Понятие о линейных, нелинейных и линеаризованных моделях
Понятие о линейных, нелинейных и линеаризованных моделях - раздел Философия, Автоматическое управление пуском и остановкой оборудования, коммутационные операции и т.д
Для Любого Физического Объекта Может Быть Составлена Математи...
Для любого физического объекта может быть составлена математическая модель, которая представляет собой набор определенных математических соотношений между переменными величинами этого объект. Если в модели все соотношения между переменными линейны, то модель будет линейной. Примерами линейных соотношений являются уравнения
, , ,
где x, y, z – переменные величины; а, в, c – коэффициенты не зависящие от переменных величин.
Если среди соотношений модели появляется хотя бы одно нелинейное, модель становится нелинейной. Причинами нелинейности могут стать любые нелинейные операции над переменными или между переменными, а также над их производными, интегралами и т.д. К нелинейным операциям относятся умножение, деление, тригонометрические операции и многие другие. Примерами нелинейных соотношений между переменными являются уравнения
, , .
При математическом моделировании технических объектов часто вводится деление причин нелинейности на две группы: либо в объекте выделяются элементы с нелинейными характеристиками, либо в уравнениях модели определяются нелинейные математические операции. Условность этого деления очевидна. Например, нелинейное уравнение , можно записать, как , а можно записать, как . В первом случае говорят об элементе с нелинейной характеристикой , а во втором об элементе с тремя входными воздействиями, которые в элементе перемножаются (рис.1.2).
Рис. 1.2
Хорошо разработанный аналитический аппарат решения линейных дифференциальных уравнений делает крайне желательным применение линейных моделей. Поэтому для максимального использования ресурсов линейного моделирования используются специальные методы, которые позволяют превращать многие нелинейные модели в линейные. Эту процедуру называют линеаризацией.
Техника линеаризации. Линеаризация заключается в замене нелинейных уравнений приближенными линейными на основании предположения, что при небольших изменениях переменных величин параметры исследуемой системы остаются постоянными. Для выполнения линеаризации вводят понятие “точки линеаризации”, понимая под этим определенный стационарный режим работы системы, в окрестности которого будет исследоваться система. Значения параметров этого режима обозначают индексом «0».
Линеаризация нелинейной функции f(x1,…,xn)основана на использовании аффинной части ряда Тейлора, записанного для точки линеаризации . Ряд Тейлора для этой функции имеет вид:
(1.1)
а его аффинная часть
(1.2)
где через обозначается частная производная функции f по аргументу xi в точке линеаризации (x10,…,xn0). После переноса f0в левую часть получаем линеаризованное выражение для исходной функции
(1.3)
Резюме. Линеаризованная функция записывается относительно приращений переменных исходной функции, то есть линеаризованная функция определяет значение не самой функции, а только ее приращения в точке линеаризации. Линеаризация уравнений и запись их в приращениях позволяют получить н у л е в ы е начальные условия.
В качестве примеров линеаризации рассмотрим следующие нелинейные уравнения , , . Пользуясь формулой (1.3), получим для них
,
, (1.4)
.
Рис. 1.3
Рис. 1.3
Любую ли функцию можно линеаризовать указанным выше способом? Оказывается, нет. Из предыдущих рассуждений видно, что линеаризуется только такая функция, которая дифференцируема в окрестности точки линеаризации, то есть сама она и ее производные не терпят разрывов. Например, функцию, изображенную на рис.1.3, в окрестностях значений х1 и х2 линеаризовать нельзя. Кроме этого, производя линеаризацию этой функции в точках, где нет разрывов, необходимо позаботиться о том, чтобы при изменении переменной х ее значение не становилось равным х1 или х2. В противном случае линеаризация становится неправомерной, так как приводит к недопустимо большим ошибкам, которые даже трудно будет оценить.
При наличии существенных нелинейностей в системе (зон нечувствительности элементов, гистерезиса, участков полного насыщения и др.) ее динамические режимы исследуются специальными методами (фазовых траекторий, точечных преобразований, гармонического баланса и др.).
Пример 1.1.Линеаризовать функцию в точке .
Решение. Согласно формулы (1.1) для исходной функции запишем . Учитывая, что , окончательно получим
Рис. 1.4
Рис. 1.4
Геометрическая иллюстрация этого результата на рис.1.4 показывает, что при линеаризации исходная нелинейная функция заменяется касательной, которая проходит через точку линеаризации . Из этого рисунка видно, также, что ошибка при линеаризации растет при отклонении переменной x от значения .
Пример 1.2. Линеаризовать уравнение в точке x0,y0.
Решение. Здесь можно воспользоваться как формулой (1.3), так и готовой формулой в (1.4). В результате получаем
Начальные сведения о системах автоматического регулирования
Любую автоматическую систему можно условно разделить на две части – объект управления и управляющее устройство. Взаимодействие этих частей между собой схематично показано на рис.1.1.
Принципы автоматического управления
Несмотря на большое разнообразие технических процессов и объектов, в которых используется автоматическое управление, организация управления основывается на небольшом числе общих принципов это:
Интегральные преобразования Лапласа
В исследовании динамики автоматических систем широко применяются интегральные преобразования Лапласа, Хевисайда-Карсона, Фурье. Одна из привлекательных сторон этих преобразований в том, что они пон
Понятие о статическом и астатическом регулировании
По виду статических характеристик все автоматические системы делятся на статические и астатические, или говорят о статическом и астатическом регулировании.
Пр
Понятие динамического звена
Автоматические системы состоят из разнообразных элементов, среди которых могут быть генераторы, двигатели, термопары, реостаты, редукторы и многие другие конструкции. Но при математ
Динамические характеристики звена
Автоматические системы относятся к классу динамических систем, потому что процессы регулирования, протекающие в них, сопровождаются постоянными изменениями во времени. Математическое описание этих
Типовые динамические звенья
Понятием типовое звено в теорию введен еще один исключительно удобный расчетно-аналитический инструмент. Из всего многообразия возможных динамических звеньев выделена группа
Безынерционное звено
Уравнение динамики этого звена описывается алгебраическим уравнением
Интегрирующие звенья
Интегрирующим называется звено, в котором производится интегрирование входного воздействия, и поэтому в выходном воздействии обязательно присутствует интеграл
Дифференцирующие звенья
Дифференцирующие звенья реагируют на скорость изменения входного воздействия, и поэтому в их дифференциальных уравнениях в правой части содержатся производные от входной переменной.
Запаздывающее звено
Запаздывающим называется звено в котором выходное воздействие повторяет входное воздействие без искажений, но с некоторым постоянным запаздыванием во времени на величину t. Эти условия определяют у
Определение начальных условий
Под начальными условиями динамического процесса понимается его состояние в момент времени, принятый за начало процесса. Начальные условия задаются совокупностью значений выходной координаты иссл
Понятие устойчивости
Под устойчивостью понимают способность системы самостоятельно приходить к установившемуся состоянию после приложения воздействия, которое вывело ее из состояния равновесия.
Устойчивость линейных систем
Свободное движение линейной системы описывается однородным дифференциальным уравнением
. (6.1)
Методы определения устойчивости
Для того, чтобы система была устойчивой, должны выполняться определенные условия, которые называются условиями устойчивости. Все условия устойчивости разделяются на необходимые и достаточные
Критерии устойчивости
Все критерии устойчивости делятся на алгебраические и частотные. Если для работы с алгебраическими критериями необходимо иметь, по крайней мере, характеристическое ура
Запас устойчивости
Запас устойчивости – это количественная оценка, определяющая удаление расчетных параметров системы от зоны, опасной с точки зрения устойчивости.
Формулировка запаса
Об устойчивости нелинейных систем
Рассмотренные выше вопросы устойчивости, строго говоря, справедливы только для линейных систем. Но почти все реальные системы являются нелинейными, и поэтому возникает вопрос - наск
Показатели качества регулирования
Из предыдущей главы мы знаем, что автоматическая система, прежде всего, должна быть устойчивой. В устойчивой системе переходный процесс затухает, однако для практики вовсе не безразлично то, как эт
Косвенные методы оценки качества регулирования
Метод распределения корней.Этот метод дает возможность приближенно оценить характер переходного процесса по расположению корней относительно мнимой оси. В основу ме
ФОРМИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
Процесс проектирования автоматической системы можно условно разбить на два этапа.
На первом этапе закладывается функциональная схема системы, выбираются ее элементы, задаются законы
Законы регулирования
Предположим, что в системе появилось рассогласование, то есть действительное значение регулируемой величины стало отличаться от заданного значения. Как должна реагировать система на эту ситуацию? Р
Коррекция характеристик АС
Понятие о коррекции. В автоматических системах, которые состоят только из основных функционально необходимых элементов, обычно не удается получить требуемые показат
СТАБИЛИЗАЦИИ
Расчет системы автоматического регулирования (САР) представляет собой задачу, имеющую, как правило, многозначное решение. Выбор оптимальной конфигурации САР зависит от требований, предъявляемых ка
Компоновка функциональной схемы
Выбор параметров объекта управления. Так как в техническом задании уже определен тип исполнительного двигателя, то остается только выбрать его каталожные данные и согласовать их с техническими данн
Статическая модель САР
Статическая модель описывает систему в установившемся режиме и поэтому используется для расчета параметров настройки ее элементов, при которых будут обеспечены заданные в ТЗ параметры статических
Динамическая модель САР
В уравнениях динамической модели присутствует координата времени, и поэтому модель представляет собой систему дифференциально-алгебраических уравнений.
Примечание. Так как решен
Анализ динамики САР
9.3.3.1. Динамические характеристики САР. Динамической характеристикой САР является функциональная зависимость между переменными модели. Последовательность получения х
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В методических указаниях показаны основные принципы начального этапа разработки автоматической системы. Это первичная компоновка схемы, определение параметров настройки и расчеты статических и ди
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. В.А.. Бесекерский, Теория систем автоматического регулирования. В. А. Бесекерский, Е. П. Попов. – М. : Наука, 1975. - 457 с.
2.Куропаткин, П.В. Теория автоматического управления./ П.В.
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
, 
, 
,
, 
, 
.
, можно записать, как 
, а можно записать, как 
. В первом случае говорят об элементе с нелинейной характеристикой 
, а во втором об элементе с тремя входными воздействиями, которые в элементе перемножаются (рис.1.2).
. Ряд Тейлора для этой функции имеет вид:
(1.1)
(1.2)
обозначается частная производная функции f по аргументу xi в точке линеаризации (x10,…,xn0). После переноса f0 в левую часть получаем линеаризованное выражение для исходной функции
(1.3)
, 
, 
. Пользуясь формулой (1.3), получим для них
,
, (1.4)
.
Любую ли функцию можно линеаризовать указанным выше способом? Оказывается, нет. Из предыдущих рассуждений видно, что линеаризуется только такая функция, которая дифференцируема в окрестности точки линеаризации, то есть сама она и ее производные не терпят разрывов. Например, функцию, изображенную на рис.1.3, в окрестностях значений х1 и х2 линеаризовать нельзя. Кроме этого, производя линеаризацию этой функции в точках, где нет разрывов, необходимо позаботиться о том, чтобы при изменении переменной х ее значение не становилось равным х1 или х2. В противном случае линеаризация становится неправомерной, так как приводит к недопустимо большим ошибкам, которые даже трудно будет оценить.
в точке 
.
Решение. Согласно формулы (1.1) для исходной функции запишем 
. Учитывая, что 
, окончательно получим 
.
в точке x0,y0. 
Новости и инфо для студентов