1. Построение формализованного языка.
2. Указать возможные интерпретации для нелогических символов.
3. Задать точное значение логических символов.
4. Выделение класса законов данной теории. Закон - такая формула, которая принимает значение истины при любой интерпретации нелогических символов.
5. Применение логики в теории естественных рассуждений. Задать критерий правильности умозаключения.
В содержательной логической теории:
Логический закон - такая логическая форма суждений, которая при любой интерпретации входящих в нее параметров принимает значение истины.
Логическое следование - это отношение между предпосылками и заключением, когда при любой интерпретации параметров, если посылки истинны, то и заключение истинно, т. е. нет такой интерпретации, когда посылки истинны, а заключение ложно.
Логическое исчисление:
1. Задается формализованный язык.
2. Задаются дедуктивные постулаты.
(а) аксиома - формула языка, которая является законом изначально.
(б) Утверждения выводимости одних формул из других: A1, A2...An |-- B
(в) Прямые правила вывода - правила перехода от одной (или нескольких) формул к другой.
(г) непрямые правила вывода - на основании других правил.
(д) Правило редукции - один список формул заменяется другим.
3. Определяется правило обоснования логических законов – дать опр. доказуемой формулы.
4. Вводятся теоремы (синтаксический аналог логического закона)
5. Определяется процедура обоснования перехода от одних формул к другим (понятие вывода)
6. Определяются отношение выводимости (аналог логического следования)
Типы логических исчислений: (отличаются характером дедуктивных постулатов, спецификой построения доказательства)
1. Аксиоматические исчисления. Дедуктивный постулат - аксиомы, правила вывода (обычно прямые). Последовательность формул (аналог высказывания)
2. Натуральное исчисление. Задача - построить логическую систему, где будут отражаться естественные способы естественные способы рассуждения. Особенность - первый дедуктивный постулат - правило вывода.
3. Сиквенциальное исчисления. Дедуктивный постулат - утверждение о выводимости, непрямые правила.
4. Аналитико-табличное исчисление. Дедуктивный постулат - правило редукции. Процедура доказательства и вывода максимально упрощена.
и др.
19. Аксиоматическое исчисление высказываний со схемами аксиом.
Достоинства аксиоматического исчисления - способ доказательства аналогичен доказательствам в научных дисциплинах. Постулаты - логически простые исходные понятия доказательства.
Недостаток - практически доказать очень сложно.
Классическое аксиоматическое высказываний.
Все строится так, чтобы класс теорем исчисления совпадал с классом тождественно-истинных формул.
A1, A2...An |-- B тогда и только тогда A1, A2...An|=B
1. Язык(тот же самый, что в логике высказываний)_
Исходные логические связки: отрицание, &, V, импликация.
Остальные могут быть введены по определению.
2. Дедуктивные постулаты:
а. с конечным числом аксиом.
б. с бесконечным числом аксиом
Число типов аксиом конечно. Схема аксиом - выражение метаязыка, который соответствует бесконечному количеству аксиом одного типа.
Схемы аксиом:
А1. Закон утверждения консиквента
А2. Закон самодистрибутивности импликации.
А3. Закон введения конъюнкции.
А4. Схемы удаления конъюнкции.
А5.
А6.Схемы введения дизъюнкции
А7.
А8. Схема исключения дизъюнкции.
А9. Схемы введения отрицания.
А10.
Доказательство - непустая, конечная последовательность формул.
Каждая формула: либо аксиома, либо формула, полученная по модус поненс из предыдущих формул последовательностей. Доказательство – частный случай вывода.
Теорема - Доказательство формулы А - доказательство, последней формулой которого является формула А. Формула А называется теоремой или доказуемой формулой, если и только если существует доказательство.
Вывод из множества допущений Y - непустая конечная последовательность формул, таких, что любая формула этой последовательности либо допущение из Y, либо аксиома, либо формула полученная по модус поненс из предыдущих формул.
20. Аксиоматическое исчисление высказываний с конечным числом аксиом и правилом подстановки.
Понятие зависимости формулы вывода от допущения:
1. Допущение зависимо от себя самого.
2. Аксиома независима от допущений.
3. Если формула B получена по modus ponens
A)B [Г] A [D]
-----------------
B [Г] [D]
4. Если формула получена по правилу подстановки
A [Г]
--------
S A|[Г]
5.Правило подстановки нельзя применять к формуле B, которая зависит от множества допущений D по переменной, входящих хотя бы в одну формулу из D.