Интегральные преобразования Лапласа

В исследовании динамики автоматических систем широко применяются интегральные преобразования Лапласа, Хевисайда-Карсона, Фурье. Одна из привлекательных сторон этих преобразований в том, что они понижают сложность математических операций. Например, обыкновенные дифференциальные уравнения после интегрального преобразования превращаются в алгебраические, а уравнения в частных производных - в более простые, обыкновенные дифференциальные уравнения. Так как преобразование Лапласа является одним из основных математических инструментов теории автоматического управления, рассмотрим основные правила работы с ним.

Суть преобразования состоит в том, что для функции времени конструируется специальная функция новой переменной более простая, чем исходная. Функцию называют “оригинал”, а – “изображение”. Соответствие между ними обозначают так

 

(1.5)

 

Аналитическая связь между оригиналом и изображением устанавливается посредством прямого и обратного преобразований.

Прямое преобразование Лапласа определяет переход от функции к функции , который осуществляется по формуле

 

(1.6)

 

Приведем без доказательства примеры прямых преобразований над несколькими часто используемыми функциями времени.

 

1. Если , где A – постоянная величина, то изображением этой функции будет

 

(1.7)

 

2. Если оригиналом выступают производные , то их изображения определяются так

(1.8)

…

 

где f(0), ,…– начальные значения функции и ее производных. Этим преобразованием дифференцирование заменяется на более простую операцию - умножение.

 

3. Изображение интеграла от представляется следующим образом

(1.9)

 

Как отсюда видно этим преобразованием операция интегрирования заменяется на операцию деления.

Обратное преобразование Лапласа осуществляет обратный переход от функции к функции . Этот переход может быть сделан несколькими путями.

Первый путь состоит в применении так называемых “формул соответствия” между F(p) и , которые публикуются в специальных справочниках.

Второй путь это проведение обратного преобразования с использованием математического аппарата теории вычетов.

Третий путь считается основным и состоит в применении так называемых “формул разложения”, на правилах использования которых остановимся подробнее.

Формулы разложения применимы для изображений, которые можно представить в виде дроби числитель и знаменатель которой являются полиномами

 

(1.10)

 

при условии, что .

В теории преобразований Лапласа получены две формулы разложения, область использования которых определяется корнями полинома .

Если среди корней этого полинома p₁, p₂,…, p_n нет кратных, то оригинал определяется по формуле

 

(1.11)

 

Если в уравнении есть кратные корни, то должна использоваться другая формула

(1.12)

 

Эта формула написана для полинома имеющего q простых корней (p₁, p₂,…, p_q) и m кратных корней, один из которых имеет кратность r.

Примечание. Практическая работа с формулами разложения приводит к двум алгебраическим задачам.

Первая задача - это нахождение корней . Эта задача может представлять серьезную самостоятельную проблему при работе с полиномами больших степеней. В специальной технической и математической литературе описываются различные аналитические и графические методы определения корней.

Вторая задача возникает, когда среди корней есть комплексные, и оригинал, полученный в комплексной форме, приходится преобразовывать в вещественную форму.

Пусть среди корней V(p) есть комплексные корни . Их подстановка в формулу разложения даст оригинал тоже в комплексной форме

 

 

Для перехода к вещественной форме записи поступают так. Записывают

 

и , где , , и по формуле Эйлера находят

.

 

Теперь оригинал будет записан в вещественной форме следующим образом

 

.

Некоторые теоремы и предельные соотношения.1. Теорема запаздывания (теорема о смещении в области оригиналов). Если функции f(t) соответствует изображение F(p) , то функции будет соответствовать изображение . Для доказательства введем новую переменную , и учтем, что и

 

.

2. Теорема смещения в области изображений. Если изображению F(p) соответствует f (t), то изображению соответствует функция . Действительно

 

.

 

3. Теорема о предельном переходе. Определяет формулу нахождения начального значения функции f(0) по изображению, без применения обратного преобразования

.

Пример 1.3. Записать интегральное преобразование Лапласа для дифференциального уравнения

 

где A – постоянная величина, и – начальные условия.

Решение. Запишем изображения всех составляющих исходного уравнения, то есть изображения функции, ее производных и правой части:

 

, , .

 

 

Так как правая часть уравнения постоянная величина, то ее изображением будет

 

 

После подстановки всех изображений в исходное уравнение получим операторное уравнение

.

 

Решением этого уравнения является функция

 

 

где , , .

 

 

Пример 1.4.Найти оригинал для изображения

Решение. Полином имеет корни , . И так как эти корни не кратные оригинал определяем по формуле разложения (1.11). Учитывая, что , оригинал будет такой

 

 

Пример 1.5.Найти оригинал для

Решение. Среди корней корень второй кратности, поэтому оригинал определяется по формуле разложения (1.12). Корню соответствует оригинал

 

Корню соответствует оригинал

 

 

Следовательно,

 

ГЛАВА 2

 

СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ И ИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

 

 

2.1. Понятие о структурной схеме

 

Пусть между переменными x₁ и x₂ установлено линейное преобразование

 

. (2.1)

 

Введем понятие “звена”, которому присвоим свойство производить преобразование W над входным сигналом x_1. Изобразим это звено в виде прямоугольника, и укажем направление действия сигнала стрелками. Тогда преобразованию в алгебраической форме (2.1) будет соответствовать схема, изображенная на рис. 2.1.

 

 

 

Рис. 2.1

 

Если в преобразовании участвует более двух переменных, то графическим изображением такого преобразования уже будет схема с несколькими звеньями, соединенными между собой связями. Для того, чтобы схема была эквивалентна своей алгебраической форме, на звено и связи должны быть наложены следующие условия: 1) звено обладает детекторным эффектом, то есть сигнал в звене проходит только в одном направлении: от входа к выходу;

2) при разветвлении сигнала в узле он не делится.

Схемы, составленные из таких звеньев, называются структурными схемами. При изображении структурных схем придерживаются следующих условных обозначений: внутри прямоугольника, определяющего звено, указывается его функция преобразования; соединения звеньев показываются линиями со стрелками, показывающими направления действия сигналов; в месте разветвления сигнала ставится точка (рис.2.2, а); суммирование сигналов обозначается кружком с указанием знака операции (рис.2.2, б); узел сравнения обозначается кружком с перекрещенными линиями (рис.2.2, в).

 

 

Рис. 2.2

 

На приведенном ниже примере читатель может убедиться в эквивалентности системы уравнений и изображенной рядом структурной схемы.

 

Решить систему уравнений относительно двух переменных, например, относительно _, где зависимая переменная, это значит найти зависимость , в которой исключены все остальные переменные. Получить это же решение на структурной схеме, это значит преобразовать схему в эквивалентное звено, входом и выходом которого должны быть точки действия соответствующих переменных, в данном случае это и _. При этом входом схемы служит независимая переменная , а выходом зависимая переменная .

Вывод. Структурная схема является одним из методов записи и решения систем линейных алгебраических уравнений. Решение системы превращается в процедуру преобразования структурной схемы в эквивалентное звено.

 

 

2.2. Правила преобразования структурных схем

 

Приведенные ниже правила показывают основные, типовые преобразования простейших схем в эквивалентное звено и определяют формулы для определения передаточной функции этого звена. Правила иллюстрируются на примерах соединения (2-3) звеньев.

Последовательное соединение звеньев (рис.2.3). Такому соединению звеньев эквивалентна следующая система уравнений

 

 

 

Рис. 2.3

 

Подстановка первого уравнения во второе, а второго в третье дает решение системы уравнений и значение передаточной функции эквивалентного звена

 

.

 

В общем случае при последовательном соединении n звеньев их передаточные функции перемножаются

. (2.2)

 

Параллельное соединение звеньев (рис.2.4). При параллельном соединении на входах звеньев действует единый сигнал, а выходные сигналы складываются (или вычитаются). Это равносильно следующей системе уравнений

 

	x4

Рис. 2.4

 

 

Подставляя первые три уравнения системы в четвертое, получим

 

.

 

При параллельном соединении n звеньев их передаточные функции складываются

 

. (2.3)

 

Схема с обратной связью (рис.2.5). В схемах этого типа сигнал с выхода схемы подается на ее вход со знаком (-) или (+), преобразуясь предварительно в звене обратной связи. Такой схеме соответствует следующая система алгебраических уравнений

Рис. 2.5

 

После исключения переменных и Dх получим решение системы и значение эквивалентной передаточной функции

 

. (2.4)

 

В этой формуле знак (+) соответствует отрицательной обратной связи, а знак (-) положительной.

 

Перенос точки разветвления через звено. В исходной схеме (рис.2.6, а) точка разветвления может быть перенесена как по ходу сигнала, так и против хода.

При переносе точки по ходу сигнала (рис. 2.6,б) в цепь ответвления сигнала ставится звено с передаточной функцией 1/W₂ , в результате чего сигнал восстанавливается от лишнего преобразования W₂.

 

 

При переносе точки разветвления против хода сигнала (рис. 2.6,в) в цепь ответвления ставится звено, эквивалентное тому, через которое точка переносится. При этом сигнал при переносе не теряет преобразование W_{1 .}

 

Пример 2.1. Для структурной схемы изображенной на рис. 2.7,а найти передаточную функцию относительно точек , . Последовательность упрощений исходной схемы показана на рис. 2.7,б,в. Звенья W₂,W₆ соединены параллельно, и поэтому запишем _. Преобразованию группы звеньев W₃,W₄,W₇ мешает точка съема сигнала а, поэтому переносим ее по ходу сигнала через звено W₄. Схема, полученная после этих преобразований, приведена на рис. 2.7,б. Далее преобразуем две группы последовательно соединенных звеньев W₉ = W₁W₈, W₁₀ = W₅ + 1/W₄ и цепь с отрицательной обратной связью W₁₁=W₃W₄/ (1+W₃ W₄W₇).

В результате получена схема изображенная на рис. 2.7,в, представляющая собой контур с положительной ОС. Преобразование этого контура дает следующую передаточную функцию

 

.

 

После соответствующих подстановок и преобразований окончательно получим

 

. (2.5)

 

 

Во многих практических расчетах структурные схемы настолько сложные, что пользоваться методом последовательных преобразований становится неудобно, и в этих случаях используют универсальную формулу Мейсона. По формуле Мейсона передаточная функция относительно точек c-вход и d-выход определяется так

 

. (2.6)

 

Здесь m – количество прямых путей от c к d , а - передаточная функция i-го прямого пути; k – количество независимых замкнутых контуров схемы, а - передаточная функция j-го контура; знаком «» обозначено исключение в числителе и знаменателе всех слагаемых в которых встречаются произведения передаточных функций одних и тех же звеньев (включая звенья с передаточной функцией, равной единице).

 

Пример 2.2. Найти по формуле Мейсона передаточную функцию структурной схемы предыдущего примера (рис. 2.7,а).

Решение. Схема имеет два прямых пути (n=2) это W₁W₂W₃W₄ и W₁W₆ (-1)W₃W₄; три замкнутых контура (m=3) W₁W₂W₃W₅ , W₁W₆(-1)W₃W_{5 ,} W₃W₄W₇(-1). Подставив эти значения в формулу (2.6), получим

 

,

 

где .

 

После раскрытия скобок и исключения всех слагаемых, содержащих произведения одинаковых передаточных функций, получим выражение

 

,

 

совпадающее с выражением (2.5), полученным ранее путем последовательных структурных преобразований.

 

 

2.4. Передаточные функции структурной схемы

 

Структурная схема может иметь столько передаточных функций, сколько отличающихся пар точек в ней можно указать. При этом в каждой паре точек одна считается входом (с), а другая выходом (d). О такой передаточной функции будем говорить, что она составлена относительно точек (с,d), и отмечать это индексами

.

 

На рис.2.9 изображена структурная схема, в которой действует три внешних воздействия: задающее - x, возмущающее – z и выходное - y , а за элементом сравнения действует рассогласование (ошибка) . Ряд преобразований этой схемы, показанных ниже, позволит нам сформулировать несколько полезных правил, существенно упрощающих работу со структурными схемами.

Преобразование 1. Определим реакцию системы на задающее воздействие х. Считаем и в схеме (рис. 2.9,а) принимаем за вход и выход соответственно точки x и y. Передаточная функция относительно этих точек будет следующей

 

, (2.8)

 

где - передаточная функция прямого пути, а - передаточная функция разомкнутой структурной схемы.

 

Реакция системы на воздействие х определится уравнением

 

. (2.9)

 

Преобразование 2. Определим реакцию системы на возмущающее воздействие z. Теперь считаем , а за вход и выход принимаются соответственно точки z и y (рис. 2.9,б). Передаточная функция в этом случае равна

 

 

где - передаточная функция прямого пути. Реакция системы на воздействие z

 

. (2.11)

 

В силу линейного характера структурной схемы полную реакцию системы определим наложением двух режимов, то есть

 

.

 

Анализ (2.8) и (2.9) иллюстрирует характерное свойство передаточных функций. Передаточная функция относительно двух произвольных точек «c,d» представляется дробью, в числителе которой записывается передаточная функция разомкнутого участка между выбранными точками, а в выражении знаменателя используется передаточная функция разомкнутой системы в выражении . Это можно записать так

.

 

Воспользуемся этим правилом для определения ошибки , вызванной действием задания x. Для этого достаточно найти передаточную функцию исходной схемы (рис. 2.8,а) относительно точек . Так как передаточная функция прямого пути от x к равна единице (рис. 2.8,в), то передаточная функция по ошибке будет равна

,

 

а сама ошибка будет равна

 

.

 

 

ГЛАВА 3