Алгебра логики

Алгебра логики — раздел математической логики, изучающий логические высказывания и методы установления их истинности или ложности с помощью алгебраических методов.

Основоположником алгебры логики является английский математик Джордж Буль (1815—1864). Он изучал логику мышления математическими методами и разработал алгебраические методы решения традиционных логических задач, поэтому алгебру логики называют ещё булевой алгеброй.

Логическое высказывание — это повествовательное предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно.

Например, высказывание «сумма углов треугольника равна 180 градусам» — истинно, а высказывание «Рим — столица Греции» — ложно. Не всякое повествовательное предложение является логическим высказыванием.Определить, истинны или ложны предложения «ученик восьмого класса» и «очень жаркое лето» нельзя. Вопросительные предложения,предложения в повелительной форме также не являются высказываниями.

Истинность или ложность высказывания определяется не алгеброй логики, а конкретными науками, практикой, наблюдениями. Для алгебры логики важен не смысл высказывания, важна лишь его истинность или ложность.

Из заданных высказываний можно строить новые высказывания.Для этого используются слова и словосочетания «и», «или», «не», «либо..., либо», «тогда и только тогда» и др. Такие слова и словосочетания называются логическими связками.

Высказывания, образованные из других высказываний, называются составными (сложными). Высказывания, не являющиеся составными, называются простыми или элементарными. Например, из простых высказываний«Сергей футболист», «Сергей пловец» можно получить составное высказывание «Сергей футболист и пловец». Истинность этого высказывания означает, что Сергей занимается двумя видами спорта. Если высказывание ложно, то Сергей либо не занимается обоими видами спорта, либо не занимается хотя бы одним из них.

Другое составное высказывание «Сергей футболист или пловец» означает в алгебре логики, что при истинности высказывания Сергей или футболист, или пловец, или футболист и пловец одновременно. Если же высказывание ложно, значит, Сергей не занимается ни футболом,ни плаванием.

Алгебра логики позволяет определять истинность или ложность составных высказываний, не вникая в их содержание.

В алгебре логики высказывания для формализации работы обозначают символическими именами, например: А, В, С. Тогда если обозначить простые высказывания «Денис сделал уроки» именем А, «Денис пошёл в кино» именем В, то составное высказывание «Денис сделал уроки и пошёл в кино» можно записать как «А и В». Здесь «и» — логическая связка, А, В — логические переменные, которые могут принимать логические значения «истина» или «ложь».

Логические значения «истина» и «ложь» могут обозначаться иначе:

Истинность или ложность составных высказываний зависит от истинности или ложности простых высказываний.

В алгебре логики логические связки рассматриваются как логические операции, имеющие название и обозначение.