Устойчивость линейных систем

Свободное движение линейной системы описывается однородным дифференциальным уравнением

. (6.1)

 

Решение этого уравнения представляется суммой экспонент

 

, (6.2)

где – корни характеристического уравнения

 

. (6.3)

 

Рис. 6.2

В устойчивой системе величина x_св(t) с течением времени должна стремиться к нулю. Но это возможно только в том случае, если все корни характеристического уравнения будут либо отрицательные действительные величины, либо комплексные величины с отрицательной действительной частью. Это означает, что для устойчивой системы все корни должны располагаться слева от мнимой оси комплексной плоскости (рис.6.2). Превращение устойчивой системы в неустойчивую произойдет в том случае, если хотя бы один корень перейдет из левой полуплоскости в правую. Границей перехода является мнимая ось, которую называют также границей устойчивости системы.

Система может попасть на границу устойчивости несколькими путями .

1. Система имеет один нулевой корень. Если один корень характеристического уравнения будет лежать в начале координат, а все остальные корни – в левой полуплоскости, то такая система будет нейтральной. Действительно, в этом случае уравнение (6.2) станет таким

, (6.4)

то есть после снятия возмущения состояние равновесия наступит, но оно наступит с неопределенной выходной координатой. Следует заметить, что при появлении уже второго нулевого корня система теряет устойчивость, так как решением (6.2) становится функция

. (6.5)

2. Система имеет пару чисто мнимых корней. Это означает, что корни попали на мнимую ось () и слагаемое, определяемое ими в (6.2), представляет собой незатухающее колебание с постоянной амплитудой

 

. (6.6)

 

Такая граница устойчивости называется колебательной.

3. Система имеет бесконечный корень. Если в первых двух случаях корни попадали из левой полуплоскости в правую, пересекая мнимую ось, то в этом случае корень попадает в правую полуплоскость через бесконечность. Этот случай в практике встречается редко, и в дальнейшем нами рассматриваться не будет.