ТЕОРИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА В ОМД КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ «ТЕОРИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА»

мИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

ДОНБАССКИЙ государственный

технический университет

 

В.М. ДАНЬКО

 

 

ТЕОРИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

В ОМД

 

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

ПО КУРСУ

«ТЕОРИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА»

ДЛЯ СТУДЕНТОВ

СПЕЦИАЛЬНОСТИ 7.090404

«ОБРАБОТКА МЕТАЛЛОВ ДАВЛЕНИЕМ»

 

 

аЛЧЕВСК,

2ОО9

УДК 519.24

 

Конспект лекцій по курсу „Теорія експерименту” (для студ. фаху 7.090404 „Обробка металів тиском” V-VI курсів всіх форм навч.) /Укл.: Данько В.М.- Алчевськ: ДонДТУ. 2008,– 78с. Мова російська.

 

Викладено основні положення теорії та практики експериментальних досліджень в обробці металів тиском. Коротко наведено головні принципи фізичного моделювання та теорії подібності, висвітлено статистичні методи аналізу експериментальних даних, основи кореляційного і регресивного аналізів та обробки експериментальних даних.

 

Укладач: В.М.Данько, доц.,

 

Рецензент: О.В. Токарєв, ст. викл.

 

Відповідальний за випуск: В.О. Луценко, проф.

 

Відповідальний редактор: Н.Г. Мітічкіна, доц.

 

 

С о д е р ж а н и е

 

ТЕМА 1. ВВЕДЕНИЕ

ЛЕКЦИЯ №1

1.1 Значение экспериментальных исследований в ОМД..................5

1.2 Способы повышения эффективности исследований...................7

ТЕМА 2. ОРГАНИЗАЦИЯ МОДЕЛЬНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

ЛЕКЦИЯ №2

2.1 Моделирование процессов ОМД.................................................12

2.2 Вторая теорема подобия...............................................................14

2.3 Достаточные условия подобия. Определение критериев

подобия..........................................................................................16

ЛЕКЦИЯ №3

3.1 Обеспечение условий физического подобия..............................18

3.2 Условия пластического подобия.................................................19

3.3 Условия подобия по теплообмену...............................................22

ЛЕКЦИЯ №4

4.1 Подобие условий контактного трения……………………..…..27

4.2 Обеспечение подобия процессов холодной ОМД…………….29

4.3 Обеспечение подобия процессов горячей ОМД………………30

ТЕМА 3. ПЛАНИРОВАНИЕ АКТИВНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

ЛЕКЦИЯ №5

5.1 Основные понятия планирования эксперимента.......................34

5.2 Полный факторный эксперимент................................................36

ЛЕКЦИЯ №6

6.1 Дробный факторный эксперимент..............................................41

6.2 Планирование дробных факторных экспериментов..................42

6.3 Определяющий контраст и генерирующее соотношение.........45

ЛЕКЦИЯ №7

7.1 Планы второго порядка................................................................47

7.2 Центрально-композиционные планы..........................................50

7.3 Несимметричные композиционные планы.................................51

ЛЕКЦИЯ №8

8.1. Особенности статистической обработки факторных

экспериментов............................................................................57

8.2 Статистическая обработка экспериментов второго

порядка..........................................................................................59

ТЕМА 4. ПРИКЛАДНОЙ РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ

ЛЕКЦИЯ№9

9.1 Регрессионный анализ пассивных экспериментов...................66

9.2 Основные положения классического РА...................................67

9.3 Мультиколлинеарность и ее причины.......................................69

9.4 Выявление мультиколлинеарности............................................70

ЛЕКЦИЯ№10

10.1Предупреждение мультиколлинеарности.................................73

10.2 Обработка "плохих" данных......................................................74

10.3 Методы предварительного центрирования независимых

переменных и регуляризации.....................................................77

ЛЕКЦИЯ№11

11.1 Регрессионный анализ при наличии ошибок в факторах…..80

11.2 Методы получения несмещенных оценок при ошибках

в измерении факторов.................................................................82

РЕКОМЕНДОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА..................................................86

 

ТЕМА 1. ВВЕДЕНИЕ

 

Лекция №1

1.1 Значение экспериментальных исследований в ОМД

Обработка металлов давлением (ОМД) для своего развития и совершенствования требует использования методов механики деформируемого твердого тела (МДТТ), которые позволяют достаточно точно описывать кинематику и статику процессов пластического деформирования, определять энергосиловые параметры процессов и форму тел после деформирования. Однако даже в простейших случаях задачи теории ОМД оказываются весьма сложными в математическом отношении. Поэтому для получения решений приходится упрощать краевые условия и игнорировать многие важные явления, такие как упрочнение и разупрочнение, анизотропию механических свойств и т.п., что ведет не только к понижению точности результатов, но, иногда, и к качественно неправильным выводам. Поэтому в ОМД широко используются экспериментальные методы изучения напряженно-деформирован-ного состояния и интегральных параметров различных процессов.

Теоретические и экспериментальные методы теории ОМД неотделимы друг от друга, т.к. постановка любого эксперимента базируется на определенных теоретических предпосылках, а в основе любой теории лежат экспериментальные данные. При решении сложных задач ОМД эти методы настолько тесно переплетены, что фактически все методы являются экспериментально-теоретическими .

Однако сложная природа изучаемых в ОМД сред – металлов,

практическая невозможность их описания аналитическими и даже ста-

тистическими методами, приводит к тому, что успехи в развитии тео-

рии и практики ОМД главным образом зависят от экспериментов. Поэтому в ОМД, как в прикладной научной дисциплине, экспериментальные исследования имеют ведущее значение.

Для успешного проведения экспериментальных исследований, своим результатом имеющим получение точных и достоверных данных максимальной общности при минимальных затратах, необходимы как правильная организация эксперимента, так и владение техникой конкретного исследования. Основные положения организации эксперимента, справедливые для всех областей науки, изложены в курсе "Основы научных исследований". В данном курсе эти положения развиваются и конкретизируются применительно к ОМД. Даются также некоторые сведения о технике проведения исследований машин и процессов ОМД.

Следует различать исследование локальных параметров процессов деформирования, которые ведутся на "микроуровне", и интегральных – на макроуровне. Под локальными понимаются параметры напряженно-деформированного состояния в элементарных объемах: тензоры напряжений, деформаций, скоростей и т.д. Интегральными являются энергосиловые параметры, размеры тел и их форма.

Интегральные параметры, как и большинство механических явлений, исследуются электрическими способами. Например, энергосиловые параметры исследуются тензометрированием. Геометрические параметры: длина, ширина, толщина – фотокомпенсационными и фотоимпульсными способами, изотопными и лазерными толщиномерами. Температура металла измеряется различными видами термометров и пирометрами.

Методы изучения локальных параметров весьма многочислен-

ны. Напряженно-деформированное состояние (НДС) исследуется методом сеток, слоистых моделей, методом муар, посредством голографии. Применяются поляризационо-оптический метод, метод штифтовых месдоз, разрезного инструмента, оптически чувствительных покрытий, хрупких покрытий. Используются также структурно-наследственные методы: измерение твердости, линий скольжения, рентгенографический, радиографический. Овладение большинством этих методов представляет собой непростую задачу и возможно только на опыте.

1.2 Способы повышения эффективности исследований

Как и в производственных процессах, при проведении исследований важное значение имеет эффективность. Исследование будет эффективным, если в его результате получен заданный объем информации, удовлетворяющий требованиям по точности, достоверности и общности при минимальных затратах финансов и времени.

Для достижения указанных целей необходимы:

1. Правильный выбор метода исследований;

2. Правильный выбор вида эксперимента;

3. Правильная организация проведения эксперимента;

4. Использование качественных моделей и приборов, имеющих требуемый класс точности и прошедших метрологическую проверку;

5. Автоматизация процесса проведения опытов;

6. Качественная статистическая обработка эмпирических данных.

Метод исследований в основном предопределяется характером объекта исследований и целями исследования. Естественно, на его выбор влияют и имеющиеся в распоряжении ресурсы. Например, при исследовании НДС в высоком очаге деформации (l/h_c<1) можно использовать метод муар. Но в низком очаге он неприменим, т.к. технически затруднительно нанести растр при малой толщине образца. Для исследований влияния параметров очага деформации на контактные напряжения подходит поляризационно-оптический метод. Однако для исследований влияния коэффициента трения при горячей прокатке на те же контактные напряжения он не годится, т.к. валки изготавливаются из оптически прозрачных материалов типа органического стекла и поэтому модель должна быть из свинца. В таком случае необходимо применять метод штифтовых месдоз, устанавливаемых в стальных валках и поэтому пригодных при прокатке сталей.

Следовательно, нужно хорошо знать все известные методы исследований процессов деформации, иметь соответствующую аппаратуру и опыт работы с ней.

От правильности выбора вида эксперимента зависят как его стоимость, так и качество результатов. Известно. что имеется 4 вида экспериментов: активный натурный, активный модельный, пассивный натурный и пассивный модельный. Во всех случаях предпочтение следует отдавать активным экспериментам, т.к. они позволяют минимизировать количество опытов и получать математические модели исследуемых объектов с лучшими статистическими свойствами. Только в тех случаях, когда нет возможности свободно управлять факторами, приходится прибегать к пассивным экспериментам.

Натурные эксперименты при прочих равных условиях дают более точные результаты, т.к. нет погрешностей моделирования. Но если объект еще не существует или труднодоступен, то приходится использовать эксперименты модельные. Их преимуществом являются меньшая стоимость и меньшие затраты времени. Недостаток - дополнительные погрешности, обусловленные невозможностью полного соблюдения всех условий физического подобия. Выбор в этом случае зависит от совокупности всех требований, предъявляемых к данному исследованию.

Порядок проведения экспериментов (их организация) стандартизованы и нужно только точно выполнять все 8 пунктов этой последовательности. Напомним их:

1. Аналитический (литературный) обзор ранее проведенных исследований на данную тему;

2. Выбор откликов, полностью характеризующих объект с точки зрения данного исследования;

3. Выбор факторов, существенно влияющих на отклики;

4. Приведение переменных процесса к безразмерному виду, что обязательно для модельных экспериментов и желательно для натурных, т.к.при этом повышается общность результатов;

5. Составление плана эксперимента. Имеет смысл только для активных экспериментов, но правильный выбор плана позволяет минимизировать число опытов для получения заданного объема информации, упростить статистическую обработку данных и получать математические модели объектов с минимальными погрешностями;

6. Проведение эксперимента. На этом этапе решающее значение имеет техника эксперимента;

7. Статистическая обработка данных. Для активных экспериментов, выполненных по планам, удовлетворяющим определенным критериям оптимальности, обычно не представляет затруднений. Большие проблемы возникают при обработке пассивных экспериментов, когда нужно по "плохим" данным получить более-менее приемлемые резуль-

таты.

8. Интерпретация (истолкование) результатов эксперимента. Это самый интересный этап исследований. Его задача - установить закономерности изучаемого явления, найти способы его применения для совершенствования технологических процессов. На этом этапе решающее значение имеют инженерная эрудиция исследователя, его творческий потенциал. Его повышение возможно благодаря методам активизации творческого мышления (синектика, мозговой штурм и т.п.).

Под использованием качественных моделей понимается применение при моделировании таких систем, которые адекватно отображают свойства натуры в ракурсе данного исследования, и не имеют свойств второстепенных, затрудняющих их изучение. Например, при моделировании пластических деформаций иногда в качестве материала модели используется пластилин, охлажденный до температуры, при которой его сопротивление деформации становится пропорциональным сопротивлению деформации металла. Однако пластилин - аморфный материал, не способный к упрочнению. Поэтому его реологические свойства невозможно сделать подобными свойствам металлов и сплавов. Более подходящим для моделирования материалом является свинец, который благодаря своей кристаллической природе может упрочняться, а вследствие низкой гомологической температуры - разупрочняться при комнатных температурах. Микролегированием свинца теллуром, натрием, мышьяком и др. примесями можно получать сплавы, реологические свойства которых будут подобными свойствам изучаемой марки стали.

Необходимость применения качественной и метрологически поверенной аппаратуры не нуждается в комментариях.

Автоматизация экспериментальных исследований в ОМД состо-

ит в применении аналого-цифровых преобразовательных устройств (АЦПУ), обеспечивающих прием информации от датчиков, ее преобразование в цифровую форму, обработку и выдачу результатов на устройства отображения информации. Благодаря автоматизации обеспечивается получение значительно большего объема информации за ограниченное время и, главное, ее защита от помех благодаря цифровой форме. Последнее также дает возможность сразу вести обработку полученных данных на компьютерах.

О статистической обработке результатов выше уже говорилось. Цифровая форма получения результатов от АЦПУ позволяет применять самые мощные статистические методы обработки "плохих" данных, что несколько повышает возможности пассивных экспериментов.

Т.о. любое экспериментальное исследование процессов ОМД можно провести с максимальной эффективностью, если использовать методы, которые излагаются в данном курсе.

 

 

Лекция №2

 

2.1 Моделирование процессов ОМД

Модельный эксперимент в ОМД состоит в изучении свойств процессов или машин на физических моделях, заменяющих собою объект, который в таком случае называется натурой. Моделирование позволяет обойти многочисленные трудности, возникающие при исследованиях на действующем оборудовании (помехи производству, труднодоступность и неудобные размеры натуры, опасность разрушения, большие затраты на испытание различных вариантов натуры или вообще отсутствие натуры).

Для возможности переноса результатов моделирования на натуру необходимо физическое подобие процессов, протекающих в модели и натуре, т.к. в противном случае данные, вполне справедливые для натуры, могут даже качественно не соответствовать реальному объекту исследования. Условия физического подобия устанавливаются теорией подобия.

Теория подобия – это научная дисциплина, изучающая условия подобия различных физических явлений и процессов.

Подобие – это эквивалентность различных явлений, которая обеспечивается преобразованиями масштаба (калибровкой).

Поэтому физически подобные явления или системы обладают

свойством калибровочной инвариантности, т.е. не зависимостью своих свойств от размеров, если под «размерами» понимать величину параметров в фазовом пространстве.

Простейшим примером подобия является геометрическое подо-

бие – равенство геометрических тел, которое обеспечивается измене-

нием размеров в n раз. Например, подобие треугольников (рис.2.1):

Рисунок 2.1 – Подобные треугольники

 

Коэффициент n называется масштабом моделирования. Обычно он не бывает больше 10. При малых размерах объекта масштаб моделирования может быть < 1.

Обеспечить физического подобия между натурой и моделью значительно сложнее. Известны три теоремы подобия, выполнение требований которых необходимо (но не всегда достаточно) для физического подобия.

1-я теорема подобия. Доказана в 1848г. Ж.Бертраном. Устанавливает необходимые условия подобия.

Явления или системы подобны, если равны их соответствующие критерии подобия, составленные из параметров системы.

Критерий подобия – безразмерная комбинация размерных параметров процесса в виде их произведения или (и) отношения, составленная так, что размерности сокращаются.

Например, критерий Рейнольдса:

,

где v – скорость потока жидкости или газа, м/с;

d – диаметр канала или характерный размер обтекаемого тела, м;

ρ – плотность жидкости или газа, кг/м³;

μ – коэффициент динамической вязкости, кг/м·с.

Этот критерий определяет соотношение сил инерции и сил трения при движении жидкостей или газов в каналах или при обтекании ими тел, и показывает условия перехода ламинарного течения в турбулентное (критическое число Re). У подобных течений числа Re одинаковы.

Наиболее употребительные критерии подобия получили наименования по первым двум буквам фамилий ученых, внесших значительный вклад в соответствующий раздел науки: критерии Фруда Fr, Эйлера Eu, Нуссельта Nu и т.д.

И- 1-й теоремы подобия вытекает следствие:

Функциональная связь между параметрами подобных процессов может быть выражена только в виде зависимостей между критериями подобия.

Например: удельная сила при прокатке, зависящая от:

должна выражаться в виде:

.

2.2 Вторая теорема подобия

Устанавливает условия преобразования уравнений физических

процессов в безразмерные (критериальные) уравнения и определяет число получающихся критериев подобия. Была доказана в 1911г. А.Федерманом и позже, другими способами, Р.Бэкингемом и Т.Афа-насьевой-Эренфест. Состоит из двух частей.

Часть1: Если какая-либо зависимость однородна относительно размерностей, то ее можно преобразовать к соотношению между критериями подобия.

Однородными относительно размерностей являются любые уравнения, форма которых не зависит от выбора основных единиц измерения. Например, второй закон Ньютона:

.

Напротив, уравнение Дюлонга и Пти является неоднородным:

. (2.1)

Если в (2.1) температуру Т брать не в градусах Ренкина, а, например, в градусах Кельвина, то форма этого уравнения изменится. Однако (2.1) можно привести к однородному виду:

.

Считается, что адекватное описание любого естественного явления должно быть однородным, а неоднородные уравнения дают только приближенное описание. Следовательно, практически любой процесс можно описать критериальными уравнениями.

Часть2 (π-теорема): Если существует однозначное соотношение:

между n различными физическими величинами, для описа-

ния которых используется k основных размерностей, то су-

ществует также соотношение:

между (n-k) безразмерными критериями подобия.

Следует иметь в виду, что π-теорема устанавливает только минимальное число критериев подобия. На практике иногда используется больше, чем (n-k) критериев, особенно когда минимальное их число дает комбинации параметров, не имеющих физического смысла.

2.3 Достаточные условия подобия. Определение критериев подобия

Достаточные условия подобия устанавливает 3-я теорема подобия, сформулированная в 1931г. М.Кирпичевым и А.Гухманом и доказанная в 1933г. М.Кирпичевым.

Достаточным условием подобия является пропорциональность сходственных параметров, входящих в условия однозначности.

К условиям однозначности относятся не зависящие от механизма явления факторы системы, т.е. начальные и граничные условия.

Если рассматриваются более сложные, нелинейные или анизотропные системы, то для достаточности условий подобия необходимо соблюдать дополнительные условия.

Для определения критериев подобия существует два различных подхода.

Первый из них, довольно простой и эффективный, называется анализом размерностей. Он позволяет, зная параметры исследуемого объекта в размерном виде, получать безразмерные комплексы и симплексы, являющиеся критериями подобия.

Комплекс (лат. сложный) – это безразмерная комбинация более,

чем двух параметров. Симплекс (лат. простой) – только двух параметров. Преимуществом анализа размерностей является отсутствие необ-

ходимости в знании уравнений, описывающих процесс. Многие процессы настолько сложны, что их описание в виде уравнений неизбежно связано с упрощениями, вносящими дополнительные погрешности в моделирование. Недостаток анализа размерностей в том, что он не позволяет однозначно находить набор критериев, характеризующих данный процесс. Одним из способов определения критериев подобия анализом размерностей является метод Релея.

Второй подход, основанный на приведении дифференциальных уравнений исследуемого процесса совместно с начальными и граничными условиями к безразмерному виду, при выполнении требований 3-ей теоремы подобия является научно строгим и свободным от недостатков анализа размерностей. Однако ограничения и допущения, при которых получены уравнения, сказываются на надежности этого подхода.

В последнее время стали известны еще две разновидности второго подхода – метод сопряжения размерных величин посредством размерной постоянной и метод образования критериев подобия на основе принципов подобия интенсивных величин.

 

Лекция №3

 

3.1 Обеспечение условий физического подобия

Каждый критерий подобия или их группа выражают определенный вид подобия. Наиболее важным из них является геометрическое подобие, без которого моделирование утрачивает связь с физической реальностью.

Под геометрическим подобием понимается равенство критериев, составленных из геометрических параметров модели и натуры. Например, для цилиндрической заготовки (рис.3.1):

 

 

Рисунок 3.1 – Геометрическое подобие заготовок

.

Следующими по важности при моделировании процессов ОМД являются условия упругого и пластического подобия.

В классической теории упругости упругая деформация подчиняется закону Гука:

При моделировании вследствие геометрического подобия:

(3.1)

Отсюда:

(3.2)

Соотношение (3.1) известно как критерий упругого подобия Гука:

(3.3)

Аналогично получается критерий подобия при сдвиге:

(3.4)

Из (3.3) и (3.4) видно, что модель и натура при одноосном растяжение или сжатии подобны, если равны их относительные деформации ε и γ.

При одинаковых материалах модели и натуры (Е_м = Е_н):

(3.5)

Т.о. усилие растяжения (сжатия) модели будет в n² раз меньше, чем натуры. Это – т.н. закон Кика.

Удельная работа растяжения (сжатия) равна:

При упругом подобии ε_н = ε_м, поэтому:

При одинаковых материалах модели и натуры:

(3.6)

В общем случае объемно-напряженного состояния упругое подобие будет при идентичности полей деформаций модели и натуры:

Это позволяет находить напряжения в натуре по напряжениям в модели посредством обобщенного закона Гука:

3.2 Условия пластического подобия

Моделирование процессов ОМД требует подобия полей напряжений и деформаций в пластической области. Будем называть их условиями пластического подобия.

Условия подобия перехода металла в пластическое состояние можно получить, записав условие Губера-Мизеса для модели и натуры через масштаб напряжений n_σ:

,

где σ_i – интенсивность нормальных напряжений.

где – предел текучести металла при данной температуре.

Отсюда получается: (3.7)

Т.к. геометрический масштаб не входит в условия пластичности, то масштаб напряжений n_σ можно выбирать произвольно. При одинаковых материалах модели и натуры n_σ = 1, т.е. переход в пластическое состояние произойдет при одинаковых полях напряжений.

Течение пластических сред в общем случае описывается уравнениями Прандтля-Рёйсса:

Условие упругого подобия выяснено ранее. Поэтому достаточно рассмотреть вторые слагаемые данных уравнений. Запишем выражения для приращения пластических деформаций натуры и модели в виде отношения, учитывая, что они равны вследствие геометрического подобия:

Т.к. условие пластичности выполняется и при развитых деформациях, то . Поэтому:

(3.8)

Зависимость сопротивления деформации от степени и скорости деформации и температуры находится на феноменологической основе, путем аппроксимации экспериментальных кривых упрочнения, полученных на пластометрах. Воспользуемся результатами исследований Л.Андреюка и Г.Тюленева:

, (3.9)

где σ_од – базисное сопротивление деформации при ε = 0,1, ξ = 1с^-1, t = 1000⁰С.

Запишем (3.8) через соотношения (3.9) для модели и натуры:

Поэтому масштаб напряжений:

(3.10)

Соотношение (3.10) получено в предположении изотермичности процесса деформации. Использование материалов с одинаковыми параметрами а,b,с обеспечивает реологическое подобие модели и натуры. При одинаковом материале модели и натуры:

(3.11)

Если желательно, чтобы поля напряжений в модели и натуре были одинаковыми, т.е. n_σ =1, нужно выполнить условие:

(3.12)

В противном случае соотношение (3.11) дает коэффициент пересчета напряжений модели в напряжения натуры.

Если одинаковы материалы и температуры модели и натуры;

,

т.е. длительность процесса деформации должна быть одинаковой.

3.3 Условия подобия по теплообмену

Как известно, все процессы деформации не изотермичны, т.к.

происходит остывание металла в результате теплообмена со средой и

инструментом и его нагрев в результате диссипации энергии пластического деформирования. Теплообмен идет тремя процессами:

1. Теплопроводностью через поверхности контакта металла с инструментом и технологической оснасткой;

2. Излучением в пространство;

3. Теплоотдачей воде из систем охлаждения и воздуху (в результате свободной и вынужденной конвекции).

Кроме того, металл нагревается вследствие пластической деформации и контактного трения. При горячей прокатке основная часть тепла теряется в результате излучения, при холодной – за счет теплопередачи инструменту.

Критерий подобия по теплопроводности следует из уравнения Фурье:

,

где а – коэффициент температуропроводности:

,

где λ – коэффициент теплопроводности, [Вт/м⁰К];

с_m – массовая удельная теплоемкость, [Дж/кг⁰К];

ρ – плотность металла, [кг/м³].

Критерий Фурье выражает соответствие между темпом изменения температуры в окружающей среде и в металле:

(3.13)

где F – площадь контакта, по которому идет теплообмен, [м²];

Критерий Фурье не является прямым условием подобия. Он

только указывает на моменты времени, в которые температурные поля

модели и натуры будут одинаковыми. При одинаковых материалах модели и натуры:

(3.14)

Т.о. за счет теплопроводности модель остывает в n² раз быстрее, чем натура.

Условие подобия по излучению следует из закона Стефана-Больцмана:

,

где Q – количество тепла, [Дж];

K – постоянная излучения абсолютно черного тела: K = 5,67·10^-8 [Вт/м^{2 0}К];

ε_пр – приведенная степень черноты системы (ε_пр < 1);

Т_м, Т_с – абсолютные температуры металла и среды, [⁰К].

Критерий подобия по излучению имеет вид:

(3.15)

где L – характерный размер излучающего тела. В качестве L берется отношение объема тела к площади излучающей поверхности.

Если температуры и материалы модели и натуры одинаковы, то:

(3.16)

Следовательно, за счет излучения тела остывает только в n раз

быстрее, чем натура. Это находится в противоречии с условием подо-

бия по теплопроводности (3.14) и является основной причиной невозможности точного моделирования тепловых процессов ОМД.

Теплообмен на границе остывающего тела описывается уравнением:

,

где α – коэффициент теплоотдачи, [Вт/м^{2 0}К].

Из него следует условие подобия по теплообмену на границе:

(3.17)

Если требуется одинаковость тепловых потоков в модели и в натуре, то подобие обеспечивается выбором значением коэффициента теплоотдачи модели:

(3.18)

Повышение температуры металла в результате пластической деформации равно:

, (3.19)

где А^р – отнесенная к единице объема работа пластической деформации, [Дж/м³];

с_v – объемная теплоемкость среды, [Дж/м^{3 0}К].

Известно, что в пластической области:

.

Ранее показано, что . По (3.19) получаем:

,

где - масштаб моделирования по объемной теплоемкости. При одинаковом материале модели и натуры, используя (3.11), получаем:

(3.20)

Отсюда следует временное условие равенства приращения температуры модели и натуры от теплоты деформации:

(3.21)

Из изложенного видно, что условия подобия различных физических процессов, происходящих при пластической деформации, не только различны, но и взаимно противоречивы. Поэтому точное выполнение всех условий подобия невозможно и приходится прибегать к приближенному моделированию. В этом случае стараются выполнять условия подобия определяющих для данного исследования процессов, а остальными пренебрегают. Это приводит к появлению дополнительных погрешностей, оценить величину которых затруднительно. Поэтому в таких случаях необходимо точность полученных результатов находить по результатам хотя бы небольшого количества опытов, проведенных на натуре.

 

Лекция №4

 

4.1 Подобие условий контактного трения

При горячей ОМД трение на контактных поверхностях между металлом и инструментом, как правило, сухое. Механизм сухого трения состоит в смятии и срезе микронеровностей на поверхностях контакта при их взаимном перемещении. Отсюда следует, что для обеспечения подобия процессов сухого трения необходимо, как минимум, обеспечить:

1. Подобие контактных поверхностей по шероховатости ;

2. Подобие по сопротивлению деформации материалов модели и натуры .

Поскольку на процесс сухого трения влияет окалина, а в зонах скольжения, где действует закон Кулона, также влияет материал трущихся поверхностей, то желательно брать материалы модели и натуры одинаковыми.

В процессах холодной деформации используется технологическая смазка, поэтому трение является полужидкостным. «Сухая» составляющая полужидкостного трения обусловлена средней высотой микронеровностей трущейся пары, а жидкостная подчиняется закону вязкого трения Ньютона:

,

где - напряжение трения между слоями вязкой жидкости, Па;

- коэффициент динамической вязкости, Па·с;

- градиент скорости, где n - нормаль к вектору скорости.

Условия подобия жидкостного трения:

.

Отсюда получается критерий подобия по жидкостному трению:

(4.1)

Однако предпочтительнее условие этого подобия выражать через скорость:

В этом случае:

(4.2)

где L - толщина слоя смазки.

Если желательно, чтобы условия трения в модели и натуре были одинаковыми, т.е. , то тогда:

(4.3)

При одинаковом материале смазки:

(4.4)

Если наоборот, требуется определить величину сил трения в натуре по экспериментально найденным силам трения на модели, то:

.

Кроме того, при холодной ОМД нужно также обеспечивать условие .

4.2. Обеспечение условий подобия при холодной ОМД

При моделировании процессов холодной ОМД необходимо обеспечивать условия геометрического подобия, упругого и пластического подобия, а также подобие процессов выделения тепла при пластической деформации и охлаждения металла вследствие теплопроводности через контактные поверхности. Естественно, требуется также подобие условий внешнего трения.

При одинаковых материалах модели и натуры условие упругого подобия обеспечивается выполнением условия геометрического подобия. При моделировании пластических деформаций масштаб моделирования желательно иметь равным 1, т.к. в этом случае напряжения на контактных поверхностях модели и натуры будут одинаковыми и их можно будет находить по усилиям деформирования. В соответствии с (3.10):

При одинаковых материалах и начальных температурах модели и натуры получаем:

. (4.5)

Для обеспечения этого временного условия необходимо выпол-

нение кинематического условия (4.4).

При одинаковых материалах и начальных температурах приращение температуры заготовки от тепла деформации одинаково, т.к. в этом случае оно зависит только от степени деформации. Остывание металла за счет теплопроводности в указанном случае будет идти в соответствии с временным условием (3.13):

,

для реализации которого нужно выполнение кинематического условия:

. (4.6)

Это противоречит условию (4.4). Но т.к. выполнение условий пластического подобия и подобия по внешнему трению важнее, то при моделировании скорость деформирования модели должна быть в n раз меньше скорости натуры.

4.3. Обеспечение условий подобия при горячей ОМД

При моделировании процессов горячей ОМД необходимо обеспечить условия геометрического подобия, упругого и пластического подобия, подобия условий внешнего трения, а также подобие процессов выделения тепла при пластической деформации и охлаждения металла вследствие теплопроводности через контактные поверхности, излучение и конвекцию.

Проще всего обеспечить физическое подобие при одинаковых материалах модели и натуры и одинаковых температурах начала деформирования. Тогда пластическое подобие обеспечится, как это следует из (3.12), при . Следовательно, основное кинематическое

условие будет (4.4).

Подобие условий трения обеспечивается равенством критериев , т.к. материалы и температуры одинаковы и поэтому условие обеспечивается автоматически.

Сложнее обеспечить подобие тепловых процессов. Если , то по (3.21) одинаковое приращение тепла от диссипации энергии пластического деформирования будет при . Но подобие по излучению требует условия (см.3.16), следовательно, кинематического условия v_м = v_н. Подобие по теплопроводности выполняется при , что требует v_м = v_н n. Очевидно, что эти условия несовместимы. Поэтому точное моделирование процессов горячей ОМД невозможно и приходится довольствоваться приближенным моделированием.

Если условия в начале моделирования соблюдены. то в начальный момент времени погрешность моделирования будет отсутствовать. Однако со временем она будет нарастать, т.к. расхождение в требованиях подобия различных процессов будет увеличиваться. Отсюда ясно, что при моделировании процессов горячей ОМД следует длительность процесса делать минимальной., а если это не возможно - то разбивать процесс на несколько стадий. Например, прокатку в несколько проходов осуществлять в виде нескольких опытов, моделирующих каждый проход отдельно с выполнением всех требуемых теорией подобия начальных условий. В всех случаях нужно точно выполнять условия подобия основного в данном эксперименте процесса, а остальные усло-

вия - по мере возможности, учитывая отступления от условий подобия соответствующими поправками.

Например: т.к. основная доля тепла при ОМД теряется за счет излучения, то погрешность моделирования будет минимальной при выполнении временного условия (3.16) . Подобие по теплу деформации при одинаковых материалах и температурах модели и натуры требует временного условия (4.5). При этом погрешность по теплу деформации по (3.20) составит:

Для стали 3сп при масштабе моделирования n = 10:

Охлаждение теплопроводностью идет в основном через контактные поверхности с инструментом. Между металлом и инструментом всегда есть слой окалины. Следовательно, идет процесс теплопередачи. При наличии температурного скачка на границе раздела двух тел тепловой поток через нее описывается уравнением, аналогичным конвективному:

,

где α в этом случае называется коэффициентом теплопередачи. С дру-

гой стороны, при тех же условиях, тепловой поток за счет теплопроводности равен:

.

Приравняв правые части этих уравнений, получаем условие:

. (4.7)

Это - условие равенства тепловых потоков у модели и у натуры. Если исследуется не сам процесс теплопередачи, то в условии (4.7) нет необходимости. Изменяя тепловые потоки модели, можно приблизить условия теплопередачи в инструмент к натурным. Для этого критерий Фурье нужно представить в виде:

Выразим λ через α, используя (4.7) и полученное подставим в предыдущее уравнение. Получим:

.

При принятых условиях моделирования это дает . Следовательно, если , то временные условия по излучению и по теплопроводности совпадают. Обеспечить условие можно , создав слой окалины у модели тоньше, чем у натуры.

ТЕМА 2. ПЛАНИРОВАНИЕ АКТИВНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

 

Лекция №5

5.1 Основные понятия планирования эксперимента

В активном эксперименте условия опыта изменяются по специально разработанной программе – плану эксперимента. Поэтому факторы обязательно должны быть управляемыми. Другое условие активного эксперимента – совместимость факторов, т.е. возможность реализации любого сочетания значений факторов без нарушения условий существования исследуемого объекта. Факторы также должны быть некоррелированными между собой для того, чтобы их значения можно было изменять независимо друг от друга. Без выполнения этих трех условий проведение активного эксперимента невозможно.

Возможность управления факторами активного эксперимента позволяет планировать его так, чтобы он удовлетворял определенным критериям оптимальности. Это повышает эффективность эксперимента, т.к. позволяет минимизировать число опытов при одновременном повышении точности и надежности получаемых результатов.

План эксперимента – это совокупность значений факторов и числа параллельных опытов (дублей) в заданной области планирования факторного пространства.

Факторное пространство – это множество, каждая точка которого соответствует определенному сочетанию факторов Х_і данного объекта исследований.

Размерность факторного пространства равна числу факторов.

Часть факторного пространства, внутри которой изменяются

значения факторов, называется областью планирования фактор-

ного пространства.

На рисунке 5.1 показана кубическая область планирования в 3-х мерном факторном пространстве.

Рисунок 5.1 – Область планирования

 

Уровнем фактора называется конкретное значение (величина) фактора.

Обычно различают верхний уровень (максимальное значение фактора), нижний (минимальное) и нулевой (среднее значение). Уровни могут быть любыми в интервале изменения данного фактора.

Один и тот же эксперимент можно спланировать по разному в зависимости от целей исследования и имеющихся возможностей. Соответственно этому имеются различные виды планов.

Для получения линейных моделей используют планы первого порядка (полные, дробные, симплексные); для нелинейных – второго и более высоких порядков (симметричные и несимметричные, композиционные и т.д.).

В зависимости от критерия оптимальности различают:

1. Рототабельные планы – обеспечивают одинаковую дисперсию предсказания отклика по уравнению регрессии на фиксированном расстоянии от центра плана (рис.5.2);

2. Униформные планы – обеспечивают одинаковую дисперсию отклика в некоторой подобласти факторного пространства (рис.5.3).

Рисунок 5.2 – Рототабельный Рисунок 5.3 – Униформный

план план

 

3. А, D, E, G – оптимальные планы и др. Например в G – оптимальном плане минимизируется максимальная дисперсия отклика.

5.2 Полный факторный эксперимент

Исторически одним из первых планируемых экспериметнов был полнгый факторный эксперимент. Предназначен для получения регрессионных моделей вида:

Такие модели являются квазилинейными, т.к. в них входят

эффекты взаимодействий между факторами (парные, тройные и т.д.).

Полный факторный эксперимент – это эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней варьирования (изменения) факторов.

Кратко полный факторный эксперимент обозначается ПФЭ. Чаще всего применяются планы с варьированием факторов на двух уровнях: верхнем и нижнем. Они обозначаются , где n – число факторов. Планы типаприменяются редко, т.к. резко возрастает число опытов:

N(ПФЭ 2⁴) = 2⁴ = 16; N(ПФЭ 3⁴) = 3⁴ = 81 т.д.

Планирование активных экспериментов состоит из нескольких этапов, которые мы рассмотрим на примере ПФЭ .

1. Кодирование факторов. Необходимо для перевода натуральных значений факторов в значения +1 и –1 (при варьировании на 2-х уровнях) для построения стандартной ортогональной матрицы плана эксперимента. Кодирование осуществляется при помощи таблицы. Например:

Таблица 5.1

Таблица кодирования факторов

Уровень фактора и интервал варьирования	Температура деформирования 0С	Абсолютная деформация мм
Верхний уровень; Хi= +1
Нижний уровень; Xi = –1
Нулевой уровень; хi0 = 0
Интервал варьирования; Δi

В качестве нулевого уровня берется центр интервала изменения

данного параметра. Этот интервал определяется условиями эксперимента. Связь между кодированными и натуральными значениями факторов выражается соотношением

(5.1)

2. Составление матрицы плана эксперимента. Для ПФЭ 2² эта процедура очевидна. При добавлении каждого следующего фактора (Х₃ и т.д.) уже существующая матрица удваивается, а столбец нового фактора записывается со значениями +1 и -1 для каждого блока 2^n-1. Например:

Таблица 5.2

План ПФЭ 2³

№ опыта	х1	х2	х3
	+1	+1	+1
	+1	−1	+1
	−1	+1	+1
	−1	−1	+1
	+1	+1	−1
	+1	−1	−1
	−1	+1	−1
	−1	−1	−1

 

Чтобы сократить запись обычно в матрице плана ставят просто + и −, без 1.

Полученный таким образом план является ортогональным, поскольку выполняется условие:

при i ≠ j (5.2)

т.е. сумма попарных произведений любых двух разных столбцов матрицы плана равна нулю. Действительно, например для ПФЭ 2²

Σ = (+1)(+1)+(+1)(-1)+(-1)(+1)+(-1)(-1) = 0

3. Рандомизация опытов. Т.к. на отклик помимо факторов влияют и помехи, то для выполнения 3-й предпосылки регрессионного анализа нужно порядок проведения опытов сделать случайным.

4. Реализация плана эксперимента. Результаты опытов записываются в расширенную матрицу эксперимента, которая содержит знаки эффектов взаимодействий, значения откликов в каждом опыте у_i , средние значения и строчные дисперсии . Например для ПФЭ 2²:

Таблица 5.3

№	x1	x2	x1x2	yi1	yi2	yi3
	+	+	+
	+	–	–
	–	+	–
	–	–	+

 

Необходимо также проводить дополнительный опыт в центре плана (на нулевом уровне) для проверки адекватности линейной модели.

5. Оценка коэффициентов регрессии и свободного члена. Благодаря ортогональности плана ПФЭ оценивание коэффициентов регрессии существенно упрощается, т.к. нет необходимости решать систему нормальных уравнений МНК. Каждый коэффициент регрессии находится по своей формуле

(5.3)

где – номер опыта;

– номера факторов ().

В результате получается функция регрессии в кодированных значениях факторов. Например, для ПФЭ 2²

Проверка правильности вычислений производится подстановкой кодированных значений факторов для одного из опытов в функцию регрессии. Отклик этого опыта должен получиться с точностью до ошибок округлений.

6. Декодирование модели. Необходимо для получения уравнения регрессии в натуральных значениях факторов.

7. Статистическая обработка эксперимента и модели. В принципе она проводится так же, как и обработка пассивного эксперимента. Встречаются только некоторые отличия в формулах, обусловленные особенностями планов.

 

Лекция №6

6.1 Дробный факторный эксперимент

Полный факторный эксперимент позволяет получить весьма обширную информацию об исследуемом объекте. Однако с ростом числа факторов сильно возрастает число опытов

при n = 2 N = 2² = 4; при n=5 N = 2⁵ = 32; при n = 8 N = 2⁸ = 256.

При n ≥ 3 эта информация часто становится избыточной, т.к. обычно эффекты тройных и более высоких порядков слабо влияют на отклик, т.е. являются не значимыми по критерию Стьюдента. При проверке значимости они отбрасываются и получается, что было проделано много лишних опытов. Т.о. возникает необходимость в построении более экономичных, чем ПФЭ, планов для получения линейных моделей, за счет исключения эффектов взаимодействий высоких порядков.

Рассмотрим простейший случай ПФЭ 2². С его помощью можно получить квазилинейную модель

Если есть основание полагать, что в интервалах изменения факторов х₁ и х₂ парный эффект х₁х₂ несущественен, то достаточно 3-х опытов вместо 4-х (поскольку N должно быть не менее, чем d+1). Следовательно, один опыт ПФЭ лишний. Его можно использовать для того, чтобы вместо х₁х₂ исследовать новый, третий фактор х₃. Для этого в матрице плана ПФЭ 2² нужно приписать знаки столбца х₁х₂ фактору х₃. В результате получится матрица плана для 3-х факторов (табл.5.1).

По результатам опытов такого плана можно получить модель, содержащую только линейные эффекты

 

Таблица 6.1

Матрица плана для трех опытов

№ опыта	х1	х2	х1 х2 = х3
	+	+	+
	+	–	–
	–	–	+
	–	+	–

 

Полученный план называется дробным факторным, поскольку его матрица является частью ПФЭ 2³ . Для обозначения дробного факторного эксперимента применяется выражение ДФЭ 2^n-p, где р - количество взаимодействий ПФЭ, замененных новыми факторами. Если р=1, то ДФЭ 2^n-1 называется полурепликой от ПФЭ 2ⁿ; если р = 2 – то четвертьрепликой и т.д. Следовательно выше был рассмотрен план ДФЭ 2^3-1 (вычитания в степени нет).

6.2 Планирование дробных факторных экспериментов

Одно и тоже число коэффициентов регрессии в модели могут давать ДФЭ с разным числом факторов. Например, ДФЭ 2^7-4 и ДФЭ^5-2. Однако в первом случае можно исследовать 7 линейных эффектов, а во втором – только 5 (остальные два будут смешанными). Поэтому последовательность планирования, если интересуют только линейные эффекты, должна быть следующей:

1. Установить, какое число эффектов (в данном случае оно совпадает с числом факторов) нужно исследовать. Пусть n = 7.

2. Определить, сколько понадобится опытов:

N = d+1. В нашем примере N = 7+1 = 8.

3. Найти вид реплики, исходя из:

2^7-р ≤ 2ⁿ = 8. Отсюда n = 3, a 7-p ≤ 3. Следовательно, р = 4.

Следовательно, планируется ДФЭ как 1/16-реплика от ПФЭ 2⁷.

4 Составить матрицу ДФЭ:

№ опыта	х1	х2	х3	х1х2 = х4	х1х3 = х5	х2х3 = х6	х1х2х3 = х7
	+	+	+	+	+	+	+
	–	+	+	–	–	+	–
	+	–	+	–	+	–	–
	–	–	+	+	–	–	+
	+	+	–	+	–	–	–
	–	+	–	–	+	–	+
	+	–	–	–	–	+	+
	–	–	–	+	+	+	–

 

Если в модель нужно ввести также эффекты взаимодействий, то построение плана ДФЭ начинается с составления списка существенных переменных. Например, пусть для 4-х факторного эксперимента существенными будут переменные:

х₁, х₂, х₃, х₄, х₁х₂, х₁х₃, х₂ х₃

Тогда несущественными будут все остальные переменные данного эксперимента:

х₁х₄, х₃х₄ , х₂х₄ , х₁х₂х₃ , х₁х₂х₄ , х₂х₃х₄ , х₁х_{3 4.}, х₁х₂х₃х₄

В этот список могут входить только эффекты ПФЭ 2ⁿ, трансформируемого в ДФЭ 2^n-p.

Качество результатов, получаемых при помощи ДФЭ, зависит от правильности списка существенных переменных, который обычно составляется на основе априорной информации. Если какая-либо существенная переменная не будет включена в этот список, то получить работоспособную модель будет нельзя, т.к. в плане эксперимента появятся полностью совпадающие или полностью противоположные столбцы. Из-за этого нарушится ортогональность плана эксперимента и станет невозможным раздельное оценивание коэффициентов регрессии.

Например, пусть в рассмотренном выше ДФЭ 2^3-1 в списке существенных переменных х₁ , х₂ , х₃ упущены существенные переменные х₁х₂ , х₂х₃, х₁х₃. Тогда по матрице плана, представленной в таблице 6.2, видно, что столбец х₁х₃ совпадает с х₂, х₂х₃ – с х₁, а х₁х₂ – с х₃.

Таблица 6.2

Смешивание эффектов ДФЭ

№опыта	х1	х2	х1 х2 = х3	х 1х3	х2 х3
	+	+	+	+	+
	+	–	–	–	+
	–	–	+	–	–
	–	+	–	+	–

 

В результате оценки коэффициентов регрессии окажутся смешанными

.

Поэтому при построении плана ДФЭ весьма важно знать, как будут смешиваться эффекты, чтобы использовать тот вариант плана, в котором интересующие исследователя существенные эффекты будут смешиваться с несущественными и поэтому нарушение ортогональности плана будет минимальным.

6.3 Определяющий контраст и генерирующее соотношение

Условие смешивания эффектов в матрице плана ДФЭ задается

определяющим контрастом (ОК), который зависит от того, какое взаимодействие в матрице исходного плана ПФЭ заменено новым линейным эффектом. В случае плана по табл. 5.1 это

х₁х₂ = х₃

Это выражение называется генерирующим соотношением. Умножив генерирующее соотношение на х₃, получим

х₃² = х₁х₂х₃

Поскольку х² всегда равно 1, то

1 = х₁х₂х₃

Это выражение и является ОК в данном случае. Для определения системы смешивания нужно ОК умножить на интересующий эффект. Например:

х₁ смешан с: х₁ = х₁² х₂ х = х₂ х₃

х₂ смешан с: х₂ = х₁ х₂² х₃ = х₁ х₃

х₃ смешан с: х₃ = х₁ х₂ х₃² = х₁ х₂

Попытаемся получить ортогональный план ДФЭ 2^4-1 для вышеприведенного списка существенных переменных:

х₁, х₂, х₃, х₄, х₁х₂, х₁х₃, х₂ х₃.

Зададимся генерирующим соотношением

х₄ = х₁ х₂ х₃

Тогда ОК будет

1 = х₁х₂х₃х₄

Система смешивания

а₁ → α₁ + α₂₃₄

а₂ → α₂ + α₁₃₄

а₃ → α₃ + α₁₂₄

а₄ → α₄ + α₁₂₃

а₁₂ → α₁₂ + α₃₄

а₁₃ → α₁₃ + α₂₄

а₂₃ → α₂₃ + α₁₄

Т.о. получен план ДФЭ, в котором нет смешивания существенных и несущественных эффектов.

Возможен случай, когда перебор всех вариантов смешивания не даст требуемого результата. В таком случае необходимо изменить набор ведущих факторов (факторов, для которых записывается ПФЭ 2ⁿ. В нашем примере это х₁, х₂, х₃ ).

 

 

Лекция № 7

Планы второго порядка

(7.1) применяются планы второго порядка. По сравнению с планами 1-го порядка они сложнее по структуре,

Центрально-композиционные планы

Рисунок 7.2 – Центрально-композиционный план  

Несимметричные композиционные планы

Несимметричные планы также могут быть центрально-композицизонными. К ним относятся планы Хартли и Вестлейка, которые целесообразно применять при n… Таблица 7.1 Ортогональный центрально-композиционный план для 3-х факторов № опыта Х1 Х2 Х3 …

Лекция №8

Особенности статистической обработки факторных

Экспериментов

1.Проверка воспроизводимости результатов ПФЭ и ДФЭ, т.е. постоянства дисперсии воспроизводимости, являющейся первой предпосылкой РА, возможна при… (8.1) где – максимальная дисперсия в одном из опытов;

Статистическая обработка экспериментов второго порядка

Оценка производится МНК, но для планов 2-го порядка в общем случае не существует простых формул типа (8.3). Такие формулы можно получить только для… (8.7)

ТЕМА 4. ПРИКЛАДНОЙ РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ

Лекция № 9

Регрессионный анализ пассивных экспериментов

х1    

Основные положения классического РА

Для понимания сущности процедур прикладного РА нужно вспомнить основные предпосылки классического РА. Их пять:

1. Помеха эксперимента е_i (где номер опыта i принимает значения 1,2...N) является случайной величиной с нулевым математическим ожиданием: μ(е) = 0. Вследствие этого и отклик у_i также является случайной величиной с распределением того же вида, что и у помехи е_i, т.к. y_i = x_i + е_i.

2. Случайная помеха е_i распределена по нормальному закону. Эта предпосылка на практике обычно выполняется, т.к. согласно центральной предельной теореме влияние множества случайных факторов с примерно одинаковыми дисперсиями эквивалентно влиянию одной помехи с нормальным распределением.

3. Значения помехи е_i в различных опытах не коррелированны между собой и имеют одинаковую дисперсию:

σ²(е) = const. (9.1)

Это условие называется условием однородности (гомоскедастичности) наблюдений. Оно означает, что распределение интенсивности случайной помехи не изменяется ни при изменении факторов, ни с течением времени, в которое производились наблюдения.

4. Матрица эксперимента, называемая матрицей регрессоров:

(9.2)

не случайна. В (9.2) вместо х_ij могут быть и базисные функции f_ij(x_ij). Эта предпосылка нарушается, если факторы измеряются или устанавливаются с ошибками (естественно, случайными).

5. Факторы х_i должны быть не коррелированными между собой. Это обеспечивает раздельные оценки коэффициентов регрессии и предотвращает появление больших ошибок вычислительного характера при расчете этих оценок. В этом случае ранг матрицы (9.2) равен числу коэффициентов в модели k. Рангом матрицы называется наивысший порядок отличного от нуля минора. Данная предпосылка нарушается. если число опытов N < k. Но и при N ≥ k она может нарушаться, если в матрице (9.2) между некоторыми столбцами существует линейная зависимость. Она возникает при кореллированности факторов.

Мультиколлинеарность и ее причины

Если существует только приблизительная, неточная линейная зависимость между вектор-столбцами (9.2), то при проведении РА возникает явление… 1. Неустойчивость оценок. Добавление или исключение небольшого количества… 2. Численная неустойчивость процедуры оценивания, вызванная ошибками округления при машинном счете и накоплением этих…

Выявление мультиколлинеарности

Внешним признаком мультиколлинеарности после проведения РА являются слишком большие значения коэффициента регрессии и их дисперсий S2(ai). Однако… (9.3) Если хотя бы один из rij матрицы (9.3) больше 0,9, то между соответствующими факторами имеется сильная корреляционная…

Лекция № 10

Предупреждение мультиколлинеарности

Очевидно, что чем ближе det R к единице, тем мультиколлинеарность будет меньше. Для этого нужно так готовить эксперимент, чтобы корреляции между факторами не появлялись, а если они имеются вследствие особенностей исследуемого объекта – то устранять их.

Искусственное "наведение" корреляции между факторами x_i особенно просто возникает при проведении модельных экспериментов, когда факторы представляются в безразмерном виде. Например, процесс простой прокатки описывается 4 геометрическими факторами: Н, Δh, D и B. В безразмерном виде они превращаются в 3 симплекса:

H/H; D/H; B/H.

Требуемая величина этих симплексов может быть получена при варьировании только 3 факторами их 4-х, что создает искушение не менять один из параметров процесса – чаще всего диаметр валков. Но при этом возникает сильная корреляция между симплексами, т.к. например изменение ε посредством изменения Н автоматически ведет и к изменению D/H, если D = const. Поэтому варьировать следует всеми размерными параметрами процесса.

Самым радикальным средством предупреждения мультиколлинеарности, естественно, является проведение эксперимента по плану. Но если это невозможно, то следует пытаться добавлять экспериментальные точки, лежащие в факторном пространстве как можно далее от основного массива. Например, провести опыты с такими значениями температур или степеней деформаций, которые не встречаются в реальном технологическом процессе, но допустимы для оборудования.

Обработка "плохих" данных

Прежде сего в таких случаях рекомендуется применять методы решения системы нормальных уравнений т.н. устойчивыми методами. Как известно, результаты эксперимента записываются в расширенную матрицу…  

Методы предварительного центрирования независимых переменных и регуляризации

Предварительное центрирование осуществляется вычитанием средних арифметических из их наблюдаемых значений: .

Br = (FTF+rI)-1FTy

называются регуляризованными оценками, а r – параметром регуляризации. Регуляризация связана с добавлением числа r к диагональным элементам матрицы F^TFи поэтому ее вычислительная реализация исключительно проста.

Регуляризованные оценки оказываются смещенными и величина смещения равна:

(10.2)

Главной проблемой в этом методе является выбор параметра регуляризации. Выбор слишком больших rможет увеличить среднеквадратичную ошибку определения β. Трудность обусловлена тем, что как смещение (9.2), так и величина минимизируемой среднеквадратичной ошибки зависят от неизвестных истинных значений коэффициентов регрессии. Поэтому предлагается несколько не строгих методов определения r.

Метод гребневого следа (ридж-регрессии) состоит в построении графика зависимости коэффициентов регрессии от параметра регуляризации r (рис.10.1).

 

Рисунок 10.1– К определению параметра регуляризации

Проводится РА обычным МНК при различных значениях r и по результатам строится график (10.1). По графику на глаз определяется то значение параметра, при котором оценки β стабилизируются. Его и принимают за оптимальное значение r. Слишком большое значение r принимать не рекомендуется, т.к. это сильно увеличивает смещение оценок и среднеквадратичную ошибку. Отмечается, что при правильно выбранномr оценки коэффициентов регрессии уже не имеют неправдоподобно больших величин по сравнению с функциями f_j, влияние которых на отклик они отражают, а те оценки, которые при r = 0 имели явно неверные знаки, меняют их на правильные.

Этот подход критикуется как субъективный и сильно зависящий от выбора масштаба графика. Поэтому его следует считать ориентировочным и в каждом конкретном случае пытаться обосновать полученные результаты с точки зрения дополнительной информации о возможных значениях коэффициентов регрессии.

 

 

Лекция № 11

Регрессионный анализ при наличии ошибок в факторах

Ошибки установки возникают из-за того, что выбранные по плану эксперимента требуемые уровни факторов Хiтр не могут быть реализованы из-за случайным… , (11.1) где δХi – случайная ошибка установки факторов.

Методы получения несмещенных оценок при ошибках

В измерении факторов

Идея метода инструментальных переменных состоит в том, что ищется новая переменная ξi такая, что в каждом i-том опыте она сильно коррелированна… 1. ξi = –1, если ; ξi = +1, если ; ξi = 0, если , т.е.… 2. ξi –запаздывающая переменная, т.е. ξi = Хi–1.Предполагается, что

РЕКОМЕНДОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Налимов В.В. Теория эксперимента. М.: Наука, 1971.- 207с.

2. Шенк Х. Теория инженерного эксперимента. М.: Мир, 1972.- 380с.

3. Чиченев Н.А.Автоматизация экспериментальных исследований. М.: Метал-лургия, 1983.- 256с.

4. Чижиков Ю.М. Теория подобия и моделирование процессов ОМД. М.: Металлургия, 1970.- 295с.

5. Гухман А.А. Введение в теорию подобия. М.: Высшая школа, 1963.- 254с.

6. Кутателадзе С.С. Анализ подобия в теплофизике. Новосибирск: Наука. 1982.-280с.

7. Мочернюк Д.Ю. Физическое моделирование инженерных процессов. Львов: Вища школа. 1987.-182с.

8. Красовский Г.И., Филаретов Г.Ф. Планирование экспериментов. Минск, изд- во БГУ, 1982.- 302с.

9. Новик Ф.С., Арсов Я.Б. Оптимизация процессов технологии металлов методами планирования экспериментов. М.: Машиностроение, 1980.- 304с.

10. Джонсон Н., Лион Ф. Статистика и планирование эксперимента в технике и науке. М.: Мир, 1981.- 516с.

11. Вучков И., Бояджиева Л., Солаков Е. Прикладной линейный регрессионный анализ. М.: «Финансы и статистика», 1987.- 238с.