Лекция 5. Логика предикатов 3 Каждый человек смертен

Лекция 5. Логика предикатов

Введение.

Praedicatuum- ( лат.- сказанное) - это сказуемое утверждения, то, что высказывается (утверждается или отрицается) в суждении о субъекте. Например, в утверждении “ракета достигла Луны” предикат - “достигла Луны “

В логике высказываний атом рассматривается как неделимое целое, структура и состав которого не поддаются внешнему анализу в процессе рассуждений. Однако есть много мыслей, которые не могут быть рассмотрены простым способом. Например:

1) На языке логики высказываний нельзя выразить тот факт, что из предложения “по меньшей мере, один студент решил все контрольные задачи” следует заключение “ каждую контрольную задачу решил, по меньшей мере, один студент”. Каждое из этих высказываний является высказыванием, импликация которых не является тавтологией.

2) Пусть прямые на плоскости, || - символ параллельности прямых, тогда из посылок || и || следует заключение || . Однако в логике высказываний теорема не является общезначимой формулой.

3) Каждый человек смертен

Конфуций – человек

Конфуций – смертен.

Заключение теоремы кажется очевидным, однако, в логике высказываний формула не является тавтологией.

Противоречия в приведенных примерах вытекают из отсутствия возможности проникнуть во внутреннюю структуру каждого из высказываний, увидеть в этой структуре взаимосвязь между объектами в каждом из них и, самое главное, отобразить эту взаимосвязь в виде формулы.

Для ликвидации этих недостатков и предназначена логика предикатов, которая является расширением логики высказываний, т.е. вместе с понятиями логики высказываний она содержит ряд других понятий, усиливающих логическое мышление.

В логику предикатов, помимо символов высказывания, дополнительно введены символы отражаемых объектов, символы свойств и характеристик этих объектов, функциональные символы, а также символы отношений между объектами, их характеристиками и свойствами. Кроме того, введены также обобщающие и конкретизирующие выражения «все» и «некоторые» (кванторы), позволяющие количественноохарактеризовать связи объектов, свойств, характеристик и отношений. Дополнение логики указанными символами позволяет явно задавать и управлять объектами, отношениями, свойствами и характеристиками объектов, т.е. осуществлять внешнее вмешательство во внутреннюю структуру высказываний.

Алфавит логики предикатов.

1) Константы (индивидные символы). Обычно это имена объектов, наименования свойств, характеристик, значения свойств или характеристик; 2) Символы предметных переменных. Обычно, это малые буквы x, y,z, возможно с… 3) Функциональные символы. Обычно, это малые буквы f,q,h или осмысленные слова из строчных букв, например, плюс,…

Правила образования языка в алфавите (синтаксис) логики предикатов.

Понятие «отношение». В логике предикатов предикат выражает взаимную связь отражаемых объектов со своими свойствами, характеристиками, действиями,… Понятие «терм»- это всякая константа, предметная переменная и функция. Понятие «функция» символизирует действие, ставящее в соответствие списку констант одну определенную константу. Всякая…

Правила присваивания истинностных значений

Формулам (семантика языка).

n общую область определения D для всех предметных переменных, входящих в формулу; n значения констант; n истинностные значения предикатов, входящих в формулу;

Правила вывода в исчислении предикатов.

Правила введения кванторов следующие: для квантора , для квантора .

Правила эквивалентных преобразований формул исчисления

Предикатов.

В связи с этим дополнительно вводятся ряд правил, позволяющих исключить указанные кванторы из формул. Эти правила делятся на две группы: 1) Правила образования Предваренных нормальных форм (ПНФ); 2) Правила образования Скулемовских стандартных форм (ССФ).