Устойчивость линейных систем - раздел Философия, Автоматическое управление пуском и остановкой оборудования, коммутационные операции и т.д Свободное Движение Линейной Системы Описывается Однородным Дифференциальным У...
Свободное движение линейной системы описывается однородным дифференциальным уравнением
. (6.1)
Решение этого уравнения представляется суммой экспонент
, (6.2)
где 
– корни характеристического уравнения
. (6.3)
В устойчивой системе величина x
св(t) с течением времени должна стремиться к нулю. Но это возможно только в том случае, если все корни характеристического уравнения будут либо отрицательные действительные величины, либо комплексные величины с отрицательной действительной частью. Это означает, что для устойчивой системы все корни должны располагаться слева от мнимой оси комплексной плоскости (рис.6.2). Превращение устойчивой системы в неустойчивую произойдет в том случае, если хотя бы один корень перейдет из левой полуплоскости в правую. Границей перехода является мнимая ось, которую называют также
границей устойчивости системы.
Система может попасть на границу устойчивости несколькими путями .
1. Система имеет один нулевой корень. Если один корень характеристического уравнения будет лежать в начале координат, а все остальные корни – в левой полуплоскости, то такая система будет нейтральной. Действительно, в этом случае уравнение (6.2) станет таким
, (6.4)
то есть после снятия возмущения состояние равновесия наступит, но оно наступит с неопределенной выходной координатой. Следует заметить, что при появлении уже второго нулевого корня система теряет устойчивость, так как решением (6.2) становится функция
. (6.5)
2. Система имеет пару чисто мнимых корней. Это означает, что корни попали на мнимую ось (
) и слагаемое, определяемое ими в (6.2), представляет собой незатухающее колебание с постоянной амплитудой
. (6.6)
Такая граница устойчивости называется колебательной.
3. Система имеет бесконечный корень. Если в первых двух случаях корни попадали из левой полуплоскости в правую, пересекая мнимую ось, то в этом случае корень попадает в правую полуплоскость через бесконечность. Этот случай в практике встречается редко, и в дальнейшем нами рассматриваться не будет.
Все темы данного раздела:
Начальные сведения о системах автоматического регулирования
Любую автоматическую систему можно условно разделить на две части – объект управления и управляющее устройство. Взаимодействие этих частей между собой схематично показано на рис.1.1.
Понятие о линейных, нелинейных и линеаризованных моделях
Для любого физического объекта может быть составлена математическая модель, которая представляет собой набор определенных математических соотношений между переменными величинами это
Принципы автоматического управления
Несмотря на большое разнообразие технических процессов и объектов, в которых используется автоматическое управление, организация управления основывается на небольшом числе общих принципов это:
Интегральные преобразования Лапласа
В исследовании динамики автоматических систем широко применяются интегральные преобразования Лапласа, Хевисайда-Карсона, Фурье. Одна из привлекательных сторон этих преобразований в том, что они пон
Понятие о статических характеристиках
Под статической характеристикой физического объекта понимают уравнение вида
(3.1)
Понятие о статическом и астатическом регулировании
По виду статических характеристик все автоматические системы делятся на статические и астатические, или говорят о статическом и астатическом регулировании.
Пр
Автоматические системы стабилизации напряжения
1. Объект регулирования (рис.3.2). Объектом регулирования является генератор постоянного т
Автоматические системы стабилизации частоты вращения вала
1. Объект регулирования.Объектом регулирования является двигатель постоянного тока независимого возбуждения, для которого справедливы следующие уравнения
Понятие динамического звена
Автоматические системы состоят из разнообразных элементов, среди которых могут быть генераторы, двигатели, термопары, реостаты, редукторы и многие другие конструкции. Но при математ
Динамические характеристики звена
Автоматические системы относятся к классу динамических систем, потому что процессы регулирования, протекающие в них, сопровождаются постоянными изменениями во времени. Математическое описание этих
Типовые динамические звенья
Понятием типовое звено в теорию введен еще один исключительно удобный расчетно-аналитический инструмент. Из всего многообразия возможных динамических звеньев выделена группа
Безынерционное звено
Уравнение динамики этого звена описывается алгебраическим уравнением
Инерционное (апериодическое) звено первого порядка
Уравнение динамики звена
, (4.16)
где Т –
Инерционное звено второго порядка
Уравнение динамики звена
, (4.20)
где Т –постоянная времени,
Интегрирующие звенья
Интегрирующим называется звено, в котором производится интегрирование входного воздействия, и поэтому в выходном воздействии обязательно присутствует интеграл
Дифференцирующие звенья
Дифференцирующие звенья реагируют на скорость изменения входного воздействия, и поэтому в их дифференциальных уравнениях в правой части содержатся производные от входной переменной.
Запаздывающее звено
Запаздывающим называется звено в котором выходное воздействие повторяет входное воздействие без искажений, но с некоторым постоянным запаздыванием во времени на величину t. Эти условия определяют у
Частотные характеристики безынерционного звена
Апериодическое звено. АФХ этого звена определяется выражением
Логарифмические частотные характеристики типовых звеньев
Покажем технику построения ЛЧХ на примере двух динамических звеньев.
Безынерционное звено. Логарифмируя частотную передаточную функцию (4.15) , найдем
Определение начальных условий
Под начальными условиями динамического процесса понимается его состояние в момент времени, принятый за начало процесса. Начальные условия задаются совокупностью значений выходной координаты иссл
Понятие устойчивости
Под устойчивостью понимают способность системы самостоятельно приходить к установившемуся состоянию после приложения воздействия, которое вывело ее из состояния равновесия.
Методы определения устойчивости
Для того, чтобы система была устойчивой, должны выполняться определенные условия, которые называются условиями устойчивости. Все условия устойчивости разделяются на необходимые и достаточные
Критерии устойчивости
Все критерии устойчивости делятся на алгебраические и частотные. Если для работы с алгебраическими критериями необходимо иметь, по крайней мере, характеристическое ура
Запас устойчивости
Запас устойчивости – это количественная оценка, определяющая удаление расчетных параметров системы от зоны, опасной с точки зрения устойчивости.
Формулировка запаса
Об устойчивости нелинейных систем
Рассмотренные выше вопросы устойчивости, строго говоря, справедливы только для линейных систем. Но почти все реальные системы являются нелинейными, и поэтому возникает вопрос - наск
Показатели качества регулирования
Из предыдущей главы мы знаем, что автоматическая система, прежде всего, должна быть устойчивой. В устойчивой системе переходный процесс затухает, однако для практики вовсе не безразлично то, как эт
Косвенные методы оценки качества регулирования
Метод распределения корней.Этот метод дает возможность приближенно оценить характер переходного процесса по расположению корней относительно мнимой оси. В основу ме
ФОРМИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
Процесс проектирования автоматической системы можно условно разбить на два этапа.
На первом этапе закладывается функциональная схема системы, выбираются ее элементы, задаются законы
Законы регулирования
Предположим, что в системе появилось рассогласование, то есть действительное значение регулируемой величины стало отличаться от заданного значения. Как должна реагировать система на эту ситуацию? Р
Коррекция характеристик АС
Понятие о коррекции. В автоматических системах, которые состоят только из основных функционально необходимых элементов, обычно не удается получить требуемые показат
СТАБИЛИЗАЦИИ
Расчет системы автоматического регулирования (САР) представляет собой задачу, имеющую, как правило, многозначное решение. Выбор оптимальной конфигурации САР зависит от требований, предъявляемых ка
Компоновка функциональной схемы
Выбор параметров объекта управления. Так как в техническом задании уже определен тип исполнительного двигателя, то остается только выбрать его каталожные данные и согласовать их с техническими данн
Статическая модель САР
Статическая модель описывает систему в установившемся режиме и поэтому используется для расчета параметров настройки ее элементов, при которых будут обеспечены заданные в ТЗ параметры статических
Динамическая модель САР
В уравнениях динамической модели присутствует координата времени, и поэтому модель представляет собой систему дифференциально-алгебраических уравнений.
Примечание. Так как решен
Анализ динамики САР
9.3.3.1. Динамические характеристики САР. Динамической характеристикой САР является функциональная зависимость между переменными модели. Последовательность получения х
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В методических указаниях показаны основные принципы начального этапа разработки автоматической системы. Это первичная компоновка схемы, определение параметров настройки и расчеты статических и ди
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. В.А.. Бесекерский, Теория систем автоматического регулирования. В. А. Бесекерский, Е. П. Попов. – М. : Наука, 1975. - 457 с.
2.Куропаткин, П.В. Теория автоматического управления./ П.В.
Новости и инфо для студентов