О т д е л е н и е к о р н е й

Пусть дано уравнение f(x)=0, в котором функция f(x) определена и непрерывна в некотором конечном или бесконечном интервале а<x<в. Всякое значение z , обращающее функцию f(x) в нуль, т.е. такое, что f(z)=0, называется корнем уравнения. Для отделения корней полезна известная из математического анализа теорема Больцано-Коши :

Если непрерывная функция f(x) принимает значения разных знаков на концах отрезка ( a ,b) ,т.е. если f(a) f(b) <0, то внутри этого отрезка содержится по меньшей мере один корень уравнения f(x)=0,т.е. найдется хотя бы одно число z Î (a,b) такое, что f(z)=0.

Процесс отделения корней начинается с установления знаков функции f(x) в граничных точках области существования функции. Затем определяются знаки функции f(x) в ряде промежуточных точек x= a ₁ , a₂ , ... a, выбор которых учитывает особенности функции f(x). Если окажется, что

f( a_к ) f( a _к+1 )<0, то в силу теоремы Больцано-Коши в интервале (a _к ,a _к+1) имеется корень уравнения f(x)=0 .

Если функция f(x) является многочленом n -ой степени, то эта функция определена в бесконечном интервале - ¥ < x<+ ¥. Для определения промежутка, в котором находится хотя бы один корень уравнения, придется вычислять значение функции f(x) в большом количестве промежуточных точек. Для сужения интервала, в котором следует проводить поиск корней алгебраических уравнений, можно воспользоваться следующей теоремой из высшей алгебры: для многочлена f(x) c любыми числовыми коэффициентами число C=1+Am/ (*) служит верхней границей для модулей всех его корней, включая комплексные, где - модуль коэффициента при x, Am - максимальный модуль из остальных коэффициентов.

П р и м е р 1 . Найти интервал , внутри которого находятся корни многочлена f(x)= x+ 2 x- 5 x+8 x - 7 x - 3

Для этого многочлена =1, Am =8. Отсюда С=1+8/1=9 ,таким образом, все пять корней многочлена находятся внутри интервала [ -9, +9 ] .

Интервал, определяемый с помощью формулы (*) , оказывается слишком большим, особенно для действительных корней. Чтобы уменьшить объем вычислений , были разработаны более точные, но и более сложные методы определения границ интервалов, содержащих действительные корни. Если вычисления проводить с помощью компьютера, то их объем большого значения не имеет, и потому нет необходимости рассматривать здесь иные методы определения границ интервалов.

П р и м е р 2. Отделить действительные корни многочлена, рассмотренного в примере 1: f ( x )= х⁵ + 2 x⁴ - 5 x³ + 8 х² - 7 x - 3 .

 

Для решения этой задачи вычисляются значения полинома, приняв за начальное значение x = - 9 и шаг изменения аргумента D x = 1 . Результаты вычислений приведены в таблице 2 .

 

Т А Б Л И Ц А 2

X	- 9	- 8	- 7	- 6	- 5	- 4	- 3	- 2
У	-39574	-21451	-9852	- 1377	-1018	- 39	+ 144	+ 83

 

П р о д о л ж е н и е т а б л и ц ы 2

Х	- 1		+ 1	+ 2	+ 3	+ 4	+ 5	+ 6
У		-3	- 4

 

Из таблицы видно, что многочлен f(x) имеет по крайней мере три действительных корня : положительный 1 < x< 2 , так как f (1) <0 , а f(2) >0 , и два отрицательных - 1 < x< 0

( f ( - 1 ) = + 18 , f ( 0 ) = - 3 ) , - 4 < x ₃ < -3 ( f ( - 4 ) = - 39, f ( -3 ) = + 144) .

Трансцендентные уравнения чрезвычайно разнообразны, поэтому отделение корней в них несколько сложнее. Для проведения этой операции приходится анализировать функцию f(x) и во многих случаях строить ее график, чтобы определять приближенно точки пересечения этого графика с осью абсцис. Часто бывает выгодно первоначальное уравнение f(x) = 0 заменять равносильным ему уравнением j (x) = y (x), где функции j (x ) и y (x) - более простые, чем функция f(x ). Тогда, построив графики функций у = j (x) и у = y (x), искомые корни получают как абсциссы точек пересечения этих графиков.

П р и м е р 3 . Найти приближенное значение корня уравнения

 

x lg x - 1 = 0 . ( 3 )

 

Полагая x ¹ 0 , разделим уравнение на x и запишем его в следующим виде : lg x= 1 / х. Отсюда видно, что j (x) = lg x, а y (x) = 1 / x, где

j ( x ) - логарифмическая кривая , а y (x) - гипербола. Решением уравнения ( 3 ) является абсцисса точки пересечения логарифмической кривой и гиперболы. Поскольку логарифмическая кривая при x < 0 не существует, то точку пересечения кривых j ( x ) и y ( x ) следует искать при x >0 .

Для построения кривой необходимо, как минимум, три точки. Найдем их для каждой кривой. За начальное значение x примем х=1 , шаг изменения x для простоты вычислений принимается равным также единице. Вычисления приведены в табличной форме.

 

 

Та б л и ц а 3

X         lg x     0 ,30     0 , 48   1 / x     0, 50   0 ,33   Lgx-1/x   -1   - 0, 20     +0 , 15

 

Из таблицы 3 и рисунка видно , что корень уравнения ( 3 ) находится в интервале ( 2 ; 3 ) .

П р и м е р 4 . Найти приближенное значение корня уравнения

e- x - 2 = 0 ( 4 )

Перенося последние два члена уравнения в правую часть , получаем эквивалентное уравнение e= x + 2 . Из этого равенства видно , что корнем уравнения является абсцисса точки пересечения графика показательной функции j ( x ) = e и прямой линии y (x) = x + 2 .

График показательной функции располагается над осью x при любых значениях x - положительных и отрицательных . Прямая же y (x) = x+ 2 располагается над осью x только при x>-2. При этих значениях x и следует искать точки пересечения графиков функций j (x) и y(x).За начальное значение аргумента обоих функций принимается x = -2 . Шаг изменения x принимается равным единице .Вычисления значений функций j(x) , y(x) и заданной функции f(x)=e-х-2 проводятся в табличной форме .

Та б л и ц а 4

X	-2	- 1		+ 1	+ 2
e	0,135	0 , 368		2 ,72	7 ,39
X + 2
f (x)	0 ,135	- 0, 632	- 1	- 0 ,28	+3 ,39

Из таблицы 4 видно, что графики функций j (x) и y (x) пересекаются в двух точках . Следовательно , уравнение ( 4 ) имеет два корня один из них расположен в интервале ( - 2 ; - 1 ) , второй- в интервале (1;2) . Рассмотренные примеры позволяют сделать вывод ,что отделение корней алгебраических и трансцендентных уравнений можно проводить по единому алгоритму :

1) назначается начальное значение аргумента x и шаг его изменения D x;

2) вычисляются значения заданной функции f(x)в точках x = x и

x= x+ x ;

3) находится произведение p = f(x ₁ ) × f(x ₂ ) ;

4) если p <0 , то корень уравнения находится внутри интервала ( x; x), расчет окончен ;

5) если p >0 ,то принимается x= x + Dx , x= x+Dx = x+ 2 D x , и все действия начиная с п. 2 , повторяются .

Разница для алгебраических и трансцендентных уравнений заключается в том, что для алгебраических уравнений значение x может быть вычислено по формуле ( * ) , а для трансцендентных уравнений значение х_о должно быть получено путем анализа заданной функции f (x).

Рассмотренный алгоритм может быть реализован в виде подпрограммы на языке Ф О Р Т Р А Н . Как известно , в Ф О Р Т Р А Н е применяются подпрограммы двух видов : F U N C T I O N и S U B R O U T I N E . Подпрограмма F U N C T I O N употребляется в тех случаях, когда необходимо вычислять и передавать в вызывающую программную единицу единственное значение . В других случаях - S U B R O U T I N E .

В нашем случае подпрограмма должна выдать значения границ интервала, внутри которого содержится корень уравнения , и количество шагов , совершенных на пути к этому интервалу .Т.е. здесь может быть применена только подпрограмма типа S U B R O U T I N E . При «ручном » счете подсчет количества шагов не обязателен , но при расчете на компьютере он необходим .Дело в том , что при неудачном задании начального значения аргумента компьютер будет совершать шаг за шагом , не находя интервала , содержащего корень уравнения . И выйти из цикла , повторяющего п.п. 2 - 5 описанного выше алгоритма , самостоятельно он не сможет . В этом случае говорят , что «компьютер зациклился » . Чтобы не произошло зацикливания, количество шагов должно быть ограничено некоторым достаточно большим числом , по достижении которого компьютер должен прекратить вычисления, выдав сообщение, что за оговоренное количество шагов интервал , содержащий корень уравнения , не найден . В этом случае оператор должен задать новое значение x и снова запустить программу .

В подпрограмме должны неоднократно вычисляться значения функции

f(x) .Чтобы подпрограмму не приспосабливать к каждому решаемому уравнению , вычисления функции f (x) должны проводиться путем вызова подпрограммы - функции F U N C T I O N F ( x ). И только эта подпрограмма должна быть написана заново для каждого решаемого уравнения. С учетом изложенного подпрограмма отделения корней нелинейных уравнений может иметь, например, вид, приведенный в приложении 1 .