Для любого физического объекта может быть составлена математическая модель, которая представляет собой набор определенных математических соотношений между переменными величинами этого объект. Если в модели все соотношения между переменными линейны, то модель будет линейной. Примерами линейных соотношений являются уравнения
, , ,
где x, y, z – переменные величины; а, в, c – коэффициенты не зависящие от переменных величин.
Если среди соотношений модели появляется хотя бы одно нелинейное, модель становится нелинейной. Причинами нелинейности могут стать любые нелинейные операции над переменными или между переменными, а также над их производными, интегралами и т.д. К нелинейным операциям относятся умножение, деление, тригонометрические операции и многие другие. Примерами нелинейных соотношений между переменными являются уравнения
, , .
Рис. 1.2
Хорошо разработанный аналитический аппарат решения линейных дифференциальных уравнений делает крайне желательным применение линейных моделей. Поэтому для максимального использования ресурсов линейного моделирования используются специальные методы, которые позволяют превращать многие нелинейные модели в линейные. Эту процедуру называют линеаризацией.
Техника линеаризации. Линеаризация заключается в замене нелинейных уравнений приближенными линейными на основании предположения, что при небольших изменениях переменных величин параметры исследуемой системы остаются постоянными. Для выполнения линеаризации вводят понятие “точки линеаризации”, понимая под этим определенный стационарный режим работы системы, в окрестности которого будет исследоваться система. Значения параметров этого режима обозначают индексом «0».
Линеаризация нелинейной функции f(x1,…,xn) основана на использовании аффинной части ряда Тейлора, записанного для точки линеаризации . Ряд Тейлора для этой функции имеет вид:
(1.1)
а его аффинная часть
(1.2)
где через обозначается частная производная функции f по аргументу xi в точке линеаризации (x10,…,xn0). После переноса f0 в левую часть получаем линеаризованное выражение для исходной функции
(1.3)
Резюме. Линеаризованная функция записывается относительно приращений переменных исходной функции, то есть линеаризованная функция определяет значение не самой функции, а только ее приращения в точке линеаризации. Линеаризация уравнений и запись их в приращениях позволяют получить н у л е в ы е начальные условия.
В качестве примеров линеаризации рассмотрим следующие нелинейные уравнения , , . Пользуясь формулой (1.3), получим для них
,
, (1.4)
.
|
|
|
При наличии существенных нелинейностей в системе (зон нечувствительности элементов, гистерезиса, участков полного насыщения и др.) ее динамические режимы исследуются специальными методами (фазовых траекторий, точечных преобразований, гармонического баланса и др.).
Пример 1.1.Линеаризовать функцию в точке .
Решение. Согласно формулы (1.1) для исходной функции запишем . Учитывая, что , окончательно получим
|
|
Пример 1.2. Линеаризовать уравнение в точке x0,y0.
Решение. Здесь можно воспользоваться как формулой (1.3), так и готовой формулой в (1.4). В результате получаем