Реферат Курсовая Конспект
Анализ линейной корреляции по опытным данным. - раздел Философия, ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. Классическое определение вероятности. Одной Из Задач Математической Статистики Является Исследование Корреляционной...
|
Одной из задач математической статистики является исследование корреляционной зависимости между случайными величинами. Пусть проведено n опытов, в результате которых получены следующие значения системы величин :
(x1, y1), (x2, y2), ..., (xi, yi), ..., (xn, yn).
За приближенные значения , , и принимают их выборочные значения , , и [см. формулы (66) и (67)]:
(78) |
(79) |
Выборочными коэффициентами корреляции называют число , определяемое соотношением:
(80) |
Можно показать, что сходится по вероятности к коэффициенту корреляции .
Заменяя в соотношениях (76) величины , и их выборочными значениями , и [см. формулы (79) и (80)], получим приближенные значения коэффициентов регрессии:
(81) |
Подставляя в уравнения (74) и (75) приближенные значения коэффициентов регрессии и используя соотношения (78) и (81), получим уравнения эмпирических прямых регрессий:
на :
(82) |
на :
(83) |
При большом числе опытов для упрощения подсчета значений , , , и коэффициента корреляции поступим следующим образом (см. § 9, п. 2, замечание).
Диапазоны изменения наблюдаемых значений случайных величин и разобьем соответственно на интервалы
]X0, X1[, ]X1, X2[, ..., ]Xi-1, Xi[, ..., ]Xk-1, Xk[
и
]Y0, Y1[, ]Y1, Y2[, ..., ]Yj-1, Yj[, ..., ]Ys-1, Ys[
Каждое из наблюдаемых значений , попавших в i-й (j-й) интервал, считаем приближенно равным середине этого интервала ci (dj). Пусть () - число значений , попавших в в i-й (j-й) интервал, а x0 и y0 - произвольные числа, близкие к серединам диапазонов изменения значений и . Полагая ui=ci-x0 и vj=dj-y0 и используя формулы (70) и (71), получим:
(84) |
где
Для подсчета выборочного коэффициента корреляции по формуле (80) сначала запишем выражение в новых переменных ui=ci-x0 и vj=dj-y0. Обозначим через mij число наблюдаемых значений пар , у которых значения попали в i-й интервал] Xi-1,Xi [, а значения - в j-й интервал ] Yj-1,Yj [. Каждое из этих значений и заменим соответствующими серединами ci и djинтервалов ] Xi-1,Xi [ и ] Yj-1,Yj [. Тогда
где сумма в правой части равенства распространена на все возможные пары чисел (i,j), причем i пробегает значения от 1 до k, а j - от 1до s. После преобразований в результате получим
Итак, окончательная расчетная формула для выборочного коэффициента корреляции имеет вид
Пример. Для выяснения зависимости между диаметром ствола () сосны и ее высотой () было исследовано 26 сосен. Наблюдаемые значения высоты сосен колеблются в границах от 22,5 до 28,5 м, диаметр ствола - от 20 до 48 см. Разбивая диапазон изменения высоты сосны на интервалы длиной 1 м, а диапазон изменения диаметра ствола на интервалы длиной 4 см, получим таблицу, приведенную вразделе 9.1.
Эта таблица называется корреляционной. В каждой ее клетке стоит число сосен, диаметр ствола и высота которых находится в указанных границах (числа mij). При подсчете статистических характеристик примем высоту всех сосен, попавших в данный интервал, равной середине сi этого интервала, а диаметр ствола - равным середине dj cоответствующего интервала. Подсчет выборочных средних, дисперсий и коэффициента корреляции производим по формулам (84) и (85). Для подсчета , , и составляем две вспомогательные таблицы, принимая x0=25 и y0=34, т.е. ui=ci-25 и vj=dj-34.
|
|
Из первой таблицы для высоты сосны получаем
Из второй таблицы для диаметра ствола сосны находим
Для подсчета составляем новую таблицу. В каждой ее клетке (справа) указано число mij сосен, имеющих одни и те же значения ui а vj, а слева указано произведение mijuivj. Последний столбец состоит из суммы всех mijuivj при постоянном j. Как видно из таблицы
ui | |||||||
vj | -2 | -1 | |||||
-12 | 48 2 | ||||||
-8 | 16 2 | 0 1 | -16 2 | ||||
-4 | 8 2 | 0 2 | -8 1 | ||||
0 2 | 0 1 | ||||||
0 1 | 4 1 | 16 2 | |||||
16 2 | 72 3 | ||||||
48 2 | |||||||
Используя формулу (85), найдем выборочный коэффициент корреляции:
По формулам (81) находим приближенные значения коэффициентов регрессии:
По формулам (82) и (83) найдем эмпирические уравнения прямых регрессий.
Уравнение прямой регрессии на имеет вид
y-33,85=3,81(x-25,65), или y=3,81x-63,88
Это уравнение дает зависимость среднего значения диаметра ствола от его длины.
Уравнение прямой регрессии на имеет вид
x-25,65=0,15(y-33,85), или x=0,15y+21,57
Последнее уравнение дает зависимость среднего значения длины ствола от его диаметра.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Классическое определение вероятности... Как было сказано выше при большом числе n испытаний частота P A m n... Это обстоятельство позволяет находить приближенно вероятность события опытным путем Практически такой способ...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Анализ линейной корреляции по опытным данным.
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов