ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. Классическое определение вероятности.

§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Случайные события. Частота. Вероятность.

Случайным событием (или просто событием) называется всякое явление, которое может произойти или не произойти при осуществлении определенной… Если, например, испытание состоит в бросании монеты, то выпадение герба… События будем обозначать заглавными буквами латинского алфавита: A, В, С, ... .

Классическое определение вероятности.

Как было сказано выше, при большом числе n испытаний частота P*(A)=m/n появления события A обладает устойчивостью и дает приближенное значение вероятности события A, т.е. .

Это обстоятельство позволяет находить приближенно вероятность события опытным путем. Практически такой способ нахождения вероятности события не всегда удобен. В ряде случаев вероятность события удается определить до опыта с помощью понятия равновероятности событий (или равновозможности).

Два события называются равновероятными (или равновозможными), если нет никаких объективных причин считать, что одно из них может наступить чаще, чем другое.

Так, например, появления герба или надписи при бросании монеты представляют собой равновероятные события.

Рассмотрим другой пример. Пусть бросают игральную кость. В силу симметрии кубика можно считать, что появление любой из цифр 1, 2, 3, 4, 5 или 6 одинаково возможно (равновероятно).

События E1,E2, ..., EN в данном опыте образуют полную группу, если в результате опыта должно произойти хотя бы одно из них.

Так, в последнем примере полная группа событий состоит из шести событий — появлений цифр 1, 2, 3, 4, 5 и 6.

Очевидно, любое событие A и противоположное ему событие образуют полную группу.

Событие B называется благоприятствующим событию A, если наступление события B влечет за собой наступление события A.

Так, если A — появление четного числа очков при бросании игральной кости, то появление цифры 4 представляет собой событие, благоприятствующее событию A.

Пусть события E1,E2, ..., EN в данном опыте образуют полную группу равновероятных и попарно несовместных событий. Будем называть их исходами испытания. Предположим, что событию A благоприятствуют M исходов испытания. Тогда вероятностью события A в данном опыте называют отношение M/N. Итак, мы приходим к следующему определению.

Вероятностью P(A) события в данном опыте называется отношение числа M исходов опыта, благоприятствующих событию A, к общему числу N возможных исходов опыта, образующих полную группу равновероятных попарно несовместных событий:

 

Это определение вероятности часто называют классическим. Можно показать, что классическое определение удовлетворяет аксиомам вероятности.

Пример 1. На завод привезли партию из 1000 подшипников. Случайно в эту партию попало 30 подшипников, не удовлетворяющих стандарту. Определить вероятность P(A) того, что взятый наудачу подшипник окажется стандартным.

Решение: Число стандартных подшипников равно 1000—30=970. Будем считать, что каждый подшипник имеет одинаковую вероятность быть выбранным. Тогда полная группа событий состоит из N=1000 равновероятных исходов, из которых событию A благоприятствуютМ=970 исходов. Поэтому P(A)=M/N=970/1000=0.97 )

 

 

Пример 2. В урне 10 шаров: 3 белых и 7 черных. Из урны вынимают сразу два шара. Какова вероятность р того, что оба шара окажутся белыми?

Решение: Число N всех равновероятных исходов испытания равно числу способов, которыми можно из 10 шаров вынуть два, т. е. числу сочетаний из 10 элементов по 2:

 

Число благоприятствующих исходов:

 

Следовательно, искомая вероятность

 

 

Пример 3. В урне 2 зеленых, 7 красных, 5 коричневых и 10 белых шаров. Какова вероятность появления цветного шара?

Решение: Находим соответственно вероятности появления зеленого, красного и коричневого шаров:
Р(зел.)=2/24; Р(кр.)=7/24; Р(кор.)=5/24. Так как рассматриваемые события, очевидно, несовместны, то, применяя аксиому сложения, найдем вероятность появления цветного шара:

 

 

Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.

Рассмотрим следующий пример. Пусть брошены две монеты. Найдем вероятность появления двух гербов. Мы имеем 4 равновероятных попарно несовместных… Таким образом, P(герб,герб)=1/4. Пусть теперь нам стало известно, что на первой монете выпал герб. Как изменится после этого вероятность того, что герб…

Формула полной вероятности.

  Применяя аксиому сложения вероятностей, имеем

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ ИСПЫТАНИЯ. ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ.

Всякую комбинацию, в которую А входит m раз и входит n-m раз, назовем благоприятной. Количество благоприятных комбинаций равно количеству k… Подсчитаем вероятности благоприятных комбинаций. Рассмотрим сначала случай, когда событие A происходит в первых m…

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Понятие случайной величины является основным в теории вероятностей и ее приложениях. Случайными величинами, например, являются число выпавших очков при однократном бросании игральной кости, число распавшихся атомов радия за данный промежуток времени, число вызовов на телефонной станции за некоторый промежуток времени, отклонение от номинала некоторого размера детали при правильно налаженном технологическом процессе и т. д.
Таким образом, случайной величиной называется переменная величина, которая в результате опыта может принимать то или иное числовое значение.
В дальнейшем мы рассмотрим два типа случайных величин — дискретные и непрерывные.

Дискретные случайные величины.

Такая случайная величина называется дискретной (прерывной). Функция р(х) называется законом распределения вероятностей случайной величины, или…  

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Функция распределения вероятностей случайной величины и ее свойства.

Эта функция называется функцией распределения вероятностей, или кратко, функцией распределения.   Пример 1. Найти функцию распределения случайной величины , приведенной в примере 1, п. 1.

Равномерное распределение.

  где k - коэффициент пропорциональности, не зависящий от x1 и x2, а разность x2-x1, - длина сегмента [x1,x2]. Так как…

Нормальное распределение.

где a - любое действительное число, а >0. Смысл параметров a и будет установлен в дальнейшем (см. §4, п. 2). Исходя из связи между плотностью… График функции симметричен относительно прямой x=a. Несложные исследования показывают, что функция достигает…

Двумерные случайные величины.

Функция двух переменных (34) определенная для любых x и y, называется функцией распределения системы двух… Будем рассматривать и как декартовы координаты точки на плоскости. Точка может занимать то или иное положение на…

ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

В теории вероятности и во многих ее приложениях большое значение имеют различные числовые характеристики случайных величин. Основными из них являются математическое ожидание и дисперсия.

Математическое ожидание случайной величины и его свойства.

m1 - число подшипников с внешним диаметром х1, m2 - число подшипников с внешним диаметром х2, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .… Здесь m1+m2+...+mn=N. Найдем среднее арифметическое значение xср внешнего…

Линейные функции случайных величин.

Докажем это утверждение. Пусть для простоты B>0. Отценим вероятность…

ЗАКОНЫ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ.

Леммы Чебышева.

Лемма 1. Пусть — случайная величина, принимающая только неотрицательные значения; тогда Доказательство:

Закон больших чисел Чебышева.

Доказательство: Обозначим через величину , т.е. среднюю арифметическую n случайных величин.…

Закон больших чисел Бернулли.

Закон больших чисел в форме Бернулли состоит в следующем: с вероятностью,… иными словами, при неограниченном увеличении числа n опытов частота m/n события А сходится по вероятности к Р(А). …

ТЕОРЕМЫ ЛЯПУНОВА И ЛАПЛАСА.

Теорема Ляпунова.

1) Cуществует такое число L, что для любого i имеет место неравенство , т, е. все значения случайных величин, как говорят, равномерно ограничены,… 2) Cумма неограниченно растет при . Тогда при достаточно большом n сумма имеет распределение, близкое к нормальному.

Основной закон ошибок.

    3. Интегральная теорема Лапласа. Имеет место следующее утверждение.

ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ К ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ.

Пусть для определения неизвестной физической постоянной а производится n независимых измерений, причем считается, что грубые и систематические ошибки отсутствуют (см. § 6, п. 2). Возможный результат каждого из n измерений есть случайная величина, которую мы обозначим через (i — номер измерения). Так как каждое измерение не зависит от результатов других измерений, то мы имеем nслучайных независимых величин . Обозначим через x₁, x₂, ..., x_n фактически полученные результаты n измерений величины а. Таким образом, x_i есть одно из возможных значений .
На основании закона больших чисел Чебышева (см, § 5, п. 2) мы можем утверждать, что с практической достоверностью для достаточно большого числа n измерений средняя арифметическая результатов измерений отличается от истинного значения физической постоянной сколь угодно мало, т. е. с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, имеет место приближенное равенство

Оценим точность этого приближенного равенства. Для этого прежде всего заметим, что в силу основного закона ошибок (см. § 6, п. 2) каждый возможный результат измерения есть случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону распределения вероятностей с одним и тем же математическим ожиданием, равным истинному значению а измеряемой величины: (i=1, 2, ..., n). Далее будем предполагать, что все измерения проводятся с одинаковой степенью точности (равноточные измерения). Поэтому дисперсии всех случайных величин должны быть одинаковыми, т. е. .
Сначала рассмотрим случай оценки неизвестного значения а, предполагая известным значение . Так как возможный результат i-гo измерения есть случайная величина , подчиняющаяся нормальному закону распределения вероятностей с математическим ожиданием и дисперсией , то случайная величина также имеет нормальное распределение с тем же математическим ожиданием , и средним квадратическим отклонением (см. § 4, п. 3). Поэтому плотность распределения вероятностей для средней арифметической имеет вид

где параметры распределения равны а и
Следовательно, вероятность того, что при n измерениях мы получим такую совокупность значений , что при любом интервал будет содержать а, на основании формулы (33) определяется соотношением

(58)

Интервал имеет случайные границы и . Соотношение (58) справедливо для любого значения . Вероятность не зависит от конкретных значений, которые принимают случайные величины и при возрастании числа измерений n в силу свойства функции Ф(х) возрастает (см. § 3, п. 4). Соотношение (58) показывает, что каковы бы ни были значения x₁, x₂, ..., x_n полученные при измерении, имеет место формула

(59)

где . Величина называется средней выборочной. Формулой (59) в большинстве случаев пользоваться нельзя, так как обычно значение неизвестно. Поэтому рассмотрим случай, когда обе величины а и неизвестны.
Пусть случайная величина s² определена соотношением

(60)

где . Можно показать, что величина s² имеет математическое ожидание, равное , и дисперсию, равную , т.е.

(доказательство не приводим ввиду громоздкости вычислений). Применим к случайной величине s² вторую лемму Чебышева (см. § 5, п. 1):

где . Подставляя значения M(s²) и D(s²), получим

(61)

Соотношение (61) показывает, что если , то , т.е. s² стремится по вероятности к .
Рассмотрим величину

Так как есть одно из возможных значений s², то при достаточно больших n с практической достоверностью можно утверждать, что имеет место приближенное равенство

(62)

где . Величину называют выборочной дисперсией.
На практике для оценки вероятности того, что истинное значение а измеряемой величины лежит в интервале , пользуются формулой (59), где вместо подставляют ее приближенное значение , найденное по формуле (62).
Итак, для достаточно больших значений n имеем

(63)

где

(64)

Интервал называется доверительным интервалом, а вероятность — надежностью *.

 

Пример. Для определения процентного содержания хрома в стали были проделаны 34 измерения, результаты которых сведены в таблицу: № xi 4,505 4,524 0,019 0,000361 4,492 -0,013 0,000169 4,5 -0,005 0,000025 4,493 -0,012 0,000144 4,515 0,01 0,0001 4,504 -0,001 0,000001 4,508 0,003 0,000009 4,517 0,012 0,000144 4,513 0,008 0,000064 4,519 0,014 0,000196 4,511 0,006 0,000036 4,485 -0,02 0,0004 4,497 -0,008 0,000064 4,502 -0,003 0,000009 4,507 0,002 0,000004 4,501 -0,004 0,000016 4,501 -0,004 0,000016   № xi 4,507 0,002 0,000004 4,502 -0,003 0,000009 4,497 -0,008 0,000064 4,485 -0,02 0,0004 4,511 0,006 0,000036 4,519 0,014 0,000196 4,513 0,008 0,000064 4,517 0,012 0,000144 4,508 0,003 0,000009 4,504 -0,001 0,000001 4,515 0,01 0,0001 4,493 -0,012 0,000144 4,5 -0,005 0,000025 4,492 -0,013 0,000169 4,424 0,019 0,000361 4,505 153,186   0,006968   Найти доверительный интервал с надежностью =0,9973 Решение: Здесь n=34. Используя табличные данные, находим При надежности =0,9973 по формуле (63) получим Cледовательно, Из табл. II Приложения найдем В данном случае доверительный интервал Итак с надежностью =0,9973 процентное содержание хрома в стали находится в интервале ] 4,498; 4,513 [.

 

Расчет по формуле (63) дает удовлетворительные по точности результаты при .

 

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ К СТАТИСТИКЕ.

Математическая статистика - это раздел математики, в котором изучаются методы обработки и анализа экспериментальных данных, полученных в результате наблюдений над массовыми случайными явлениями. Таким образом, обработка результатов измерения (cм. § 7) является одной из задач математической статистики. В этом параграфе мы рассмотрим еще две задачи математической статистики.

Определение неизвестной функции распределения.

которая называется статистическим рядом. Эмпирической (или статистической) функцией распределения случайной величины называется частота события,… На практике достаточно найти значения статистической функции распределения F*(x) в точках X0, X1, ..., Xk, которые…

Определение неизвестных параметров распределения.

где (67) Из двух полученных уравнений (66) находят неизвестные параметры A и B. Так,…

Коэффициент корреляции.

Если же и не являются независимыми случайными величинами, то, вообще говоря, Условились за меру связи (зависимости) двух случайных величин и принять безразмерную величину , определяемую…

Функции и линии регрессии.

[см. формулу (40)]. Каждому возможному значению x случайной величины …

Анализ линейной корреляции по опытным данным.

(x1, y1), (x2, y2), ..., (xi, yi), ..., (xn, yn). За приближенные значения , , и принимают их выборочные значения , , и [см.…   (79)