Второй закон Кирхгофа

Рис. 2.20

2.1.7. Уравнение баланса мощности в электрических цепях.

Например, рис.2.21

Рис. 2.21

 

2.2. Эквивалентные преобразования схем

Эквивалентным называется преобразование, при котором напряжения и токи в частях схемы, не подвергшихся преобразованию, не меняются

2.2.1.Последовательное соединение элементов электрических цепей

 

отсюда получаем:

2.2.2. Параллельное соединение элементов электрических цепей

Пусть электрическая схема содержит три параллельно включенных сопротивления. Эквивалентная проводимость

Эквивалентное сопротивление схемы, состоящей из n одинаковых элементов, в n раз меньше сопротивлений R одного элемента

Возьмем схему (рис. 2.24), состоящую из двух параллельно включенных сопротивлений. Известны величины сопротивлений и ток в неразветвленной части схемы. Необходимо определить токи в параллельных ветвях.

Эквивалентная проводимость схемы

,

а эквивалентное сопротивление

Напряжение на входе схемы

Токи в параллельных ветвях

Аналогично

2.2.3. Преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду и звезды сопротивлений в эквивалентный треугольник

2.3. Расчет цепей постоянного тока

Как было отмечено в предыдущих разделах, в цепи постоянного тока ветви, содержащие конденсаторы, разомкнуты, а катушки индуктивности – короткозамкнуты, следовательно цепи постоянного тока состоят из источников энергии и резисторов.

Рассчитать электрическую цепь – означает определить токи во всех ветвях цепи и напряжения на всех элементах.

Все методы расчета основываются на двух физических законах – законах Кирхгофа.

2.3.1. Методы расчета электрических цепей.

Рассмотрим следующие методы расчета:

· метод токов ветвей (метод уравнений Кирхгофа);

· метод контурных токов;

· метод узловых напряжений.

Кроме того, в данном разделе сформулируем некоторые теоремы, которые облегчают расчеты электрических цепей.

2.3.2. Расчет токов и напряжений в параллельно-последовательных цепях.

При расчете электрических цепей полезно следующее правило: если цепь содержит единственный источник энергии, расчет проще всего проводить путем преобразования сопротивлений. Поэтому прежде, чем приступить к расчету сложных электрических цепей, проведем анализ схемы рис.2.26. Цепь содержит три ветви: E,R₁; R₂; R₃; и два узла: a; b. Обозначим токи в ветвях: I₁, I₂, I₃ и произвольно зададимся положительным направлением токов, показанными на рис. Необходимо рассчитать токи I₁, I₂, I₃, для чего используем эквивалентные преобразования сопротивлений.

Резисторы R₂ и R₃ подключены к одним и тем же узлам, находятся под одним и тем же напряжением, т.е. включены параллельно. Можно найти эквивалентное сопротивление а цепь приобретает вид, показанный на рис. б. Элементы R₁ и R_Э23 схемы включены последовательно, т.к. через них проходит один и тот же ток I₁, и могут быть заменены одним сопротивлением R_Э123 = R₁ + R_Э23. Схема приобретает вид – рис. в.

По 2-му закону Кирхгофа записываем

E = I₁ · R_Э123 , откуда,

.

Возвращаясь к рис. б, можно видеть, что напряжение между узлами a – b находится как

Токи I₂ и I₃ в ветвях по закону Ома равны

или

Ток в ветви равен току в неразветвленной части цепи, умноженному на дробь, в знаменателе которой – сумма сопротивлений двух параллельных ветвей, а в числителе – сопротивление противоположной ветви.

2.3.3. Число независимых уравнений, составляемых по 1-му закону Кирхгофа

Рассмотрим схему рис.. Для нее заданы все ЭДС и величины сопротивлений. Определим число независимых уравнений, которые можно составить для этой схемы по 1-му закону Кирхгофа.

Зададимся произвольно положительным направлением тока в каждой ветви – рис. 2.27. (I₁ - I₆). Цепь содержит три узла: 1, 2, 3. Для каждого из них составим уравнение по 1-му закону Кирхгофа, принимая токи, направленные к узлу, положительными, а направленные от узла – отрицательными.

1 узел : I3 + I4 + I5 - I6 = 0 (а) 2 узел : I1 + I2 - I3 - I4 = 0 (б) 3 узел : I6 - I1 - I2 - I5 = 0 (в).

Легко видеть, что, если сложить уравнение (а) и (б) и умножить на (-1), получиться уравнение (в) для третьего узла. Следовательно, два уравнения для этой схемы являются независимыми, а третье – зависимое, так как может быть получено из двух предыдущих. Можно убедиться, что для любой схемы, содержащей n_у узлов, можно составить N = (n_у -1) независимых уравнений по 1-му закону Кирхгофа. Выбор узлов схемы в качестве независимых – произволен, целесообразно учитывать лишь объем вычислений.

 

3.3.4. Число независимых уравнений, составляемых по 2-му закону Кирхгофа

Рассмотрим схему, изображенную на рис.. Примем за положительные направления токов и напряжений, показанные на рис. 2.28.. В этой схеме можно выделить достаточно большое число замкнутых контуров. Составим уравнения по 2-му закону Кирхгофа для некоторых из них, выбрав направление обхода по часовой стрелке.

контур а– б– в– г : -E1 - E2 = U1 + U3 - U4 ; (a) контур в– д– е– г : E2 - E4 = -U2 - U5 - U3 ; (б) контур а– г– е– ж : E3 = U4 + U5 ; (в) контур а– б– д– е– ж : -E1 - E4 +E3 = U1 - U2 (г) и так далее.

Легко видеть, что сложение уравнений (а), (б) и (в) дает уравнение (г), следовательно, уравнение (г) будет зависимым.

Анализ схемы любого вида показывает, что, если схема содержит n_в ветвей и n_у узлов, то по 2-му закону Кирхгофа можно составить n_в - n_у +1 независимых уравнений. Выбор контуров в качестве независимых произволен. Для сокращения объема вычислений чаще всего уравнения составляют для элементарных контуров.

2.3.5. Метод токов ветвей.

Последовательность расчета цепи данным методом.

· определяется число ветвей цепи n_в. В каждой ветви произвольно задаемся положительным направлением тока ветви. Число неизвестных токов – n_в, для их определения требуется составить n_в уравнений;

· по 1-му закону Кирхгофа составляется (n_у - 1) независимых уравнений, где n_у – число узлов цепи;

· по 2-му закону Кирхгофа составляется (n_в - n_у + 1) независимых уравнений;

· решая полученную систему из [(n_у - 1) + (n_в - n_у + 1)] = n_в уравнений, находим n_в токов ветвей;

· используя выражение для закона Ома, определяются напряжения между любыми точками цепи.

Для цепи, показанной на рис.2.29 найдем токи ветвей и напряжение U₂₃, если R₁ = R₂ = …= R₉ = 1 кОм, E₁ = 10 B, E₈ = 5 B.

Произвольно выбранные положительные направления токов ветвей показаны на рис. 2.29. Число ветвей n_в = 6, неизвестные токи: I₁ , I₅ , I₆ , I₇ , I₈ , I₉.

Цепь содержит три узла (1, 2, 3) n_у = 3. Участок цепи, охваченный фигурной скобкой – одна электрическая точка. Так как соединительные линии на схемах не обладают ни сопротивлением, ни индуктивностью, ни емкостью, то любая точка на этом участке имеет один и тот же электрический потенциал. По 1-му закону Кирхгофа можно составить n_у - 1 = 2 независимых уравнений. Выбор узлов произволен. Составим уравнения, например для узлов 1 и 2:

узел 1 : I1 = I5 + I6 (a) узел 2 : I6 = I7 + I8 + I9 (б).

По 2-му закону Кирхгофа число независимых уравнений равно n_в - n_у + 1 = 6-3+1=4. В качестве независимых контуров используем элементарные контуры. Направление обхода контуров – по часовой стрелке.

1 контур	R3 – E1 – R1 – R2 – R4 – R5 E1 = I1 (R1 + R2 + R4 + R3) + I5R5	(в)
2 контур	R5 – R6 – R7 0 = I6R6 + I7R7 - I5R5	(г)
3 контур	R7 – E8 – R8 E8 = I8R8 - I7R7	(д)
4 контур	R8 – E8 – R9 -E8 = I9R9 - I8R8	(e)

Уравнения (а) – (е) дают систему из шести уравнений с шестью неизвестными, решая которую, находим токи I₁ , I₅ , I₆ , I₇ , I₈ , I₉

I1 = 2,35 мА	I6 = 1,72 мА	I8 = 3,90 мА
I5 = 0,63 мА	I7 = -1,09 мА	I9 = -1,09 мА

Знак “минус” перед I₇ и I₉ свидетельствует о том, что фактические направления этих токов будут обратными.

Для 8-й ветви , откуда U₂₃ = I₈R₈ - E₈ = 1,09 В

Рассмотрение последовательности решения задач с использованием законов Кирхгофа и Ома и конкретного примера выявляет основной недостаток этого метода – большой объем расчетов, так как система уравнений содержит столько уравнений, сколько ветвей имеет схема. Существуют методы расчета, базирующиеся на физических законах Кирхгофа, но позволяющие уменьшить объем расчетов. Это методы контурных токов и узловых напряжений.

2.3.6. Метод контурных токов

Метод базируется на 2-м законе Кирхгофа, число независимых уравнений в этом случае (n_в - n_у + 1) вместо n_в уравнений предыдущего метода расчета.

Введем в рассмотрение некоторые токи, называемые контурными, которые замыкаются в независимых контурах (это не физические токи цепи).

Сначала получим уравнения методом контурных токов для простейшей схемы, а затем сформулируем общее правило.

Рассмотрим схему рис. 2.30. В схеме n_в = 3, n_у = 2, число независимых уравнений, составляемых по 2-му закону Кирхгофа равно n_в-n_у+1 = 3-2+1 = 2. В качестве независимых контуров примем два элементарных контура, контурные токи в которых обозначим I₁₁, I₂₂ и направим их по часовой стрелке. Произвольно зададимся положительными направлениями токов в ветвях (физически существующие токи), показанными на рис. . Токи в ветвях выражаются через контурные токи следующим образом, I₁= I₁₁, I₂= I₂₂, I₃= I₁₁ - I₂₂ (a)

Рис. 2.30.

Запишем уравнения по 2-му закону Кирхгофа для 1-го и 2-го контуров. I₁(R₁ + R₂) + I₃R₃ = E₁ - E₃ ,I₂(R₄ + R₅) - I₃R₃ = -E₂ + E₄

Используя (а), получим I₁₁(R₁ + R₂ + R₃) - I₂₂R₃ = E₁ - E₃ ,I₂₂(R₄ + R₅ + R₃) - I₁₁R₃ = -E₂ + E₄ .

Физически (R₁ + R₂ + R₃) – собственное сопротивление 1-го контура;
(R₃ + R₄ + R₅) – собственное сопротивление 2-го контура; R₃ – сопротивление общей ветви между 1 и 2 контурами.

Из этого примера видно, что метод контурных токов уменьшил число уравнений в системе до двух вместо трех. Реальные токи в ветвях определяются по соотношениям (а), а напряжения между любыми точками – по закону Ома. Сформулируем правило, по которому можно составить уравнение для контурных токов применительно к схеме, содержащей k контуров. Если I₁₁ , I₂₂ , …, I_kk – контурные токи, то система уравнений будет иметь вид:
, (3.6.1)

где R_ii (сопротивление с одинаковыми индексами) – собственное сопротивление i-го контура (сумма сопротивлений всех ветвей, входящих в контур i); R_ik (сопротивление с разными индексами) – сопротивление ветви, общей между i-м и k-м контурами, если направления контурных токов в общей ветви для контуров i и k совпадают, то R_ik положительно (R_ik >0), если контурные токи направлены в общей ветви встречно, то R_ik отрицательно (R_ik <0); E_ii – алгебраическая сумма ЭДС, действующих в i-м контуре.

Любой контурный ток определяется ,

где D – определитель системы; D _i – определитель D , в котором i-й столбец заменен свободными членами.

Определитель D симметричен относительно главной диагонали, так как физически R_ik=R_ki.

i-й столбец.

Наличие источников тока в цепи позволяет уменьшить число уравнений, составленных методом контурных токов до величины n_в - n_у + 1 - N_T , где N_T – число источников тока. При наличии источников тока следует выбрать так независимые контуры, чтобы через каждый источник тока проходил единственный контурный ток. Тогда этот контурный ток равен току источника и для него уравнение составлять не требуется.

Рис. 2.31

Для схемы рис. 2.31 покажем выбор независимых контуров, составим уравнения методом контурных токов и запишем токи в ветвях. В схеме n_в = 6, n_у = 4, следовательно число уравнений, составляемых методом контурных токов, равно n_в - n_у + 1 = 6 - 4 + 1 = 3, а наличие источника тока уменьшает число уравнений до 2 (n_в - n_у + 1 - N_T = 2). Через источник тока должен проходить единственный контурный ток, поэтому выберем контуры следующим образом: 1 – E₁, R₁, J, R₂, E₃, R₃; 2 – E₁, R₁, R₄, E₄, R₅, R₆, E₃, R₃; 3 – R₃, E₃, R₆, E₇, R₇. Направим контурные токи I₁₁, I₂₂, I₃₃ по часовой стрелке. Для первого контура можем записать I₁₁ = -J, знак “минус” появился из-за того, что контурный ток I₁₁ направлен встречно току источника J. Уравнение для второго контура в соответствие с (3.6.1) имеет вид:

I₂₂(R₁+R₄+R₅+R₆+R₃)+(R₁+R₃)I₁₁ - I₃₃(R₃+R₆) = E₁ – E₄ – E₃.

Уравнение для третьего контура:

I₃₃(R₃+R₆+R₇)– I₁₁R₃ – I₂₂(R₃+R₆) = -E₃ – E₇.

Учтем, что I₁₁ = -J и получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными I₂₂, I₃₃.

-J(R₁+R₃)+I₂₂(R₁+R₄+R₅+R₆+R₃)– I₃₃(R₃+R₆) = -E₁ – E₄ – E₃

JR₃ – I₂₂(R₃+R₆)+I₃₃(R₃+R₆+R₇) = E₃ – E₇.

Рассчитав контурные токи I₂₂ , I₃₃ , запишем реальные токи в ветвях. Для этого произвольно зададимся направлениями токов в ветвях, например, так как показано на рис. . Ток ветви находится как алгебраическая сумма контурных токов: со знаком “плюс” записываются контурные токи, направления которых совпадают с выбранным направлением тока ветви, со знаком “минус” записываются контурные токи, направление которых противоположено выбранному направлению тока ветви.

I1 = I11+I22 ,	I3 = I33 – I11 – I22 ,	I6 = -I33 ,
I2 = I11 ,	I4 = -I22 ,	I7 = I33 .

 

2.4. Анализ электрических цепей постоянного тока
с одним источником энергии

2.4.1. Расчет электрических цепей постоянного тока
с одним источником методом свертывания

В соответствии с методом свертывания, отдельные участки схемы упрощают и постепенным преобразованием приводят схему к одному эквивалентному (входному) сопротивлению, включенному к зажимам источника. Схема упрощается с помощью замены группы последовательно или параллельно соединенных сопротивлений одним, эквивалентным по сопротивлению. Определяют ток в упрощенной схеме, затем возвращаются к исходной схеме и определяют в ней токи.

Рассмотрим схему на рис. 2.32. Пусть известны величины сопротивлений R1, R2, R3, R4, R5, R6, ЭДС Е. Необходимо определить токи в ветвях схемы.

Сопротивления R₄ и R₅ соединены последовательно, а сопротивление R₆ - параллельно с ними, поэтому их эквивалентное сопротивление

 

Рис. 2.32 Рис. 2.33

После проведенных преобразований схема принимает вид, показанный на рис. 2.33, а эквивалентное сопротивление всей цепи

Ток I₁ в неразветвленной части схемы определяется по формуле:

Найдем токи I₂ и I₃ в схеме на рис. 3.2 по формулам:

I₃ = I₁ - I₂ - формула получается из уравнения, составленного по первому закону Кирхгофа: I₁ - I₂ - I₃ = 0.

Переходим к исходной схеме на рис. 2.32 и определим токи в ней по формулам:

I₆ = I₃ - I₄ (в соответствии с первым законом Кирхгофа I₃ - I₄ - I₆ =0).

2.4.2. Расчет электрических цепей постоянного тока с одним источником методом подобия или методом пропорциональных величин

Возьмем электрическую схему на рис. 2.32, зададимся произвольным значением тока в сопротивлении R₆, наиболее удаленном от источника питания. По заданному току и сопротивлению R₆ определим напряжение . Далее определим:

, ,

, ,

; .

Находим значение ЭДС

.

Найденное значение ЭДС отличается от заданной величины ЭДС Е.
Вычислим коэффициент подобия . Умножим на него полученные при расчете значения токов и напряжений, находим действительные значения токов цепи.

 

2.5. Анализ сложных электрических цепей
с несколькими источниками энергии

2.5.1. Метод непосредственного применения
законов Кирхгофа

На рис. 2.34 изображена схема разветвленной электрической цепи. Известны величины сопротивлений и ЭДС, необходимо определить токи.
В схеме имеются четыре узла, можно составить четыре уравнения по первому закону Кирхгофа.

Укажем произвольно направления токов. Запишем уравнения:
(2.1)

 

Сложим эти уравнения. Получим тождество 0 = 0. Система уравнений (2.1) является зависимой. Если в схеме имеется n узлов, количество независимых уравнений, которые можно составить по первому закону Кирхгофа, равно n - 1. Для схемы на рис. 2.34 число независимых уравнений равно трем.

(2.2)

Недостающее количество уравнений составляют по второму закону Кирхгофа. Уравнения по второму закону составляют для независимых контуров. Независимым является контур, в который входит хотя бы одна новая ветвь, не вошедшая в другие контуры.

Выберем три независимых контура и укажем направления обхода контуров. Запишем три уравнения по второму закону Кирхгофа.

(2.3)

Решив совместно системы уравнений (2.2) и (2.3), определим токи в схеме. Ток в ветви может иметь отрицательное значение. Это означает, что действительное направление тока противоположно выбранному нами.

2.5.2. Метод контурных токов

Метод непосредственного применения законов Кирхгофа громоздок. Имеется возможность уменьшить количество совместно решаемых уравнений системы. Число уравнений, составленных по методу контурных токов, равно количеству уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа.

Метод контурных токов заключается в том, что вместо токов в ветвях определяются, на основании второго закона Кирхгофа, так называемые контурные токи, замыкающиеся в контурах. На рис. 2.35 в качестве примера изображена двухконтурная схема, в которой I₁₁ и I₂₂ - контурные токи.

Рис. 2.35

Токи в сопротивлениях R₁ и R₂ равны соответствующим контурным токам. Ток в сопротивлении R₃, являющийся общим для обоих контуров, равен разности контурных токов I₁₁ и I₂₂, так как эти токи направлены в ветви с R₃ встречно.