Логика

Урок: 5. Логические основы обработки информации

Логика

Логика (греч. logikt < logos — довод, доказательство; разумное основание; наука о рассуждении, искусство рассуждения) — наука о формах, методах и законах правильного мышления.

Мышление изучают и психология, и педагогика, и многие другие науки. По содержанию человеческое мышление бесконечно многообразно,ведь думать можно о чём угодно. Но мысли возникают и строятся по одним и тем же законам, подчиняются одним и тем же принципам, имеют одни и те же схемы или формы.

Рассмотрим пример. Следующие высказывания:

· все ананасы — это фрукты;

· все тигры — это хищные животные;

· все автомобили — это транспортные средства —

различаются по содержанию, но сходны по форме: «все А — это В», где А и В — это какие-либо предметы. Само высказывание «все А — это В» не имеет содержания, оно представляет собой форму, которую можно наполнить любым содержанием, например: «все учебники — это книги».

Рассмотрим другой пример. Три различных по содержанию высказывания:

· если наступает весна, то тает снег;

· если не готовиться к ГИА, то можно получить двойку;

· если стоит сильный туман, то самолёты не могут совершить посадку —

строятся по одной и той же форме: «если А, то В». И к этой форме можно подобрать множество различных содержательных высказываний.

Логика не интересуется содержанием мышления, она изучает только формы мышления. Логику интересует не что мы мыслим, а как мы мыслим, поэтому она также часто называется формальной логикой. Например, если по содержанию высказывание «все комары — это насекомые» является понятным, осмысленным, а высказывание «все крокодилы — это птицы» является бессмысленным, то для логики эти два высказывания равноценны: ведь она занимается формами мышления, а форма у этих двух высказываний одна и та же — «все А — это В».

Таким образом, форма мышления — это способ, которым выражаются мысли, или схема, по которой они строятся. Существует три формы мышления.

1. Понятие — это форма мышления, которая обозначает какой-либо объект или признак объекта, отличающий его от других объектов. Примеры понятий: «собака», «растение», «планета», «химический элемент», «смелость», «трудолюбие» и т. п.
2. Высказывание (суждение, утверждение) — это форма мышления,в которой что-либо утверждается или отрицается о свойствах понятий и отношениях между ними, например: «Солнце не является планетой»; «некоторые вещества — это металлы»; «все цифры — это знаки»; «2 ⋅ 2 = 4» и т. п.). Высказывание может быть истинным или ложным.
3. Умозаключение — это форма мышления, в которой из двух или нескольких исходных высказываний получают новое высказывание или вывод. Пример умозаключения: «Все металлы электропроводны. Железо — это металл. Железо электропроводно».

Помимо форм мышления, логика также занимается законами мышления, т. е. такими правилами, соблюдение которых приводит рассуждение к истинным выводам при условии истинности исходных суждений.

Основная цель логики — исследование того, как из одних утверждений можно выводить другие. При этом предполагается, что вывод зависит только от способа связи входящих в него утверждений и их строения,а не от их конкретного содержания. Отсюда ещё одно определение логики. Логика — наука, изучающая методы установления истинности или ложности одних высказываний (утверждений) на основе истинности или ложности других высказываний.

Исторически логика изучалась как часть философии. Сейчас логика изучается ещё и как часть математики и информатики.

Дополнительная информация

Логика появилась примерно в IV веке до н.э. в Древней Греции, её создателем считается Аристотель. Аристотелевская, или традиционная, логика для… В конце ХIХ — начале ХХ века были заложены основы математической, или… Большой вклад в развитие символической логики внесли такие учёные, как Дж. Буль, О. де Морган, Г. Фреге, Ч. Пирс и др.…

Алгебра логики

Основоположником алгебры логики является английский математик Джордж Буль (1815—1864). Он изучал логику мышления математическими методами и… Логическое высказывание — это повествовательное предложение, о котором можно… Например, высказывание «сумма углов треугольника равна 180 градусам» — истинно, а высказывание «Рим — столица Греции»…

Логические операции

В данной ниже таблице приведены логические операции и их обозначения,используемые как в алгебре логики, так и при записи алгоритмов и программ на некоторых языках программирования. Жирным шрифтом выделены обозначения операций, используемые в заданиях ГИА.

Операция отрицания выполняется над одним операндом. Такие операции называются одноместными или унарными. Правило выполнения этой операции: если значение логического операнда А истинно, то значение ¬А ложно, если А ложно, то ¬А истинно. Если высказывание«Денис сделал уроки» обозначить переменной А, то ¬А соответствует высказыванию «Денис не сделал уроки» или «неверно, что Денис сделал уроки».

Все остальные логические операции, перечисленные в таблице, выполняются над двумя операндами и называются двуместными или бинарными.

При выполнении операции конъюнкции результатом будет истина только в том случае, когда оба операнда истинны. Во всех остальных случаях результатом выполнения конъюнкции будет ложь. Например, высказывание А «число 7 простое» истинно, высказывание В «число 10 чётное» истинно. Высказывание «число 7 простое и число 10 чётное»Продолжение таблицы истинно. Высказывания «число 7 не простое и число 10 чётное», «число 7 простое и число 10 нечётное», «число 7 не простое и число 10 нечётное» ложны.

Результатом выполнения операции дизъюнкции будет ложь только в том случае, когда оба операнда ложны. Для получения истины хотя бы один операнд должен быть истинным. Например, три составных высказывания«число 7 простое или число 10 чётное», «число 7 не простое или число 10 чётное», «число 7 простое или число 10 нечётное» истинны,высказывание «число 7 не простое или число 10 нечётное» ложно.

Если операнды имеют разные логические значения, результатом операции исключающей дизъюнкции (исключающего ИЛИ) будет истина,а результатом операции эквиваленции — ложь. Если оба простые высказывания ложны или оба простые высказывания истинны, результатом операции исключающей дизъюнкции будет ложь, а операции эквиваленции — истина. Можно сделать вывод, что операция эквиваленции есть отрицание операции исключающей дизъюнкции и, наоборот: операция исключающей дизъюнкции есть отрицание операции эквиваленции.

В операции импликации А → В операнд А называют посылкой, операнд В — следствием или заключением. Импликация ложна лишь тогда, когда посылка истинна, а следствие ложно. Во всех остальных случаях импликация истинна.

Тот факт, что когда А ложно, импликация А → В истинна при любомВ, соответствует принципу «ex falso quod libet» (лат. «из ложного (высказывания) — всё что угодно»).

Составим таблицу, иллюстрирующую правило выполнения операции импликации для высказываний А «идёт дождь», В «на небе тучи».

Пример составного высказывания «Если..., то...»

Из всех логических операций импликация вызывает больше всего вопросов. В разговорной речи связка «если..., то...» описывает причинно-следственную связь между высказываниями. Напомним, что в алгебре логики смысл высказываний не учитывается, рассматривается только их истинность или ложность. Высказывания А и В могут быть даже не связанными по содержанию, например: «если в огороде бузина, то в Киеве дядька». Надо понимать, что результат операции импликации, как и других логических операций, определяется истинностью или ложностью переменных, а не наличием причинно-следственных связей между высказываниями. Приведённый в таблице пример лишь помогает понять и запомнить правило выполнения импликации.

Таблицы истинности

Таблицы истинности могут быть записаны так же, как таблицы умножения. Такая форма записи называется картой Карно. Таблицы истинности логических операций

Логические выражения

Составное логическое высказывание можно представить в виде логического выражения (формулы), состоящего из логических констант «истина» или «ложь», логических переменных (операндов), знаков логических операций и скобок. Логические выражения принимают значения«истина» или «ложь».

Дополнительная информация

Логическая функция — это функция логических переменных X1, X2, X3, ..., XN: которая может принимать только два значения — истина (1) или ложь (0). Логическая функция может быть задана таблицей истинности. Число строк в таблице — это число возможных наборов значений…

Дополнительная информация

Логическая функция — это функция логических переменных X1, X2, X3, ..., XN: которая может принимать только два значения — истина (1) или ложь (0). Логическая функция может быть задана таблицей истинности. Число строк в таблице — это число возможных наборов значений…

Построение таблиц истинности

Для проверки равносильности выражений А → В и ¬А ∨ В построим таблицу истинности выражения ¬А ∨ В. Операции будем выполнять в… Результат в четвёртом столбце получен дизъюнкцией значений третьего и второго столбцов. Он совпадает с таблицей…

Тест

Пример 5.1.

Для какого из указанных значений числа X истинно выражение
¬ (X > = 7) & (X > 4)?

Начало формы

 

Конец формы

Комментарий

Преобразуем неравенства так, чтобы слева оставалась только переменная X. Получим (X > 5) & ¬ (X < 5) ∨ ¬ (X > 0). Далее выполним… Эту задачу можно решить составлением таблицы истинности.Пусть переменная А —…

Тест

Пример 5.2.

Для какого из указанных значений числа X истинно выражение
(X ⋅ 2 > 10) & ¬ (X + 3 < 8) ∨ ¬ (X > 0)?

Начало формы

 

Преобразуем неравенства так, чтобы слева оставалась только переменная X. Получим (X > 5) & ¬ (X < 5) ∨ ¬ (X > 0). Далее выполним операции отрицания, получим (X > 5) & (X > = 5) ∨ (X ≤ 0). Затем выполняется операция конъюнкции (X > 5) & (X ≥ 5), результатом выполнения которой будет истина только в том случае, если оба неравенства будут выполняться. Это возможно только при X > 5. Наконец, последней выполняется операция дизъюнкции. Для получения истины необходимо, чтобы хотя бы один из операндов был истинным: Х > 5 или X ≤ 0. В предложенных ответах все числа положительные, значит, ответ Х = 7.

Эту задачу можно решить составлением таблицы истинности. Пусть переменная А — неравенство (X ⋅ 2 > 10), переменная В – (X + 3 < 8), переменная С – (X > 0). Тогда выражение можно записать в виде А & ¬В ∨ ¬С. Порядок выполнения операций: отрицание В, отрицание С, логическое умножение, логическое сложение.

Основные законы алгебры логики

Основные законы алгебры логики Выполняется закон двойственности: если конъюнкцию заменить дизъюнкцией, дизъюнкцию заменить конъюнкцией, 0 заменить на…

Комментарий

Выполним преобразования выражений. Выделим шрифтом фрагменты, к которым применяются законы алгебры логики. 1.А ∨ В & (С ∨ ¬А ∨ А & С) & ¬В = А∨ В… 2.А & В & (С ∨ ¬А ∨ А & С) ∨ ¬В = А & В & (С ∨ ¬А) ∨ ∨ ¬В = А…

Тест

Пример 5.3.

Какое из перечисленных выражений является тождественно ложным?

А ∨ В & (С ∨ ¬А ∨ А & С) & ¬В

А & В & (С ∨ ¬А ∨ А & С) ∨ ¬В

А & В ∨ (С ∨ ¬А ∨ А & С) & ¬В

А & В & (С ∨ ¬А ∨ А & С) & ¬В

Начало формы

 

ОтветитьПоказать правильный ответ

Конец формы

Комментарий

далее

Выполним преобразования, используя законы де Моргана, закон двойного отрицания и формулу поглощения:

Тест

Пример 5.4.

Логическое выражение ¬(А & (В ∨ ¬С) ∨ ¬А & В) равносильно выражению

¬А & ¬В ∨ ¬В & С

¬А ∨ ¬В & С

¬А & С ∨ ¬В

Начало формы

 

Ответить

Задания для самостоятельного решения (часть А)

Тест

Пример 5.5.

Таблица истинности логической функции F = А & В ∨ ¬А & ¬В имеет вид

 

Ответить

Тест

Пример 5.6.

Таблица истинности логической функцииF = ¬А & В & ¬А & ¬В имеет вид

 

Ответить

Тест

Пример 5.7.

Таблица истинности логической функции
F = ¬А & ¬В ∨ А & ¬В имеет вид

 

Ответить

Тест

Пример 5.8.

Таблица истинности логической функции
F = ¬А & В ∨ ¬А & ¬В имеет вид

 

Ответить

Тест

Пример 5.9.

Таблица истинности логической функции
F = (А & В) & ¬А & ¬В имеет вид

 

Ответить

Тест

Пример 5.10.

Для какого из указанных значений числа X истинно выражение
¬(X < 2) & (X < 3)?

 

Ответить

Тест

Пример 5.11.

Для какого из указанных значений числа X истинно выражение
¬(X > 2) ∨ (X > 6)?

 

Ответить

Тест

Пример 5.12.

Для какого из указанных значений числа X истинно выражение
¬(X > 5) & ¬(X < 2)?

 

Ответить

Тест

Пример 5.13.

Для какого из указанных значений числа X истинно выражение
¬((X — 2 > 6) ∨ (X — 4 > 8)) & ¬(X ⋅ 3 > 25)?

 

Ответить

Тест

Пример 5.14.

Для какого из указанных значений числа X истинно выражение
¬(X : 2 < 5) & ¬(X + 17 > 30) & (X ⋅ 3 < 39)?

 

Ответить

Пример 5.15.

Укажите тождественно истинное выражение.

¬А ∨ ¬В & (¬А ∨ А & В) ∨ ¬В

А & (¬А & В ∨ А & ¬В) ∨ ¬А

А & (¬А & В ∨ А & ¬В) & ¬А

А ∨ В & (¬А ∨ А & В) ∨ ¬В

 

Ответить

Тест

Пример 5.16.

Укажите тождественно ложное выражение.

¬(А ∨ В) & (¬А ∨ В)

¬(А & В) & (¬А ∨ В)

¬(А ∨ В) & (¬А & В)

¬(А & В) & (¬А & В)

 

Ответить

Пример 5.17.

Логическое выражение
(¬А ∨ С) & ¬(А & С) & (В ∨ ¬С) & ¬(В & С) равносильно выражению

(¬А & ¬С) ∨ (¬В & ¬С)

¬А ∨ ¬C

¬А ∨ ¬В ∨ ¬С

¬А & С ∨ ¬А & ¬C ∨ ¬В & ¬С

 

Тест

Пример 5.18.

Логическое выражение ¬(А & В ∨ ¬С)) ∨ ¬А & В) равносильно выражению

¬А & В ∨ ¬А & C ∨ ¬В & С

¬А ∨ ¬В ∨ ¬С

¬А & В ∨ ¬А & ¬C ∨ ¬В & ¬С

 

Тест

Пример 5.19.

Логическое выражение ¬(А ∨ В) & (А ∨ С) & (С ∨ В) равносильно выражению

¬А ∨ В ∨ С

¬А & В & С

¬А & В & C ∨ А & В ∨ В & С

А & В ∨ ¬А & C ∨ В & С

 

Конец формы

Конец формы

Некоторые из этих функций соответствуют известным вам логическим операциям, например: Y₂ — конъюнкция, Y₈ — дизъюнкция.