимоисключающих класса – по принципу дихотомического деления (от греч. dicha и tome – сечение на две части), когда о
Математика как язык науки
Представляя собой тип формального знания, математика занимает особое место в отношении наук фактуального профиля. Она оказывается хорошо приспособленной для количественной обработки
Математическая методология
Место математики в системе наук определяется также тем, что она' играет для других дисциплин и роль методологии. И не только в отношении естествознания, но и для наук социального, г
Математика – источник представлений и концепций в естествознании
Еще одно методологическое назначение математики состоит в том, что она вырабатывает для остальной науки, прежде всего для естествознания, структуры мысли, формулы, на основе которых
Понятие обоснования математики
Под обоснованием математики понимают демонстрацию возможности существования объектов ее теории и возможной истинности предложений об этих объектах. Иначе говоря, это вопрос о соотно
Программа логицизма
Лидеры логицизма (Г. Фреге, Б. Рассел и др.) видели основания математики в логике. Вообще, возможны четыре типа соотношения математики и логики: 1) математика – часть логики; 2) лог
Этап арифметизации.
По существу, он был завершен до появления программы логицизма, однако, как выяснилось позднее, работал на нее. В известной мере это относится и к этапу аксиоматизации арифметики, хотя проводивший в
Второй этап – аксиоматизация арифметики.
Далее встает задача представить в минимуме понятий сам натуральный ряд, то есть вывести (указав правила перехода) из исходных, простейших элементов всю совокупность целых чисел. Аксиоматизацию начи
Причина неудач
Выполнение замысла логистов близилось к концу: оставалось лишь выровнять шероховатости, чем и занялся Г. Фреге, который, как пишут авторы известной книги «Основания теории множеств»
Философская оценка
В реализации логицистской программы ее творцы то и дело выходили на философию, без привлечения которой процедура сведения математики к логике выглядела незавершенной и сами логическ
Критика интуиционистами основ логицизма и проблема бесконечности
Новая ориентация в обоснованиях, впервые заявившая о себе в 1907 г., представляла реакцию на попытки придать математике чисто логическое истолкование. Интуиционисты (Я. Брауэр, Г. В
Интуитивистская альтернатива
Все беды обоснования интуиционизм видит не собственно в логике (в несовершенстве ее аппарата), а в самой математике и именно в неточном использовании ее понятий, прежде всего – поня
Ограниченность интуиционизма
Логико-математические идеи интуиционистов тесно переплетены с известными философскими установками, которые выдают их во многом односторонне-субъективное происхождение.
Поск
Конструктивная ветвь
Попытки спасти интуиционистские идеи и начинания, развить далее оригинальные и продуктивные мысли предприняли сторонники конструктивного течения. Продолжая традицию интуиционистског
Программное заявление
Кризисные явления в математике, заставившие обратиться к ее обоснованиям, и трудности, вставшие перед логицистами, породили наряду с интуиционизмом еще одно течение – формализм. Пер
Концепция абсолютного доказательства и метод формализованной аксиоматики
Чтобы доказать непротиворечивость, Гильберт использует метод так называемого абсолютного доказательства, который находит реализацию в идее формализованной аксиоматики.
Вооб
Результаты Геделя
В 1931 г. 25-летний австрийский математик Венского университета Курт Гедель (позднее, после аншлюса, эмигрировавший в США) доказал теоремы, из которых следовало, что программа Гильб
Это предложение недоказуемо.
Допустим, что данное предложение ложно. То есть неверно, что оно недоказуемо. Следовательно, оно доказуемо. Притом оно истинно, поскольку, допустив, что оно ложно, мы получим противоречие. Но от эт
Итоги исканий
Анализ рассмотренных основных направлений философского обоснования математики показывает, что ни одно из них не принесло удовлетворяющего решения. Вместе с тем каждое, внося что-то
Новые подходы
Были отмечены результаты, полученные ведущими течениями в области обоснований математики. Но это, так сказать, содержательный аспект исканий. Вместе с ним наметилось и другое.
Обоснование в свете эволюции математики
Обзор классических, если можно так сказать, направлений (логицизм, интуиционизм и конструктивизм, формалистское течение) и современных подходов (аксиоматический и теоретико-категори
Истина в формализованных языках
Современные подходы к проблеме истины наряду с традиционной гносеологической истиной (соответствие объекту вне нас) выделяют также онтологическую (истина бытия, то есть его изначаль
Критерий выводимости и понятие корректности
Являясь совокупностью формализованных языков, математика представляет собой область, в которой реализуется разработанное А. Тарским понятие истины. Напомним, что это так называемый
Математика и методы схоластики
В характере математического строя мышления и в принципах схоластических рассуждений есть немало общих черт. Мы уже отмечали ранее их тематические точки касаний. Здесь хотелось бы ос
Математическое доказательство
Теория доказательства разработана в логике и включает три структурных компонента: тезис (то, что предполагается доказать), аргументы (совокупность фактов, общепринятых понятий, зако
Принципы построения дедуктивных теорий
Дедуктивный путь рассуждения как выведение отличается от индуктивного как наведения (от лат. inductio) рядом особенностей.
Дедуктивный вывод является принудительным, его пр
Критерии «внешнего» оправдания
Как и любая наука, математика руководствуется определенными критериями принятия оперируемыми высказываниями в качестве истинных. Необходимо говорить о внутренних и внешних оправдани
Вторичные показатели истины
В силу особой природы математики, где эмпирические критерии истины не участвуют в поиске, их оправдательная функция реализуется, как мы пытались это осветить в последнем параграфе п
Критерии «внутреннего совершенства». Эвристика
Далее мы хотели бы рассмотреть эвристические возможности вторичных показателей истины. Эвристика (от греч. «эврика» – Я нашел) – наука о вспомогательных, дополнительных к основным (
Quot;x(Sx®Px) ® (Px®Sx).
Однако, как нами уже отмечено, подобное умозаключение некорректно. Проиллюстрируем это более прозрачным примером: на основании того, что, скажем, все космонавты спортсмены, вовсе не следует, что вс
Базисные определения. Расстановка позиций
Творческая деятельность математика осуществляется в режиме логического и интуитивного поиска, которые сочетаются на основе принципа дополнительности в боровском смысле.
По
Понятие формализации
Под формализацией понимается специфический прием исследования, назначение которого состоит в том, чтобы уточнять знание посредством выявления его формы (способа организации, структу
Эвристика. Формализация как прием получения нового знания
Наличие глубокого единства формы и содержания, фактов перехода одного в другое и становится основанием использовать процедуру формализации как прием, как метод выявления нового соде
Границы и издержки формализации
Рекомендуя метод формализации к методологическому использованию, стоит отметить некоторые негативные сопровождения, характеризующие этот прием.
Прежде всего, напомним о рез
Проблемная ситуация и алгоритм метода
Обратимся еще к одному методу, широко применяемому в математическом творчестве. Более того, своими корнями он уходит в математику, появившись именно в ней и находя в ней наиболее ад
Преимущества общего подхода
Почему же разработка общих методов оказывается столь эффективной?
Вначале уточним, что имеют в виду, говоря об общем в науке, познании. Общее – не просто свойство, присущее
Эвристика
Метод обобщающей переформулировки проблемы может выступать эффективным эвристически-вспомогательным орудием математического поиска, подспорьем в научных поисках. В трудах математико
В СОЦИАЛЬНОМ ИЗМЕРЕНИИ
Математика занимает особое место в системе общественных ценностей.
По существу она во все времена определяла лицо науки, ибо, как заметил А. Пуанкаре, окончательная идеальн
МАТЕМАТИКА: СПЕЦИФИКА, МЕСТО В СТРУКТУРЕ НАУКИ
Глава 1. Предметная область философии математики 5
1. Определение философии. Разброс значений 5
2. Функции философии в их отношении к математ
ФИЛОСОФСКИЕ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
Глава V. Проблемы обоснования математики и ее решение логицизмом 72
1. Понятие обоснования математики 72
2. Программа логицизма 76
3
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИСТИНА: СТАТУС, СТРУКТУРА, КРИТЕРИАЛЬНЫЕ ОРИЕНТИРЫ
Глава IX. Специфика истины в математике 140
1. Истина в формализованных языках 140
2. Критерий выводимости и понятие корректности. 145
МЕТОДОЛОГИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПОИСКА
Глава XII. Интуиция и логика 190
1. Базисные определения. Расстановка позиций 190
2. Этапы творческого процесса 193
а) Постановка пр
Новости и инфо для студентов