рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Проблема существования математического объекта

Проблема существования математического объекта - раздел Философия, ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ   Этот Вопрос Закономерен В Силу Специфики Математики, Не Являю...

 

Этот вопрос закономерен в силу специфики математики, не являющейся описанием вещей. Венгерский математик А. Реньи ставит проблему так. Врач изучает болезни, астроном – звезды и т.п. Повернем дело следующим образом: существовали ли бы болезни, не будь врачей, или звезды, не имейся астрономов? Очевидно, существовали бы. А теперь, продолжает Реньи, спросим себя, а


 

существовали бы числа, если бы не было математиков? Тут мы явно затрудняемся с ответом1.

Действительно, здесь нет однозначного решения. С точки зрения бихевиористского подхода хотя бы для части математических символов найти выход можно, приняв значением знаков соответствующие операции. Но объяснить подобным образом все обозначения, те же числа, явно не удается. Можно было бы остановиться на смысловой концепции значения, взяв в качестве последнего знания, которые представлены знаком. Однако чисто смысловая позиция тоже ограничена, поскольку, как мы отмечали, она не отсылает к предмету, который должен находиться за знаком. (Поэтому в семиотике и принимается объединенная предметно-смысловая концепция значения как наиболее адекватная.) Все это вновь и вновь вызывает дискуссии о том, как существуют объекты математики. Наверное, есть правда в словах М. Борна, когда он пишет, что если в физике символ указывает на определенную реальность «по ту сторону повседневного опыта», то в математике «символы – самоцель»2! То есть это выдает автонимность математических знаков, по крайне мере знаков чисел. Но не все объяснимо автонимностью. Это лишь один из аспектов их функционирования.

Проблемный вопрос, как существует математический объект, представляемый знаком, вернее, где он существует?

Говоря о местонахождении математических сущностей – чисел, функций и т.п., Л. Витгенштейн рассуждает так. Если в бытии, то где именно? Если же в сознании, то в чьем конкретно: коллективном или индивидуальном? Допустим, в коллективном. Но что представляет собой коллективное сознание? Если в индивидуальном, то как объяснить, что различные индивидуальные сознания действуют в этом вопросе согласованно, так, что теорема, где бы она ни была доказана, окажется одной и той же теоремой?3

По этой проблеме традиционно враждуют две основные линии – реализм и номинализм. Одни математики (А. Черч, К. Гедель) считают, что числа существуют так же реально, как обычные вещи, и мы обращаемся с ними наподобие того, что делаем с предметами или того, как поступаем с людьми, встречая и провожая их.

________________

1 Реньи А. Диалоги о математике. М.: Мир, 1969. С. 34.

2 Борн М. Моя жизнь и взгляды. М.: Прогресс, 1973. С. 115.

3 Подробнее о позиции Л. Витгенштейна см.: Успенский В.А. Витгенштейн и основания математики // Вопросы философии. 1998. № 5. С. 86.


 

Французский математик 2-й половины XIX в. Ш. Эрмит пишет, например: «Математические объекты существуют вне нас в силу той же необходимости, как и объекты реального мира, которые мы узнаем или открываем и изучаем точно так же, как делают физики, химики, зоологи»1.

Эта позиция и была обозначена термином «реализм» в соответствии с одноименным философским понятием, ведущим начало еще от древних греков и связанных с именем Платона (V-IV вв. до н.э.), имея другое распространенное название «платонизм». По учению Платона, сущность вещей заключена в универсалиях, идеальных образованиях, существующих до и независимо от действительных предметов, которые есть лишь бледные копии реалий, временные и преходящие. Душа каждого индивидуума, пребывавшая некогда в мире идеальных сущностей и будучи затем воплощенной в конкретном человеке, вспоминает об этом совершенном мире, что и составляет суть процесса познания. Окружающий нас мир есть своего рода пещера, «эпистемическая пещера» (от греч. «эпистема» – знание), как ее назвал Платон, и мы ее пленники. Настоящий мир за ее пределами, а к нам приходят только его отблески, подобно тому, как мы, сидя, например, в яме, можем наблюдать тени от движущихся снаружи фигур, сосудов, которые они проносят и т.п. Хорошая иллюстрация платоновскому пониманию этих миров у А. Блока:

 

Милый друг, иль ты не видишь,

Что все видимое нами,

Только отблеск, только тени,

От незримого очами!

 

Милый друг, иль ты не слышишь,

Что житейский шум трескучий,

Только отзвук искаженный

Торжествующих созвучий!

 

В более ослабленной версии реализм развивался школой Аристотеля (Теофраст, перипатетики – IV—III вв. до н.э.), позднее – Фомой Аквинским. Общее пребывает в вещах, но сосредоточено в них локально. По мнению Фомы Аквината (XIII в.), общее существует до вещей, в божественном разуме как индивидуальные прооб-

______________

1 Цит. по: Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. М.: Наука, 1978. С. 315.


разы индивидуальных предметов; оно существует также и в вещах, ибо имманентно им; общее существует и после вещей, в человеческом разуме в виде понятий, полученных путем абстрагирования от отдельных вещей.

С точки зрения философской оценки это объективный идеализм, принимающий природу порождением некой идеи. Большинство математиков, говоря о статусе чисел и других математических объектов, считают их реально сущими. Но почему? Академик А. Колмогоров объясняет это тем, что так удобнее: уровень математической абстракции понижается до нулевого, то есть до уровня вещей, хотя ясно, что это не вещи. «Математики привыкли, – пишет А. Колмогоров, – обращаться с числами, функциями, множествами так, как будто бы это были вещи, подобные материальным»1.

Другое направление (Н. Гудмэн, В. Квайн) придерживается той установки, что в мире не существует ни классов, ни множеств и чисел как таковых в качестве реальных объектов, ибо существует только то, говорят они, что существует, то есть имеет пространственно-временную координату. Поэтому реальны лишь отдельные вещи и их имена. Отсюда и название этого течения — номинализм (от лат. nomen – имя). Существовать, в понимании, например, Квайна, – значит быть значением квантифицированной переменной, то есть принимать одно из значений, которые пробегает подкванторный знак при подстановке вместо последнего имени конкретного объекта.

В плане практического применения в математических операциях номинализм крайне неудобен, поскольку сторонники этого направления используют вместо привычных теоретико-множественных формулировок иные выражения. В частности, отношение элемента и множества заменяется у них отношением части и целого, для чего вводится понятие «частица» как обозначение самого малого в соответствующих классах (целом), а затем производится сравнение множеств на предмет выяснения их отношений по критериям «больше», «меньше», «равно» и т. п.2

Не принимая числа в качестве классов, номиналисты вынуждены каждый раз производить с числом реинтерпретацию, то есть

______________

1 Колмогоров А. Современные споры о природе математики // Научное слово. 1929. №6. С. 48.

2 Подробный анализ номиналистского языка см.: Генкин Л. Номиналистский анализ математического языка // Математическая логика и ее приложения. М.: Мир, 1965. С. 216-223.


 

приводить его в нормальную форму, а это громоздко и сложно. Скажем, предложение «быть на единицу больше» трансформируется в очень неудобное выражение: «x больше, чем y, если и только если x отлично от y, и x принадлежит всем множествам, содержащим y, и все целые числа на единицу больше любого их члена»1. Переинтерпретация настолько сложна, что нередко конкурируют несколько вариантов, а в иных случаях она вообще невозможна, и некоторые разделы математики оказываются нереинтерпретированными. Потому надо либо разработать соответствующий язык (что маловероятно), либо подвергнуть эти разделы остракизму.

Вместе с тем, с философской точки зрения, номинализм более приемлем, чем реализм, так как опирается на идеи материализма, хотя это, конечно, наивный, непоследовательный его вариант, олицетворяющий скорее даже тенденции материализма, поскольку отрицает объективность общего в качестве свойства, присущего отдельным вещам. В этом отношении ближе к научному пониманию концептуализм, представляющий умеренный номинализм. Так, Г. Лейбниц, разделяющий этот взгляд, понимает проблему существования общего следующим образом. Допустим, перед нами стадо овец, состоящее из отдельных его голов: a, b, c, d. Следовательно, мы имеем объекты a, b, c, d и еще объект F (стадо). Но ведь стадо разбрелось окрест, и что осталось? Одни конкретные овцы. Таким образом, общее – это не что иное, как наши понятия, концепты ума. Они существуют наряду с именами индивидуальных предметов, но также лишь в качестве имен.

В результате мы имеем вполне противоречивую ситуацию. С одной стороны, реализм, удовлетворяющий потребностям математики, но философски неприемлемый. С другой стороны, номинализм, очень неудобный для использования в математическом применении, но философски более верный. Характеризуя указанную обстановку, польские логики прошлого столетия Е. Слупецкий и Л. Борковский пишут: «Номинализм вынужден отказаться от многих результатов современной логики и математики, где существенным образом используются переменные высших порядков и кванторы, связывающие эти переменные». Платонизм не сталкивается с подобными трудностями. Однако он «вызывает возражения философского характера, как направ-

_____________

1 Цит. по: Френкель А., Бар-Халлел И. Основания теории множеств. М.: Мир, 1966. С. 400.


 

ление, признающее существование предметов, отличных от предметов конкретных» 1.

Итак, обнаруживается противоречие. Однако не должно же быть так, что философски верная позиция оказывалась ошибочной в ее математическом применении. Представляется, что выход из этого противостояния на пути обращения к концепции двух языков науки, развиваемой немецким логиком и философом XX в., работавшим позднее в Америке, Р. Карнапом.

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ... А К Сухотин...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Проблема существования математического объекта

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Определение философии. Разброс значений
  Существует масса определений философии: от попыток, отлучающих ее от корпуса наук, до признания философии наукой наук. Распространено убеждение (и не только по причине пред

Функции философии в их отношении к математике
  Обычно выделяют два функциональных назначения философии – мировоззренческое и методологическое. Под мировоззрением понимается взгляд на мир и определение места человека в мире.

Философия в математике. Констатации и оценки
  Тезис о взаимных влияниях математики и философии хотелось бы подкрепить высказываниями самих ученых. Еще Платон считал математику необходимым введением в философию. Недаром

Математический объект как абстракция от абстракции
  Нередко особенность математического знания видят в том, что оно оперирует понятиями высокой степени абстрактности, благодаря чему его объекты носят очень общий характер, выражая сам

Математика – наука об отношениях
  Лишая свои объекты каких-либо вещественных характеристик, абстрагируясь от любых материальных, природных свойств, математика все же что-то им оставляет, иначе она не могла бы соотно

Проблема свободы математического творчества
  Определив математику как науку об отношениях, немедленно сталкиваемся с вопросом, а чем или, может быть, кем задаются отношения? В естествознании отношения, то есть законы

Знак и значение
  Специфика математики, ее объектов остро задевает вопрос о математических знаках. Что они обозначают, что за ними скрывается? Мы выходим к общей проблеме – знак и значение, как они п

Концепция языковых каркасов Карнапа и два языка математики
  Любая научная теория оперирует, как уже отмечалось, не непосредственно объектами природы, а их концептуальными отображениями в понятиях. Последние находятся поэтому в двойном подчин

Математика и объективный мир. Пифагорейский синдром
  Выключение философского аспекта при решении собственно математических проблем не означает отказа вообще обсуждать философские темы математики, ее языка. Надо только не привносить од

Принцип дихотомии знания
  Научное знание разбивают по способу установления истины на два взаимоисключающих класса – по принципу дихотомического деления (от греч. dicha и tome – сечение на две части), когда о

Математика как язык науки
  Представляя собой тип формального знания, математика занимает особое место в отношении наук фактуального профиля. Она оказывается хорошо приспособленной для количественной обработки

Математическая методология
  Место математики в системе наук определяется также тем, что она' играет для других дисциплин и роль методологии. И не только в отношении естествознания, но и для наук социального, г

Математика – источник представлений и концепций в естествознании
  Еще одно методологическое назначение математики состоит в том, что она вырабатывает для остальной науки, прежде всего для естествознания, структуры мысли, формулы, на основе которых

Понятие обоснования математики
  Под обоснованием математики понимают демонстрацию возможности существования объектов ее теории и возможной истинности предложений об этих объектах. Иначе говоря, это вопрос о соотно

Программа логицизма
  Лидеры логицизма (Г. Фреге, Б. Рассел и др.) видели основания математики в логике. Вообще, возможны четыре типа соотношения математики и логики: 1) математика – часть логики; 2) лог

Этап арифметизации.
По существу, он был завершен до появления программы логицизма, однако, как выяснилось позднее, работал на нее. В известной мере это относится и к этапу аксиоматизации арифметики, хотя проводивший в

Второй этап – аксиоматизация арифметики.
Далее встает задача представить в минимуме понятий сам натуральный ряд, то есть вывести (указав правила перехода) из исходных, простейших элементов всю совокупность целых чисел. Аксиоматизацию начи

Причина неудач
  Выполнение замысла логистов близилось к концу: оставалось лишь выровнять шероховатости, чем и занялся Г. Фреге, который, как пишут авторы известной книги «Основания теории множеств»

Философская оценка
  В реализации логицистской программы ее творцы то и дело выходили на философию, без привлечения которой процедура сведения математики к логике выглядела незавершенной и сами логическ

Критика интуиционистами основ логицизма и проблема бесконечности
  Новая ориентация в обоснованиях, впервые заявившая о себе в 1907 г., представляла реакцию на попытки придать математике чисто логическое истолкование. Интуиционисты (Я. Брауэр, Г. В

Интуитивистская альтернатива
  Все беды обоснования интуиционизм видит не собственно в логике (в несовершенстве ее аппарата), а в самой математике и именно в неточном использовании ее понятий, прежде всего – поня

Ограниченность интуиционизма
  Логико-математические идеи интуиционистов тесно переплетены с известными философскими установками, которые выдают их во многом односторонне-субъективное происхождение. Поск

Конструктивная ветвь
  Попытки спасти интуиционистские идеи и начинания, развить далее оригинальные и продуктивные мысли предприняли сторонники конструктивного течения. Продолжая традицию интуиционистског

Программное заявление
  Кризисные явления в математике, заставившие обратиться к ее обоснованиям, и трудности, вставшие перед логицистами, породили наряду с интуиционизмом еще одно течение – формализм. Пер

Концепция абсолютного доказательства и метод формализованной аксиоматики
  Чтобы доказать непротиворечивость, Гильберт использует метод так называемого абсолютного доказательства, который находит реализацию в идее формализованной аксиоматики. Вооб

Результаты Геделя
  В 1931 г. 25-летний австрийский математик Венского университета Курт Гедель (позднее, после аншлюса, эмигрировавший в США) доказал теоремы, из которых следовало, что программа Гильб

Это предложение недоказуемо.
Допустим, что данное предложение ложно. То есть неверно, что оно недоказуемо. Следовательно, оно доказуемо. Притом оно истинно, поскольку, допустив, что оно ложно, мы получим противоречие. Но от эт

Итоги исканий
  Анализ рассмотренных основных направлений философского обоснования математики показывает, что ни одно из них не принесло удовлетворяющего решения. Вместе с тем каждое, внося что-то

Новые подходы
  Были отмечены результаты, полученные ведущими течениями в области обоснований математики. Но это, так сказать, содержательный аспект исканий. Вместе с ним наметилось и другое.

Обоснование в свете эволюции математики
  Обзор классических, если можно так сказать, направлений (логицизм, интуиционизм и конструктивизм, формалистское течение) и современных подходов (аксиоматический и теоретико-категори

Истина в формализованных языках
  Современные подходы к проблеме истины наряду с традиционной гносеологической истиной (соответствие объекту вне нас) выделяют также онтологическую (истина бытия, то есть его изначаль

Критерий выводимости и понятие корректности
  Являясь совокупностью формализованных языков, математика представляет собой область, в которой реализуется разработанное А. Тарским понятие истины. Напомним, что это так называемый

Математика и методы схоластики
  В характере математического строя мышления и в принципах схоластических рассуждений есть немало общих черт. Мы уже отмечали ранее их тематические точки касаний. Здесь хотелось бы ос

Математическое доказательство
  Теория доказательства разработана в логике и включает три структурных компонента: тезис (то, что предполагается доказать), аргументы (совокупность фактов, общепринятых понятий, зако

Принципы построения дедуктивных теорий
  Дедуктивный путь рассуждения как выведение отличается от индуктивного как наведения (от лат. inductio) рядом особенностей. Дедуктивный вывод является принудительным, его пр

Критерии «внешнего» оправдания
  Как и любая наука, математика руководствуется определенными критериями принятия оперируемыми высказываниями в качестве истинных. Необходимо говорить о внутренних и внешних оправдани

Вторичные показатели истины
  В силу особой природы математики, где эмпирические критерии истины не участвуют в поиске, их оправдательная функция реализуется, как мы пытались это осветить в последнем параграфе п

Критерии «внутреннего совершенства». Эвристика
  Далее мы хотели бы рассмотреть эвристические возможности вторичных показателей истины. Эвристика (от греч. «эврика» – Я нашел) – наука о вспомогательных, дополнительных к основным (

Quot;x(Sx®Px) ® (Px®Sx).
Однако, как нами уже отмечено, подобное умозаключение некорректно. Проиллюстрируем это более прозрачным примером: на основании того, что, скажем, все космонавты спортсмены, вовсе не следует, что вс

Базисные определения. Расстановка позиций
  Творческая деятельность математика осуществляется в режиме логического и интуитивного поиска, которые сочетаются на основе принципа дополнительности в боровском смысле. По

Понятие формализации
  Под формализацией понимается специфический прием исследования, назначение которого состоит в том, чтобы уточнять знание посредством выявления его формы (способа организации, структу

Эвристика. Формализация как прием получения нового знания
  Наличие глубокого единства формы и содержания, фактов перехода одного в другое и становится основанием использовать процедуру формализации как прием, как метод выявления нового соде

Границы и издержки формализации
  Рекомендуя метод формализации к методологическому использованию, стоит отметить некоторые негативные сопровождения, характеризующие этот прием. Прежде всего, напомним о рез

Проблемная ситуация и алгоритм метода
  Обратимся еще к одному методу, широко применяемому в математическом творчестве. Более того, своими корнями он уходит в математику, появившись именно в ней и находя в ней наиболее ад

Преимущества общего подхода
  Почему же разработка общих методов оказывается столь эффективной? Вначале уточним, что имеют в виду, говоря об общем в науке, познании. Общее – не просто свойство, присущее

Эвристика
  Метод обобщающей переформулировки проблемы может выступать эффективным эвристически-вспомогательным орудием математического поиска, подспорьем в научных поисках. В трудах математико

В СОЦИАЛЬНОМ ИЗМЕРЕНИИ
  Математика занимает особое место в системе общественных ценностей. По существу она во все времена определяла лицо науки, ибо, как заметил А. Пуанкаре, окончательная идеальн

МАТЕМАТИКА: СПЕЦИФИКА, МЕСТО В СТРУКТУРЕ НАУКИ
Глава 1. Предметная область философии математики 5 1. Определение философии. Разброс значений 5 2. Функции философии в их отношении к математ

ФИЛОСОФСКИЕ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
Глава V. Проблемы обоснования математики и ее решение логицизмом 72 1. Понятие обоснования математики 72 2. Программа логицизма 76 3

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИСТИНА: СТАТУС, СТРУКТУРА, КРИТЕРИАЛЬНЫЕ ОРИЕНТИРЫ
Глава IX. Специфика истины в математике 140 1. Истина в формализованных языках 140 2. Критерий выводимости и понятие корректности. 145

МЕТОДОЛОГИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПОИСКА
Глава XII. Интуиция и логика 190 1. Базисные определения. Расстановка позиций 190 2. Этапы творческого процесса 193 а) Постановка пр

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги