Рассмотренные выше вопросы устойчивости, строго говоря, справедливы только для линейных систем. Но почти все реальные системы являются нелинейными, и поэтому возникает вопрос - насколько применимы методы линейной теории к оценке устойчивости нелинейных систем? Этот вопрос был решен А.М. Ляпуновым в его знаменитых теоремах.
Нелинейное дифференциальное уравнение системы может быть разложено в ряд Тейлора и представлено в виде уравнения, содержащего величины первого, второго или n-го порядка малости. Ляпунов показал, что все случаи исследования устойчивости можно разделить на две категории: категорию некритических (наиболее часто встречающихся) и критических случаев.
Для категории некритических случаев справедливы две следующих теоремы.
Теорема первая. Если вещественные части всех корней характеристического уравнения первого приближения отрицательны, то система будет устойчивой, независимо от членов разложения выше первого порядка малости.
Теорема вторая. Если среди корней характеристического уравнения первого приближения найдется, по меньшей мере, один с положительной вещественной частью, то система будет неустойчивой, независимо от членов разложения выше первого порядка малости. Все критические случаи имеют место лишь тогда, когда среди корней характеристического уравнения первого приближения имеется некоторая группа корней, вещественная часть которых равна нулю, а остальная группа корней имеет отрицательную часть. В этом случае вопрос об устойчивости не может быть решен на основании исследования линеаризованного уравнения, так как даже малые нелинейные члены могут коренным образом изменить вид переходного процесса, сделав систему устойчивой или неустойчивой.
Опираясь в таких расчетах на эти теоремы Ляпунова, необходимо всегда иметь в виду два фактора:
· эти теоремы относятся только к исследованию устойчивости в “малом”, то есть в малой окрестности данного состояния равновесия.
· теоремы справедливы только к способу линеаризации уравнений разложением функций в степенные ряды по Тейлору, что соответствует замене фактической кривой отрезком касательной, а не какому-либо другому способу линеаризации.
К сильно выраженным нелинейностям, например, нелинейностям релейного типа, эти теоремы неприменимы. Для исследования устойчивости нелинейных систем общего вида имеются другие теоремы Ляпунова.
ГЛАВА 7