рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Проблема свободы математического творчества

Проблема свободы математического творчества - раздел Философия, ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ   Определив Математику Как Науку Об Отношениях, Немедленно Стал...

 

Определив математику как науку об отношениях, немедленно сталкиваемся с вопросом, а чем или, может быть, кем задаются отношения?

В естествознании отношения, то есть законы (как общая, повторяющаяся, необходимая связь) задает природа через свойства вещей. К примеру, закон тяготения

 

F=γ m1m2/r2

 

есть описание того, что если вещи обладают массой, они вступают в отношение, которое измеряется как произведение масс, деленное на квадрат расстояния между ними.

_______________

1 Куайн У.В. Основание математики // Математика в современном мире. М.: Мир, 1967. С. 100.


 

Но математика отвлекается от свойств вещей, значит, они уже не могут задавать отношения. Надо учесть, что математика имеет дело с особыми отношениями. Она выделяет не конкретные, физические, биологические и т.д. отношения. Подобно тому, как математическое понятие фиксирует свойство свойств, так и отношение здесь есть отношение отношений, то есть то общее, чем характеризуются связи любой природы, то, что лежит за конкретными связями. Это структуры типа «равенство», «порядок», «больше», «меньше» и т.п.

Очевидно, что выявить их много труднее, чем те, что наблюдаемы в конкретных науках. Потому математик должен обладать готовностью к более глубокой абстракции, к отвлечениям от многообразия качественных видов отношений. Иными словами, математик должен оказаться свободным, во всяком случае многим свободнее в сравнении с учеными других отраслей знания.

Характеризуя отличие математики от физики (очевидно, как и от естествознания вообще), известный английский астроном прошлого века А. Эддингтон писал: «Чистый математик имеет дело с идеальными величинами, обладающими по определению теми свойствами, которые он сам произвольно приписывает. Но в экспериментальной науке мы должны не приписывать, а открывать отдельные свойства»1.

Деятельность является свободной, если она не ограничена внешними для мыслящего факторами, развертывается на основе внутреннего мысли содержания. Как настаивает отечественный психолог, ныне профессор Пенсильванского университета США В. Зинченко, свободное действие «подчинено собственной предметной логике, порождаемой в самом действии или самим действием»2.

Математик, оперируя объектами и их отношениями, утратившими прямую связь с объектами и отношениями природного мира, представленными как свойства свойств и отношения отношений, как раз и обретает необходимые условия для свободы творчества. В этом творцы математики видят ее определяющее отличие. «Сущность математики, – пишет Г. Кантор, – именно в свободе». Или, по признанию другого крупного математика XX в. А. Гейтинга, «чистая математика – сводное творение разума». А. Пуанкаре вообще считает, что «математика не может развиваться успешно, если ее не освободить от тирании внешней среды».

______________

1 Эддингтон А. Теория относительности. Л.; М, 1934. С. 11.

2 Зинченко В.П. Психологическая теория деятельности («воспоминания о будущем») // Вопросы философии. 2001. № 2. С. 78.


 

Действительно, физик, химик, как и любой естествоиспытатель, создавая свои абстракции, подсматривает основания у природы, «прослушивая» и «диагностируя» ее организм. Но разве математик вводит объекты теории и устанавливает их отношения таким же образом? Математика идет по иному пути. На высших этапах, каковыми особенно являются современные разделы, ее творцы в рамках процедуры собственно математического построения уже не обращаются каждый раз за советами к реальности, соотнося с нею свои утверждения. Более того, ситуация порой такова, что, наоборот, необходимо отвлечься от наличных данных, которые способны помешать освободиться от диктата эмпирического факта.

Характерна обстановка при создании неевклидовых геометрий. К идее новой концепции пространства вышел французский математик конца XVIII – начала XIX в. А. Лежандр, который, доказав около 40 теорем необычной геометрии, отказался от дальнейших исследований, поскольку они слишком противоречили современному для того времени пониманию. Немногим позднее, выясняя, какая геометрия истинна в нашем окружении, К. Гаусс измеряет сумму углов треугольника, образованного им по вершинам гор Большой Гаген, Брокен и Инзельберг в окрестностях Гетинберга. Н. Лобачевский с той же целью строит еще более гигантский треугольник по вершинам двух звезд, взяв третьей точкой планету Земля.

Ни Гаусс, ни Лобачевский отступлений от эвклидовой геометрии не обнаружили. Какой вывод они должны были бы сделать? Очевидно, тот, что никакая иная теория пространства, кроме Эвк-лида, невозможна. Поначалу так и произошло. Лобачевский заявляет, что положения геометрии Эвклида надо почитать как строго доказанные и что было бы напрасным искать независимо от опыта доказательства такой истины, которая еще не содержится сама собой в понятиях о вещах. Гаусс тоже не без колебаний отказался от публикации результатов своих исследований по неэвклидовой геометрии (их нашли в рукописях), опасаясь, как он заявил, «криков беотийцев» (невежественных, несведущих людей).

Из этих фактов хорошо видно, насколько опытный материал может препятствовать движению мысли и насколько он действительно способен ограничивать свободу математического поиска, заводя его в тупик. Характерно в связи с этим высказывание Д. Гильберта. Говоря о принципах аксиоматических построений геометрии, он замечает: «Представим себе три системы вещей, которые мы назовем точками, прямыми и плоскостями. Что такое эти «вещи»? Мы этого не знаем, и нам незачем это знать...» И далее


 

особенно важно для контекста нашего рассуждения: «Было бы прискорбно если бы мы пытались это знать»1. То есть в данном случае знание свойств исходных объектов мешало бы творческим поискам, и от него надо освободиться.

Таким образом, свобода выступает не только важным условием успешной деятельности в математике, но и определяющей характеристикой этой науки. Вместе с тем математика – самая строгая и точная область знания, наиболее дисциплинированная, исключающая вольности. Как говорил в свое время М. Ломоносов, «математика уже одним тем хороша, что наводит порядок в наших мыслях». Но как это совместимо: высшая точность и свобода?

Математик свободен в выборе аксиом. Однако когда выбор состоялся, исходные положения теории приняты, свобода кончается. Дальнейшие операции уже не могут быть произвольными, они детерминированы жесткими правилами избранной системы, в том числе и для ее создателя. Ибо, по выражению современного американского математика М. Клайна, «тот, кто пользуется привилегией свободы, должен нести и бремя ответственности»2. Эту мысль хорошо иллюстрирует признание А. Эйнштейна: «Свобода выбора представляет огромное несчастье для теоретика, и она настолько меня обеспокоила, что я поставил себе целью найти формальный принцип, ограничивающий ее»3. Речь идет о физических запретах, которые и выступают ограничениями свободы.

Отметим и еще одно обстоятельство. Собственно о свободе выбора приходится говорить лишь относительно творцов математических систем, что касается всех остальных, общающихся с этой наукой, то на их долю остается лишь ответственность, обязывающая строго следовать правилам математического языка.

Вместе с тем и свобода математика при выборе аксиоматики не безгранична. Здесь также действуют определенные ограничители. А. Пуанкаре, характеризуя математическую теорию как «продукт свободной деятельности нашего ума, который в этой области не знает препятствий» и который «может утверждать так, как он здесь предписывает», тем не менее заявляет далее следующее: «Однако, произвольны ли эти предписания? Нет, иначе они были бы бесплодны»4.

Чем же именно детерминирована свобода математика, что ограничивает его выбор?

________________

1 Гильберт Д. Основания геометрии. М.; Л., 1948. С. 56.

2 Клайн М. Математика. Утрата определенности. М: Мир, 1984. С. 335.

3 Цит. по: Вопросы истории естествознания и техники. 1981. № 1. С. 58.

4 Пуанкаре А. О науке. М.: Наука, 1983. С. 8.


 

Прежде всего – это логика развития его собственной науки. Новые концепции (и не только, конечно, в математике) не могут появиться в отсутствие определенного теоретического базиса. Неэвклидова геометрия стала возможной только на основе предшествующей теории пространства. Математический поиск зависим и от уровня развития всей культуры, на него оказывает влияние социокультурный фон эпохи. Вновь сошлемся на ситуацию вокруг создания неэвклидовых геометрий. То, что Лежандр отказался от продолжения исследований новой геометрии, Гаусс – от публикации ее идей, в решающей мере зависело именно от общего состояния культуры, а не только (может быть, даже и не столько) от положения дел в самой математике.

Наконец, несмотря на особенность математического знания, достаточно далеко отстоящего от эмпирии, все же и математика не может не испытывать, пусть очень слабые, весьма опосредованные импульсы, идущие от практики жизненных реалий, в которые в конечном итоге упирается вся наука, в том числе и математика.

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ... А К Сухотин...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Проблема свободы математического творчества

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Определение философии. Разброс значений
  Существует масса определений философии: от попыток, отлучающих ее от корпуса наук, до признания философии наукой наук. Распространено убеждение (и не только по причине пред

Функции философии в их отношении к математике
  Обычно выделяют два функциональных назначения философии – мировоззренческое и методологическое. Под мировоззрением понимается взгляд на мир и определение места человека в мире.

Философия в математике. Констатации и оценки
  Тезис о взаимных влияниях математики и философии хотелось бы подкрепить высказываниями самих ученых. Еще Платон считал математику необходимым введением в философию. Недаром

Математический объект как абстракция от абстракции
  Нередко особенность математического знания видят в том, что оно оперирует понятиями высокой степени абстрактности, благодаря чему его объекты носят очень общий характер, выражая сам

Математика – наука об отношениях
  Лишая свои объекты каких-либо вещественных характеристик, абстрагируясь от любых материальных, природных свойств, математика все же что-то им оставляет, иначе она не могла бы соотно

Знак и значение
  Специфика математики, ее объектов остро задевает вопрос о математических знаках. Что они обозначают, что за ними скрывается? Мы выходим к общей проблеме – знак и значение, как они п

Проблема существования математического объекта
  Этот вопрос закономерен в силу специфики математики, не являющейся описанием вещей. Венгерский математик А. Реньи ставит проблему так. Врач изучает болезни, астроном – звезды и т.п.

Концепция языковых каркасов Карнапа и два языка математики
  Любая научная теория оперирует, как уже отмечалось, не непосредственно объектами природы, а их концептуальными отображениями в понятиях. Последние находятся поэтому в двойном подчин

Математика и объективный мир. Пифагорейский синдром
  Выключение философского аспекта при решении собственно математических проблем не означает отказа вообще обсуждать философские темы математики, ее языка. Надо только не привносить од

Принцип дихотомии знания
  Научное знание разбивают по способу установления истины на два взаимоисключающих класса – по принципу дихотомического деления (от греч. dicha и tome – сечение на две части), когда о

Математика как язык науки
  Представляя собой тип формального знания, математика занимает особое место в отношении наук фактуального профиля. Она оказывается хорошо приспособленной для количественной обработки

Математическая методология
  Место математики в системе наук определяется также тем, что она' играет для других дисциплин и роль методологии. И не только в отношении естествознания, но и для наук социального, г

Математика – источник представлений и концепций в естествознании
  Еще одно методологическое назначение математики состоит в том, что она вырабатывает для остальной науки, прежде всего для естествознания, структуры мысли, формулы, на основе которых

Понятие обоснования математики
  Под обоснованием математики понимают демонстрацию возможности существования объектов ее теории и возможной истинности предложений об этих объектах. Иначе говоря, это вопрос о соотно

Программа логицизма
  Лидеры логицизма (Г. Фреге, Б. Рассел и др.) видели основания математики в логике. Вообще, возможны четыре типа соотношения математики и логики: 1) математика – часть логики; 2) лог

Этап арифметизации.
По существу, он был завершен до появления программы логицизма, однако, как выяснилось позднее, работал на нее. В известной мере это относится и к этапу аксиоматизации арифметики, хотя проводивший в

Второй этап – аксиоматизация арифметики.
Далее встает задача представить в минимуме понятий сам натуральный ряд, то есть вывести (указав правила перехода) из исходных, простейших элементов всю совокупность целых чисел. Аксиоматизацию начи

Причина неудач
  Выполнение замысла логистов близилось к концу: оставалось лишь выровнять шероховатости, чем и занялся Г. Фреге, который, как пишут авторы известной книги «Основания теории множеств»

Философская оценка
  В реализации логицистской программы ее творцы то и дело выходили на философию, без привлечения которой процедура сведения математики к логике выглядела незавершенной и сами логическ

Критика интуиционистами основ логицизма и проблема бесконечности
  Новая ориентация в обоснованиях, впервые заявившая о себе в 1907 г., представляла реакцию на попытки придать математике чисто логическое истолкование. Интуиционисты (Я. Брауэр, Г. В

Интуитивистская альтернатива
  Все беды обоснования интуиционизм видит не собственно в логике (в несовершенстве ее аппарата), а в самой математике и именно в неточном использовании ее понятий, прежде всего – поня

Ограниченность интуиционизма
  Логико-математические идеи интуиционистов тесно переплетены с известными философскими установками, которые выдают их во многом односторонне-субъективное происхождение. Поск

Конструктивная ветвь
  Попытки спасти интуиционистские идеи и начинания, развить далее оригинальные и продуктивные мысли предприняли сторонники конструктивного течения. Продолжая традицию интуиционистског

Программное заявление
  Кризисные явления в математике, заставившие обратиться к ее обоснованиям, и трудности, вставшие перед логицистами, породили наряду с интуиционизмом еще одно течение – формализм. Пер

Концепция абсолютного доказательства и метод формализованной аксиоматики
  Чтобы доказать непротиворечивость, Гильберт использует метод так называемого абсолютного доказательства, который находит реализацию в идее формализованной аксиоматики. Вооб

Результаты Геделя
  В 1931 г. 25-летний австрийский математик Венского университета Курт Гедель (позднее, после аншлюса, эмигрировавший в США) доказал теоремы, из которых следовало, что программа Гильб

Это предложение недоказуемо.
Допустим, что данное предложение ложно. То есть неверно, что оно недоказуемо. Следовательно, оно доказуемо. Притом оно истинно, поскольку, допустив, что оно ложно, мы получим противоречие. Но от эт

Итоги исканий
  Анализ рассмотренных основных направлений философского обоснования математики показывает, что ни одно из них не принесло удовлетворяющего решения. Вместе с тем каждое, внося что-то

Новые подходы
  Были отмечены результаты, полученные ведущими течениями в области обоснований математики. Но это, так сказать, содержательный аспект исканий. Вместе с ним наметилось и другое.

Обоснование в свете эволюции математики
  Обзор классических, если можно так сказать, направлений (логицизм, интуиционизм и конструктивизм, формалистское течение) и современных подходов (аксиоматический и теоретико-категори

Истина в формализованных языках
  Современные подходы к проблеме истины наряду с традиционной гносеологической истиной (соответствие объекту вне нас) выделяют также онтологическую (истина бытия, то есть его изначаль

Критерий выводимости и понятие корректности
  Являясь совокупностью формализованных языков, математика представляет собой область, в которой реализуется разработанное А. Тарским понятие истины. Напомним, что это так называемый

Математика и методы схоластики
  В характере математического строя мышления и в принципах схоластических рассуждений есть немало общих черт. Мы уже отмечали ранее их тематические точки касаний. Здесь хотелось бы ос

Математическое доказательство
  Теория доказательства разработана в логике и включает три структурных компонента: тезис (то, что предполагается доказать), аргументы (совокупность фактов, общепринятых понятий, зако

Принципы построения дедуктивных теорий
  Дедуктивный путь рассуждения как выведение отличается от индуктивного как наведения (от лат. inductio) рядом особенностей. Дедуктивный вывод является принудительным, его пр

Критерии «внешнего» оправдания
  Как и любая наука, математика руководствуется определенными критериями принятия оперируемыми высказываниями в качестве истинных. Необходимо говорить о внутренних и внешних оправдани

Вторичные показатели истины
  В силу особой природы математики, где эмпирические критерии истины не участвуют в поиске, их оправдательная функция реализуется, как мы пытались это осветить в последнем параграфе п

Критерии «внутреннего совершенства». Эвристика
  Далее мы хотели бы рассмотреть эвристические возможности вторичных показателей истины. Эвристика (от греч. «эврика» – Я нашел) – наука о вспомогательных, дополнительных к основным (

Quot;x(Sx®Px) ® (Px®Sx).
Однако, как нами уже отмечено, подобное умозаключение некорректно. Проиллюстрируем это более прозрачным примером: на основании того, что, скажем, все космонавты спортсмены, вовсе не следует, что вс

Базисные определения. Расстановка позиций
  Творческая деятельность математика осуществляется в режиме логического и интуитивного поиска, которые сочетаются на основе принципа дополнительности в боровском смысле. По

Понятие формализации
  Под формализацией понимается специфический прием исследования, назначение которого состоит в том, чтобы уточнять знание посредством выявления его формы (способа организации, структу

Эвристика. Формализация как прием получения нового знания
  Наличие глубокого единства формы и содержания, фактов перехода одного в другое и становится основанием использовать процедуру формализации как прием, как метод выявления нового соде

Границы и издержки формализации
  Рекомендуя метод формализации к методологическому использованию, стоит отметить некоторые негативные сопровождения, характеризующие этот прием. Прежде всего, напомним о рез

Проблемная ситуация и алгоритм метода
  Обратимся еще к одному методу, широко применяемому в математическом творчестве. Более того, своими корнями он уходит в математику, появившись именно в ней и находя в ней наиболее ад

Преимущества общего подхода
  Почему же разработка общих методов оказывается столь эффективной? Вначале уточним, что имеют в виду, говоря об общем в науке, познании. Общее – не просто свойство, присущее

Эвристика
  Метод обобщающей переформулировки проблемы может выступать эффективным эвристически-вспомогательным орудием математического поиска, подспорьем в научных поисках. В трудах математико

В СОЦИАЛЬНОМ ИЗМЕРЕНИИ
  Математика занимает особое место в системе общественных ценностей. По существу она во все времена определяла лицо науки, ибо, как заметил А. Пуанкаре, окончательная идеальн

МАТЕМАТИКА: СПЕЦИФИКА, МЕСТО В СТРУКТУРЕ НАУКИ
Глава 1. Предметная область философии математики 5 1. Определение философии. Разброс значений 5 2. Функции философии в их отношении к математ

ФИЛОСОФСКИЕ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
Глава V. Проблемы обоснования математики и ее решение логицизмом 72 1. Понятие обоснования математики 72 2. Программа логицизма 76 3

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИСТИНА: СТАТУС, СТРУКТУРА, КРИТЕРИАЛЬНЫЕ ОРИЕНТИРЫ
Глава IX. Специфика истины в математике 140 1. Истина в формализованных языках 140 2. Критерий выводимости и понятие корректности. 145

МЕТОДОЛОГИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПОИСКА
Глава XII. Интуиция и логика 190 1. Базисные определения. Расстановка позиций 190 2. Этапы творческого процесса 193 а) Постановка пр

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги