-- умозаключения, в которых посылки и заключение представляют собой суждения с отношениями родства, равенства, по степени, по величине, по времени и т. п.
Умозаключение, посылки и заключение которого являются суждениями с отношениями, называется умозаключением с отношениями. Например:
Петр — брат Ивана Иван — брат Сергея
Петр — брат Сергея
Посылки и заключение в приведенном примере — суждения с отношениями, имеющие логическую структуру xRy, где x и y – понятия о предметах, R- отношения между ними..
Логическим основанием умозаключений из суждений с отношениями являются свойства отношений, важнейшие из которых — 1) симметричность, 2) рефлексивность и 3) транзитивность.
1. Отношение называется симметричным (от греческого simmetria — «соразмерность»), если оно имеет место как между предметами х и у, так и между предметами у и х. Иначе говоря, перестановка членов отношения не ведет к изменению вида отношения. Симметричными являются отношения равенства (если а равно b, то и b равно а), сходства (если с сходно с d, то и d сходно с с), одновременности (если событие х произошло одновременно с событием у, значит, и событие у произошло одновременно с событием х), различия и некоторые другие.
Отношение симметричности символически записывается:
xRy -> yRx.
2. Отношение называется рефлексивным (от латинского геflexio — «отражение»), если каждый член отношения находится в таком же отношении к самому себе. Таковы отношения равенства (если а=b, то а=а и b=b) и одновременности (если событие х произошло одновременно с событием у, значит, каждое из них произшло одновременно с самим собой).
Отношение рефлексивности записывается:
xRy -> xRx ^ yRy.
3. Отношение называется транзитивным (от латинского trartivus — «переход»), если оно имеет место между х и z тогда, когда он имеет место между х и у и между у и z. Иначе говоря, отношени является транзитивным (переходным) тогда и только тогда, когда и отношения между х и у и между у и z следует такое же отношени между х и z.
Транзитивными являются отношения равенства (если а равно b и b равно с, то а равно с), одновременности (если событие х произс шло одновременно с событием у и событие у одновременно с событием z, значит, событие х произошло одновременно с событием z), отношения «больше», «меньше» (а меньше b, b меньше с, значит, меньше с), «позднее», «находиться севернее (южнее, восточнее, за паднее)», «быть ниже, выше» и т.п.
Отношение транзитивности записывается:
(xRy ^ yRz) -> xRz.
Для получения достоверных заключений из суждений с отношениями необходимо опираться на правила, вытекающие из свойств отношений.
Для симметричности – если xRy истинно, то yRx тоже истинно.
Для рефлексивности – если xRy истинно, то истинными будут суждения xRx и yRy. (a=b => a=a, b=b).
Для транзитивности – если xRy и yRz истинно, то суждение xRz также истинно. (К был на месте происшествия раньше Л. Л был на м/п раньше М. К был на м/п раньше М.)