Математическое ожидание случайной величины и его свойства.

Рассмотрим сначала следующий пример. Пусть на завод поступила партия, состоящая из N подшипников. При этом:

m₁ - число подшипников с внешним диаметром х₁,
m₂ - число подшипников с внешним диаметром х₂,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
m_n - число подшипников с внешним диаметром х_n,

Здесь m₁+m₂+...+m_n=N. Найдем среднее арифметическое значение x_ср внешнего диаметра подшипника. Очевидно,

Внешний диаметр вынутого наудачу подшипника можно рассматривать как случайную величину , принимающую значения х₁, х₂, ...,х_n, c соответствующими вероятностями p₁=m₁/N, p₂=m₂/N, ..., p_n=m_n/N, так как вероятность p_i появления подшипника с внешним диаметром x_i равна m_i /N. Таким образом, среднее арифметическое значение x_ср внешнего диаметра подшипника можно определить с помощью соотношения

Пусть - дискретная случайная величина с заданным законом распределения вероятностей

Значения	х1	х2	. . .	хn
Вероятности	p1	p2	. . .	pn

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма парных произведений всех возможных значений случайной величины на соответствующие им вероятности, т.е. *

(39)

Возвращаясь к разобранному выше примеру, мы видим, что средний диаметр подшипника равен математическому ожиданию случайной величины - диаметру подшипника.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения называется число, определяемое равенством

(40)

При этом предпологается, что несобственный интеграл, стоящий в правой части равенства (40) существует.

Рассмотрим свойства математического ожидания. При этом ограничимся доказательством только первых двух свойств, которое проведем для дискретных случайных величин.

1°. Математическое ожидание постоянной С равно этой постоянной.
Доказательство. Постоянную C можно рассматривать как случайную величину , которая может принимать только одно значение C c вероятностью равной единице. Поэтому

2°. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е.

Доказательство. Используя соотношение (39), имеем

3°. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин:

(41)

4°. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин **:

(42)

 

* в случае, если множество возможных значений дискретной случайной величины образует бесконечную последовательность x₁, x₂, ...,x_n, ..., то математическое ожидание этой случайной величины определяется как сумма ряда

причем требуется, чтобы этот ряд абсолютно сходился.

** Под суммой (произведением) двух случайных величин и понимают случайную величину

, возможные значения которой состоят из сумм (произведений) каждого возможного значения величины и каждого возможного значения величины .

 

2. Дисперсия и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение.

Во многих практически важных случаях существенным является вопрос о том, насколько велики отклонения случайной величины от ее математического ожидания.
Предварительно рассмотрим пример. Пусть две случайные величины и заданы следующими рядами распределения

Значения	-0,2	-0,1	0,1	0,2
Вероятности p(x)	0,25	0,25	0,25	0,25

Значения	-50	-40	40	50
Вероятности p(x)	0,25	0,25	0,25	0,25

Легко убедится в том, что математические ожидания этих величин одинаковы и равны нулю:

Однако разброс значений этих величин относительно их математического ожидания неодинаков. В первом случае значения, принимаемые случайной величиной , близки к ее математическому ожиданию, а во втором случае далеки от него. Для оценки разброса (рассеяния) значений случайной величины около ее математического ожидания вводится новая числовая характеристика - дисперсия.
Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математичекого ожидания *:

(43)

Пусть - дискретная случайная величина, принимающая значения x₁, x₂, ..., x_n соответственно с вероятностями p₁, p₂, ..., p_n. Очевидно, случайная величина принимает значения

с теми же вероятностями p₁, p₂, ..., p_n. Следовательно, согласно определению математического ожидания дискретной случайной величины, имеем

(44)

Если же - случайная величина с плотностью распределения , то по определению

(45)

Принимая во внимание определение дисперсии и свойства математического ожидания, имеем

Так как и - постоянные, то используя свойства математического ожидания, получим

Следовательно,

Откуда окончательно находим

(46)

Рассмотрим теперь свойства дисперсии.

1°. Дисперсия постоянной равна нулю.

Доказательство. Пусть . По формуле (46) имеем

так как математическое ожидание постоянной есть эта постоянная:

 

2°. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

(47)

Доказательство. На основании соотношения (46), можно записать

Так как

и

то

 

3°. Если и - независимые случайные величины , то дисперсия суммы этих величин равна сумме их дисперсий:

(48)

Доказательство. По формуле (46) имеем

Но

Так как и - независимые случайные величины, то

Следовательно

Далее,

поэтому

Таким образом

Следовательно

Замечание. Свойство 3° распространяется на любое конечное число попарно независимых случайных величин:

 

 

Средним квадратическим отклонением случайной величины называется корень квадратный из ее дисперсии:

(49)

Среднее квадратическое отклонение имеет ту же размерность, что и случайная величина .

 

Пример 1. Cлучайная величина - число очков, выпадающих при однократном бросании игральной кости (см. § 3, п.1, пример 1). Определить: математическое ожидание, дисперсию и средне квадратическое отклонение

Решение:

Используя формулы (39), (44) и (49) соответственно получим

 

Пример 2. Cлучайная величина - число наступления события A при одном испытании, причем P(A)=p (см. § 3, п.1, пример 2). Найти математическое ожидание и дисперсию.

Решение:

Величина принимает два значения 0 и 1 соответственно с вероятностями q=1-p и p. Поэтому по формулам (39) и (44) находим

 

Пример 3. Cлучайная величина m - число наступления события A в n независимых опытах, причем вероятность наступления события A в каждом опыте равна p. Найти M(m), D(m) и

Решение:

Пусть - случайная величина, принимающая значения 1 или 0 в зависимости от того, происходит или не происходит событие A в i-м опыте. Тогда . Ясно, что попарно независимы. Из результата примера 2 следует, что , для любого i. На основании свойства 3° для математического ожидания и дисперсии имеем

 

 

Пример 4. Пусть - случайная величина распределенная по закону Пуассона

[См. формулу (17)]. Найти:

Решение:

Используя соотношение (39), получим

Так как

 

 

Пример 5. Пусть - случайная величина, имеющая равномерное распределение с плотностью

[См. формулу (27)]. Найти математическое ожидание, дисперсию и средне квадратическое отклонение cлучайной величины.

Решение:

По формулам (40), (45) и (49) находим

 

Пусть - нормально распределенная случайная величина, с параметрами a и (см. § 3, п.5). Найдем и Так как

,то по формуле (40) находим

Проведем в интеграле замену переменной, полагая

тогда

Следовательно,

Но

[См. формулу (29)]. Далее, так как функция нечетная, то по свойству нечетных функций

Следовательно,

Дисперсию находим по формуле (45)

(вычисление интеграла не приводим).

Итак,

 

Таким образом, параметры a и для нормально распределенной случайной величины имеют простой вероятностный смысл: a есть математическое ожидание, - среднее квадратическое отклонение.

 

* Казалось бы естественным рассматривать не квадрат отклонения, а просто отклонение случайной величины от ее математического ожидания. Однако математическое ожидание этого отклонения равно нулю, так как

Здесь мы воспользовались тем, что постоянно, а математическое ожидание постоянной есть эта постоянная. Можно было бы принять за меру рассеяния математическое ожидание модуля отклонения случайной величины от ее математического ожидания: . Однако, как правило, действия связанные с абсолютными величинами, приводят к громоздким вычислениям.