Сцепление и трение скольжения

 

 

Рассмотрим равновесие тела лежащего на горизонтальной шероховатой поверхности OXY (рис. 1.73).

На тело действуют сила тяжести G и нормальная реакция N этой поверхности. Нетрудно видеть, что: G = – N; G = N. При этом реакция N перпендикулярна опорной поверхности OXY.

Если к телу, покоящемуся на шероховатой горизонтальной поверхности приложить горизонтальную силу S , то действие этой силы вызовет отклонение реакции R от нормали к этой поверхности на угол φ_ss (рис. 1.74).

 

Угол φ_SS называют углом сцепления. Реакцию R шероховатой поверхности раскладывают на горизонтальную F_ss и вертикальную N составляющие.

R = F_ss + N,

где F_ss – сила сцепления; N – нормальная реакция.

Сила F_ss противодействует смещению тела по шероховатой поверхности.

Модули F_ss, N сил F_ss, N связаны соотношением

F_ss = tg(φ_ss)·N.

Как правило, в технических расчётах используют понятие коэффициент сцепления f_ss = tg(φ_ss). Тогда имеем

F_ss = f_ss·N.

Из условия равновесия тела на шероховатой поверхности получим F_ss = S.

Благодаря сцеплению тело остается в покое при изменении модуля силы S от нуля до некоторого значения S_max. При значении S_max тело начинает двигаться по шероховатой поверхности. В инженерной практике говорят, что тело в этот момент времени находится в состоянии предельного равновесия.

Угол φ_ss сцепления, а следовательно, и коэффициент сцепления зависят от материала и физического состояния соприкасающихся тел и определяется экспериментально при предельном равновесии тела на шероховатой поверхности. В справочной литературе коэффициент сцепления φ_ss имеет максимальное значение. Его величина для материалов, используемых в технике, обычно меньше единицы. Зачастую в технической литературе коэффициент f_ss называют коэффициентом трения в покое.

Так как максимальное значение силы сцепления F_ssmax равно f_ss·N, то модуль силы сцепления всегда удовлетворяет условию

F_ss ≤ f_ss·N.

Направление силы сцепления противоположно направлению того движения, которое возникло бы под действием приложенных к телу сил при отсутствии сцепления.

 

При скольжении тела по шероховатой поверхности её реакция отклоняется от нормали на угол φ_tr ( рис. 1.75), который называют углом трения.

Как правило, реакцию шероховатой поверхности раскладывают на горизонтальную и вертикальную составляющие.

R = F_tr + N,

где F_tr – сила трения скольжения; N – нормальная реакция.

Сила F_tr противодействует перемещению тела по шероховатой поверхности, поэтому её направление противоположно направлению скорости V_C. Модуль F_tr силы трения скольжения F_tr пропорционален модулю N нормальной реакции N.

F_tr = tg(φ_tr)·N = f_tr·N,

где f_tr = tg(φ_tr) – коэффициент трения скольжения.

Коэффициент трения скольжения зависит от материала и физического состояния трущихся поверхностей, а также от скорости движения тела и удельного давления. Однако в элементарных расчётах зависимость коэффициента трения скольжения от скорости и удельного давления часто не учитывается. Экспериментально установлено, что f_tr < f_ss.

Величины коэффициентов трения скольжения определяются опытным путем и приводятся в справочной литературе.

Следует отметить, что силы F_ss, F_tr относятся к разряду внешних сил, так как они являются реакциями связей.

Так как в справочной литературе приведены максимальные значения коэффициентов f_ss, то их применяют при решении задач статики, когда механическая система находится в состоянии предельного равновесия.

Таким образом, при решении задач статики предельного состояния механической системы к уравнениям равновесия добавляют уравнение: F_ss = f_ss·N.

В частности, для плоской произвольной системы сил имеем:

Σ+ Σ= 0; (1)

Σ+ Σ= 0; (2)

Σ M_A(F_i^E) + Σ M_A(R_i^E) = 0; (3)

F_ss = f_ss·N. (4)

где Σ, Σ– соответственно суммы проекций активных сил на координатные оси OX, OY; Σ, Σ– суммы проекций реакций внешних связей на координатные оси OX, OY; Σ M_A(F_i^E) – сумма алгебраических моментов активных сил F_i^E относительно точки А; Σ M_A(R_i^E) – сумма алгебраических моментов реакций R_i^E внешних связей относительно точки А.

Выполнение курсовых заданий на сцепление и трение скольжения для заочной и дистанционной форм обучения не предусмотрено. Однако задачи такого типа включены в дидактические единицы интернет-экзамена. Рассмотрим один из примеров решения задачи на предельное равновесие механической системы.

Пример.

Тело весом G = 20 Н удерживается в равновесии на шероховатой наклонной поверхности с углом наклона α = 30^о силой S. Коэффициент сцепления f_ss = 0,3 (рис. 1.76).

Определить минимальное S_min значение силы S_min для перемещения тела вверх по наклонной плоскости.

 

Решение.

Приложим к телу активные силы G , S_min и реакции N , F_ss шероховатой поверхности (рис. 1.77).

Модули F_ss, N сил F_ss, N связаны соотношением

F_ss = f_ss·N.

Запишем уравнения предельного равновесия для тела, на которое действует система сил (G , S_min, N, F_ss).

Σ+ Σ= 0 = G·cos(α) + N = 0; (1)

Σ+ Σ= 0 =

= – G·sin(α) + S_min – F_ss = 0; (2)

F_ss = f_ss·N =0. (3)

 

Из уравнения (1) имеем N = G·cos(α). Тогда F_ss = f_ss·G·cos(α).

Из уравнения (2) определим S_min.

S_min = G·sin(α) + f_ss·G·cos(α) = G·(sin(α) + f_ss·cos(α)) =

= 20·(0,5 + 0,3·0,866) = 15,196 H.

Ответ: S_min = 15,196 H.

 

 

1.30. Центр тяжести твёрдого тела

 

 

В инженерной практике часто требуется определить положение центра тяжести тела или механической системы. Рассмотрим методику решения таких задач.

В теоретической механике тело рассматривают как непрерывную совокупность материальных точек. Если тело находится вблизи земной поверхности, то к каждой материальной точке C_i этого тела приложена её сила тяжести G_Ci. Эти силы тяжести приближенно образуют систему параллельных сил (линии действия сил тяжести двух материальных точек, находящихся на земной поверхности и отстоящих друг от друга на расстоянии 31 м, образуют угол, равный одной секунде).

Исходя из этого, в технических расчётах принято силы тяжести точек считать системой параллельных сил (рис. 1.78).

На рис. 1.78 использованы следующие обозначения: С – центр тяжести тела; C_i, C_i+n – материальные точки тела; X_Ci, Y_Ci, Z_Ci, X_Ci+n, Y_Ci+n, Z_Ci+n – координаты материальных точек в системе отсчёта OXYZ; r_Ci, r_Ci+n – радиус-векторы материальных точек; r_C – радиус-вектор центра тяжести тела; X_C, Y_C, Z_C – координаты центра тяжести тела; G – сила тяжести тела; – радиус-вектор i-й точки тела (начало радиус-вектора находится в центре С тяжести тела).

 

Силу G = Σ G_Ci прикладывают в точке, которую называют центром тяжести тела. Определим это понятие.

Центр тяжести твёрдого тела – геометрическая точка С, для которой сумма произведений весов G_Ci всех материальных точек, образующих твёрдое тело, на их радиус-векторы , проведенные из этой точки, равна нулю.

 

Согласно определению имеем:

= 0,

где G = Σ G_Ci – вес тела, равный сумме весов G_Ci материальных точек этого тела.

Радиус-вектор центра С тяжести тела и его координаты определяют по формулам:

;

;

;

.

Рассмотрим механическую систему, находящуюся в однородном поле сил тяжести (рис. 1.79). Под механической системой условимся понимать систему материальных тел, соединенных между собой недеформируемыми связями.

Силу тяжести G_C и вес G_C механической системы определяют по формулам:

G_C = Σ G_Ci; G_C = Σ G_Ci,

где G_Ci, G_Ci – соответственно сила тяжести и вес i-го тела, входящего в механическую систему.

Силу тяжести G_C прикладывают в центре С тяжести механической системы. Введем это понятие.

 

Центр тяжести механической системы – геометрическая точка С, для которой сумма произведений весов G_Ci всех материальных тел, входящих в механическую систему, на их радиус-векторы , проведённые из этой точки, равна нулю.

 

Исходя из этого определения, имеем

= 0.

Очевидно, что центр тяжести тела и центр тяжести механической системы определяют по одной методике.

Радиус-вектор r_C и координаты X_C, Y_C, Z_C центра тяжести механической системы определяют по формулам:

;

;

;

,

где G_Ci – вес i-го тела механической системы; r_Ci – радиус-вектор центра тяжести i-го тела; X_Ci, Y_Ci, Z_Ci – координаты центра тяжести i-го тела механической системы.

В динамике используют понятие центр масс механической системы. Положения центра тяжести механической системы и её центра масс совпадают. Понятие центр масс механической системы более широкое по сравнению с понятием центр тяжести механической системы. Понятие центр масс применимо для любой системы материальных точек независимо от того, находится ли она под действием каких-либо сил или нет, тогда как понятие центр тяжести применяется лишь для системы тел, находящихся в однородном поле сил тяжести.

Центр тяжести однородного тела, заполняющего некоторый объём, называется центром тяжести объёма. Его координаты находят по формулам:

;

;

,

где V_Ci – элементарный объём тела; V – полный объём тела; X_Ci, Y_Ci, Z_Ci – координаты центра тяжести i-го элементарного объёма тела.

Таким образом, для определения положения центра тяжести однородного тела, находящегося в некотором объёме, этот объём необходимо разбить на элементарные объёмы V_Ci (куб, параллелепипед, призма и т. д., положения центров тяжести которых приведено в справочной документации).

Однородное тело, имеющее форму тонкой пластинки, рассматривают как материальную плоскую фигуру. Координаты центра тяжести плоской фигуры определяют по формулам:

;

,

где F_Ci – элементарная площадь плоской фигуры; X_Ci, Y_Ci – координаты центра тяжести элементарной площади; F – площадь плоской фигуры.

Для определения положения центра тяжести плоской фигуры эту фигуру разбивают на элементарные участки площадью F_Ci (квадрат, прямоугольник, треугольник и т. д., положения центров тяжестей которых известны).

Аналогичным образом определяют положения центров тяжестей однородных тел, имеющих большую протяженность при сравнительно малой площади поперечного сечения (например, проволока).

;

;

,

где L_Ci – элементарная длина тела; L – полная длина тела, вытянутого в одну линию; X_Ci, Y_Ci, Z_Ci – координаты центра тяжести i-го участка элементарной длины тела.

При определении положения центра тяжести широко используют следующие рекомендации:

1) если однородное тело имеет ось симметрии, то его центр тяжести лежит на этой оси;

2) если однородное тело имеет плоскость симметрии, то его центр тяжести находится в этой плоскости;

3) если плоская фигура или линия имеет ось симметрии, то её центр тяжести лежит на этой оси.

 

При решении некоторых задач используют методы отрицательных площадей и объёмов. Поясним это примером.

Пример.

Определить положение центра тяжести однородного диска радиусом R с круглым отверстием, радиус которого r = R/2 (рис. 1.80)

 

Решение.

Заштрихованная фигура имеет ось симметрии, поэтому центр С её тяжести находится на оси ОХ. Отсюда имеем Y_C = 0. Координату Х_С находим по формуле

,

где F_Ci – элементарная площадь плоской фигуры; X_Ci – абсцисса центра тяжести элементарной площади; F – площадь плоской фигуры.

 

Расчленим исходную фигуру на две составные части. Первая фигура – сплошной круг радиусом R. Вторая фигура – круг радиусом r. Для двух тел последняя формула принимает вид

.

Согласно рис. 1.80 имеем:

Х_С1 = 0; F_C1 = (π·R²)/2; X_C2 = R/2; F_C2 = – (π·r²)/2.

Следует отметить, что F_C1 > 0, а F_C2 < 0. При наложении площадей F_C1, F_C2 друг на друга получим исходную площадь фигуры.

Учитывая, что r = R/2 и произведя вычисления, получим

X_C = – R/6.

Следует отметить, что координата Х_С центра тяжести отрицательна. Найденное значение Х_С покажем на рис. 1.80.

Выполнение курсовых заданий на определение координат центра тяжести тела для студентов заочной и дистанционной форм обучения не предусмотрено. Однако такого типа задачи включены в дидактические единицы интернет-экзамена. Рассмотрим один из примеров решения задачи на определение координат центра тяжести.

Пример.

На рис. 1.81 изображена линия, лежащая в плоскости OXY. Размеры заданы в метрах.

Решение.

Расчленим линию на два участка (рис. 1.82).

Первый участок имеет длину L_C1 = 2 м. Координаты центра С₁ его тяжести соответственно равны: X_C1 = 1 м; Y_C1 = 0 м. Второй участок имеет длину L_C2 = 10 м. Координаты центра С₂ тяжести этого участка соответственно равны: X_C1 = 2 м; Y_C1 = 5 м.

Определим координаты центра тяжести линии по формулам:

= = 1,833 м;

= = 4,166 м.

Покажем положение центра С тяжести линии на рис. 1.82.

Таким образом, задача решена, ответы получены.