Концепция языковых каркасов Карнапа и два языка математики

 

Любая научная теория оперирует, как уже отмечалось, не непосредственно объектами природы, а их концептуальными отображениями в понятиях. Последние находятся поэтому в двойном подчинении: они соотносятся с внешним миром, который ими представлен теоретически, но вместе с тем понятия соотносятся и друг с другом, образуя определенную структуру знаний.

Учитывая эту двойственность отношений, Карнап и развивает наиболее четко и спрессованно в статье «Эмпиризм, семантика и онтология» концепцию языковых каркасов. Как элементы определенной теории ее знаки связаны отношениями, образуя систему внутритеоретических зависимостей – «внутренний» языковой каркас теории. Одновременно, будучи идеализациями известных явлений действительности, объекты теории детерминированы извне, что требует их описания уже на другом, «вещном» языке, который образует «внешний» языковой каркас. Карнап считает, что анализ «внутреннего» языка может быть проведен средствами логических и эмпирических методов исследования.

Однако что касается «внешнего» языка, вопросов реальности самой теоретической системы, то есть ее отношения к миру, то это уже не научная проблема, а псевдопроблема, не имеющая разрешения и относимая к разряду философских, или, по терминологии логического позитивизма, бессмысленных. Речь может идти лишь о простоте, эффективности этого «внешнего» языка, но не о его воз-

_____________

¹ Слупецкий Е., Борковский Л. Элементы математической логики и теории множеств. М.: Прогресс, 1965. С. 350.

 

можностях адекватно описывать внеязыковую реальность, поскольку высказывания подобного вида не верифицируемы.

Конечно, трудно согласиться с Карнапом в части отрицания им роли философских проблем языка, вопросов соотношения теории и внешнего мира, поскольку эти проблемы постоянно волнуют не только, а порой и не столько философов, сколько специалистов конкретных дисциплин. Но сама идея двух языков научной теории плодотворна, и ее следует принять, определенным образом откорректировав философскую позицию автора. Подобная коррекция была проведена в свое время известным отечественным логиком В. Смирновым¹, выводы которого и легли в основу нашего прочтения концепции языковых каркасов Карнапа в применении к математике, где эта тема обретает особую остроту в связи с отмеченным противоречием.

Математики уже давно обратили внимание на два аспекта отношений, которыми отмечены их построения. Так, выдающийся немецкий математик конца XIX – начала XX столетия Г. Кантор высказывает идею двух реальностей числового ряда: интерсубъективная (имманентная) и транссубъективная (транзиентная). В границах первой, говорит Кантор, целые числа действительны, реальны, поскольку «обособлены от других продуктов мысли и стоят к ним в определенных отношениях». Но числа реальны и как отображения процессов и отношений внешнего мира, противостоящего интеллекту, ибо «числовые классы (I), (II), (III) и т. д. – представители мощностей, имеющих место в телесной и духовной природе»².

То, что Кантор называет «имманентной реальностью», и есть, очевидно, внутреннее устройство математической теории, рассматриваемой им с точки зрения интерсубъективности, то есть в разрезе взаимоотношений компонентов, знаков («субъектов») данной теории, что отличает последнюю, вообще математику, от других систем мыслительной деятельности. С другой стороны, «транссубъективность» есть у Кантора выражение для обозначения отношения математической знаковой системы в целом к внешнему миру. Таким образом, мы можем интерпретировать рассуждения Кантора о двух реальностях как наметки идеи двух языков или, по Карнапу,

__________________

¹ См.: Смирнов В.А. О достоинствах и недостатках одной логико – философской концепции // Философия марксизма и неопозитивизм. М.: Изд-во МГУ, 1963. С. 364-378.

² Кантор Г. Основы общего учения о многообразиях // Новые идеи в математике. СПб. Образование. 1914. № 6. С. 30.

 

«языковых каркасов» – «внутреннего» и «внешнего». Позднее, уже в середине XX в., американский математик Ван Хао проводит достаточно четкое разделение между вопросами, которые можно решать с помощью «внутриматематического языка», и «внешними» проблемами, к которым он относит описание материальных вещей в пространстве и времени ¹. О необходимости считаться с двумя аспектами математики – ее внутренними потребностями как аппарата исчислений и определениями гносеологического статуса на предмет отношения к действительному миру – говорят и другие ученые (не только математики).

Приняв тезис о двух языках математики, «внутреннем» и «внешнем», вернемся к вопросу о природе математической реальности, проблеме ее существования и выражения средствами реализма и номинализма. Представляется, что эти термины имеют адекватное применение в математике лишь в отношении ее «внутреннего» языка, когда речь идет об операциях счисления. Здесь, действительно, математику удобно оперировать с числами и другими знаками как с чем-то реальным. Но при этом речь не должна идти о философском статусе символов. Это уже другая проблема, которая решается в рамках «внешнего» языкового каркаса. То есть реализм и номинализм есть область синтаксиса математической реальности, отношения знака к знаку, но не область семантики – отношения знака к обозначаемому. Когда, например, Г. Вейль говорит, «все числа из единицы, а единица из ничего» ² , то это предназначено «внутреннему» языку, с точки зрения которого фиксируется лишь отношение знака к знаку, но не имеет смысла выяснять семантику знаков, их отношение к миру вовне. Единица в качестве исходного символа задана правилами внутриматематического языка, аксиоматически, то есть без определения и объяснений, каково ее происхождение.

Вспоминается следующая аналогия. Английский физик О. Хевисайд применял в своих исследованиях достаточно своеобразный математический аппарат, который многие не воспринимали. Когда его упрекнули в использовании формальных приемов без ясного понимания их содержания и смысла знаков и формул, он возражал: «Должен ли я отказаться от хорошего обеда лишь потому, что не

________________

¹ Ван Хао. Процесс и существование в математике // Математическая логика и ее применения. М: Мир, 1965. С. 315-339.

² Вейль Г О философии математики. С. 26.

 

понимаю процессов пищеварения?» Это означает, что внутримате-матический язык автономен и независим от семантики знаков. Более того, попытка устанавливать значения знаков только мешала бы исследователю. Напомним замечание Д. Гильберта о том, что, принимая исходные объекты аксиоматической теории, мы не должны задавать вопросов об их значениях, было бы прискорбно, если бы мы что-то знали о них, кроме того, что содержится об этом в аксиомах.

Представляется, что математики, принимающие язык реализма (а их большинство), как раз и имеют в виду его внутриматематиче-ское использование. Тогда математические объекты рассматриваются действительно как реальные, наподобие материальных вещей, поскольку это удобно. Но при том речь не идет об их вещном существовании вне «стен» исчислений и операций. Это совсем другой вопрос. Как замечает современный французский математик Ферроль, «часто, особенно когда я нахожусь один, мне кажется, что я нахожусь в другом мире, числовые идеи кажутся мне живыми» ¹. «Математики-реалисты» вряд ли считают (за очень немногим исключением) числа вещественно-материальными образованиями наподобие тел. Только в операциях исчисления они таковы. Вопросов же их связей с внешним миром, тем более их статуса в качестве вещей этого мира здесь не встает, они обсуждаются в другом месте.

Ситуация напоминает ту, что имеет место в искусстве. Художник создает иллюзию действительности, где функционируют вымышленные герои, происходят виртуальные события, Но автор иллюзии настолько вживается в образы, что воспринимает их за обычную реальность. Он проживает вместе с персонажами происходящее и верит в то, что совершается: радуется, страдает, негодует... Как пишет А. Пушкин:

 

Порой опять гармонией упьюсь,

Над вымыслом слезами обольюсь.

 

По рассказам близких, О. Бальзак нередко бросал перо, возмущаясь поведением героев: «Какой мерзавец!» Однажды, прервав деловой разговор с адвокатом, неожиданно заявил: Все прекрасно, мой дорогой. Но обратимся снова к действительности. Поговорим о Евгении Гранде». Жизненный мир для писателя – нечто второстепенное, реален же мир описываемых им лиц, их судьбы и деяния.

__________________

¹ Ферроль. Письмо Ж. Адамару // Ж. Адамар. Психология процесса изображения в математике. М.: Советское радио, 1970. С. 58.

 

Польский математик Гуго Штейнгауз, проводя аналогии между творчеством математика и писателя, говорит о вере того и другого в реальность созданных ими продуктов мысли и подчеркивает, что эта вера математика в объекты его науки столь же оправданна, как и вера художника в своих героев. Равно и читатель разделяет чувства авторов произведений искусства, переживает, как если бы то происходило в настоящей жизни.

Вместе с тем читатель, конечно, отдает отчет в том, что это иллюзия. Иначе сказать, он, как и автор – писатель, одновременно верит и не верит тому, что изображается. Обращая внимание на эту двойственность, Ф. Шиллер высказал мысль об искусстве как формах чувственности (подобно тому, что говорят о философии как поставляющей, наряду, кстати, с математикой, формы мыслимо-сти). Согласно идее Шиллера, искусство формой уничтожает содержание. Имеется в виду следующее. Каждый человек проживает только одну «реальную» жизнь. Искусство позволяет ему прожить многие жизни, но, естественно, как виртуальные, каждая из которых оставляет след, вызывая определенные ощущения. И если человек, воспринимая содержание произведения, испытывает, скажем, радость, то одновременно с этим он переживает и свое переживание в том смысле, что осознает иллюзорность этой радости, поскольку она вызвана иллюзией, и потому к чувству радости примешивается ощущение легкой горечи, разочарования, ибо это ненастоящее. Так же, переживая страдания героя, читатель понимает их ирреальность, благодаря чему испытывает чувство примирения с содержанием. Так форма предъявления некоторого содержания уничтожает это содержание.

Математик, погружаясь в аксиоматические построения, проводя операции исчисления, принимает объекты своих творений как реальность наподобие той, что его окружает. В то же время он осознает, что это сотканная им реальность, непосредственно не имеющая места в мире действительных вещей и процессов. Полагаем, что именно подобным способом и можно умиротворить рассогласованность между математическим и философским подходами к объектам математики. Не надо смешивать языки. Говоря о реальном существовании чисел во внутриматематическом смысле, надо отсечь философское кредо платонистов о числах как реалиях, как идеальных образованиях, существующих вне и независимо от мысли наподобие вещей. То есть мы можем принять тезис о своего

 

рода математическом и философском реализме, соответственно – о математическом и философском номинализме.

В свете рассмотренной концепции языковых каркасов применительно к математике и выделения в ней двух языков представляется возможным на прямой вопрос Л. Витгенштейна, где существуют математические сущности – числа, функции и т.д., дать следующий ответ. Объекты математики существуют как реалии во внутриматематическом языке, то есть в сознании математиков, которые обращаются с ними, как с вещами. Но что касается действительного, вещного мира, то здесь среди его предметов мы их как таковые не находим, а только преднаходим. Математическая реальность – это знаки, символы, за ними нет прямых коррелятов предметного мира, с которыми их можно было бы соотнести, как это имеет место в остальной науке.

Тем не менее подобными объектами можно уверенно оперировать. Словно это обычные предметы. Современный американский математик П.К. Рашевский таким образом характеризует эту двойственную природу математических объектов – быть (в пределах «внутреннего» языка математики) и не быть (с точки зрения внешнего существования) реальностью. Рашевский пишет о них, что это «своеобразный мир идей, которые странным образом и реальны и призрачны одновременно» ¹. Рассмотрев особенность математических объектов, попытаемся далее соотнести математику, в целом как систему знания, научную дисциплину, с внешней действительностью.