Планы второго порядка

Если не удается получить приемлемую аппроксимацию экспериментальных данных линейными моделями, то для получения нелинейных по факторам моделей при проведении активных экспериментов используют планы более высоких порядков, чем 1-й. В частности, для получения моделей в виде полиномов 2-й степени

(7.1)

применяются планы второго порядка.

По сравнению с планами 1-го порядка они сложнее по структуре,

имеют большее число точек опытов и большее число уровней варьирования факторов (не менее 3-х). Поэтому и число опытов у них больше

,

где n – число факторов.

Например, для получения линейной модели при n = 3 число опытов будет равно: N = (n+1) = 4; для получение нелинейной в виде полинома второго порядка – N = 0,5[(3+1)(3+2)] =10.

Факторное пространство может иметь форму К-мерного гиперкуба |Х| ≤ 1 или К-мерного гипершара . Но у композиционных планов форма этой области зависит и от используемого при достройке плана 2-го порядка критерия оптимальности и числа факторов. По результатам оытов посредством МНК получают выборочные оценки коэффициентов регрессии и свободного члена моделей (7.1).

Известно много разновидностей планов второго порядка, отличающихся как критериями оптимальности, так и степенью простоты и наглядности их получения (рис.7.1). Все они делятся на две большие группы: симметричные и несимметричные.

Симметричные планы характерны большей упорядоченностью в расположении точек в факторном пространстве по сравнению с несимметричными. Для них имеются достаточно простые соотношения для оценок коэффициентов регрессии, их выборочных дисперсий и ковариаций.

Несимметричные планы менее удобны, т.к. последовательности изменения факторов у них разнообразны и существенно усложнены расчеты оценок тех или иных параметров. Но они обычно более экономны по количеству опытов. Имеется возможность построения планов, у которых число опытов равно числу параметров регрессионной модели, т.н. насыщенных планов. Поэтому планы 2-го порядка делятся на насыщенные и ненасыщенные (но, как правило, близкие к насыщению).

Композиционные планы представляют собой комбинации линейных планов 1-го порядка, которые в этом случае называются "ядром" плана, и добавленных к ним т.н. "звездных точек", которые спнциальным образом расположены в факторном промтранстве. Достоинством композиционных планов является возможность "достройки" эксперимента до получения полинома 2-го порядка в случае, если линейная модель оказалась неадекватной. В этом случае эксперимент не начинается заново, а продолжается с использованием ранее полученных результатов в "ядре" путем добавления новых опытов в "звездных точках".

Рисунок 7.1 − Классификация планов 2-го порядка