Системы счисления

Персональные компьютеры состоят из полупроводниковых интегральных микросхем различного уровня сложности, совместная работа которых обеспечивается, с одной стороны, согласованностью электрических и частотных характеристик (для работы устройств на «физическом» уровне), а с другой стороны, строгим соблюдением определенных логических правил (для выполнения устройствами задач «логического» уровня). Переключения и изменения состояния логических элементов зависит от уровня логических сигналов на входе, каковыми являются напряжения 0,36-0,5 В ("логический ноль") и 2,4…2,7 В ("логическая единица"). «Физический» уровень работы интегральных микросхем, составляющих персональный компьютер, предоставляет «логическому» уровню базис из двух состояний: «есть сигнал» - «нет сигнала». Логично принять присутствие сигнала за логическую единицу, а его отсутствие – за логический ноль. Именно этот факт и привел к широкому использованию двоичной системы счисления в вычислительной технике, в которой имеются только две цифры – {0 , 1}, т.е. основание p₍₂₎ = 2

Под системой счисления принято называть совокупность приемов обозначения (записи) чисел. Различают позиционные и непозиционные системы счисления.

Непозиционная система счисления – система счисления, в которой для обозначения чисел вводятся специальные знаки, количественное значение которых («вес» символа) всегда одинаково и не зависит от их места в записи числа. Самым известным примером непозиционной системы счисления является римская система счисления. В римской системе счисления для записи числа в качестве цифр используются буквы латинского алфавита.

Позиционной системой счисления называется система счисления, в которой значение каждой цифры в изображении числа зависит от ее положения в ряду других цифр, изображающих число.

Положение, занимаемой цифрой при письменном обозначении числа называется разрядом.

Наша, естественная система счисления – десятичная – является позиционной. Это значит, что в числе 1978, цифра «1» – обозначает одну тысячу. Эта цифра стоит в позиции третьего разряда. Цифра «9» – девять сотен, второй разряд. Цифра «7» – семь десятков, первый разряд. А «8» – восемь единиц, нулевой разряд. Распишем вышесказанное в виде математической формулы:

1978=1000 + 900 + 70 + 8 = 11000 + 9100 + 7-10 + 8 = 1×10³+9×10²+7 ×10¹+8 ×10°

Распишем подобным образом дробное число:

3019,7294 = 3×10³ +0×10² +1×10¹ +9×10° +7×10^-1 +2×10^-2 +9×10^-3 +4×10^-4.

Очевидно, что в десятичной системе счисления числа 10ⁿ, где n = (− ∞,+∞) - номер разряда,

играют ключевую роль в формировании записи числа. Эти числа называются базисом десятичной системы счисления. Число 10 для нашей десятичной системы счисления является ее основанием.

Многочленная форма:

A_q=a_nqⁿ+a_n-1q^n-i+a_n-2q^n-2+... + a₂q²+a₁q + a₀+a_-1q^-i+... + a_-mq^-m,

где q -основание системы счисления.

Количество цифр, необходимых для записи числа, называется длиной числа. Чем меньше основание, тем длиннее запись числа.