Теорія ймовірностей та математична статистика

Білет №1.

Теорія ймовірностей та математична статистика.

1. Події та їх класифікація. Операції над подіями. Поняття елементарної та складної випадкової події. Простір випадкових подій.

2. Класичне та статистичне визначення ймовірності, їх властивості.

3. Задача:кидають два гральні кубики. Знайти ймовірність того, що: а) сума очок не перевищує ; б) добуток очок не перевищує ; в) добуток очок ділиться на .

 

Викладач к. психол.н. Жогно Ю.П.

Зав. каф. СДЗ та МП д.м.н. Аймедов К.В.

Білет №2.

Теорія ймовірностей та математична статистика.

1. Геометрична ймовірність.

2. Поняття залежності й незалежності випадкових подій. Умовна ймовірність та її властивості. Теорема про множення ймовірностей.

3. Задача.Є вироби чотирьох сортів, при цьому кількість виробів -го сорту дорівнює , . Для контролю навмання беруть виробів. Знайти ймовірність того, що серед них першого сорту, і другого, третього і четвертого відповідно .

 

Викладач к. психол.н. Жогно Ю.П.

Зав. каф. СДЗ та МП д.м.н. Аймедов К.В.

Білет №3.

Теорія ймовірностей та математична статистика.

1. Сумісні та несумісні події. Теорема додавання ймовірностей.

2. Повна група подій. Формула повної ймовірності.

3. Задача.Серед лотерейних білетів виграшних. Навмання взяли білетів. Знайти ймовірність того, що серед них виграшних.

Викладач к. психол.н. Жогно Ю.П.

Зав. каф. СДЗ та МП д.м.н. Аймедов К.В.

 

Білет №4.

Теорія ймовірностей та математична статистика.

1. Формула Байєса.

2. Визначення повторних незалежних спроб. Формула Бернуллі.

3. Задача.У двох партіях і доброякісних виробів відповідно. Навмання вибирають по одному виробу з кожної партії. Яка ймовірність виявити серед них: а) хоча б один бракований; б) два браковані; в) один бракований і один якісний виріб?

 

 

Викладач к. психол.н. Жогно Ю.П.

Зав. каф. СДЗ та МП д.м.н. Аймедов К.В.

Білет №5.

Теорія ймовірностей та математична статистика.

1. Формула Байєса.

2. Визначення повторних незалежних спроб. Формула Бернуллі.

3. Задача.Ймовірність того, що ціль вражена при одному пострілі першим стрільцем , другим – . Перший зробив , другий – пострілів. Знайти ймовірність, що ціль не вражена.

Викладач к. психол.н. Жогно Ю.П.

Зав. каф. СДЗ та МП д.м.н. Аймедов К.В.

Білет №6.

Теорія ймовірностей та математична статистика.

1. Асимптотичні формули для схеми Бернуллі (локальна й інтегральна теореми Муавра-Лапласа, Пуассона).

2. Ймовірність появи хоча б однієї події. Найімовірніше число появи події при повторенні випробувань.

3. Задача.З 1000 ламп належать -й партії, . У першій партії 6%, в другій 5%, в третій 4% бракованих ламп. Навмання беруть одну лампу. Знайти ймовірність того, що вибрана лампа – бракована.

 

Викладач к. психол.н. Жогно Ю.П.

Зав. каф. СДЗ та МП д.м.н. Аймедов К.В.

 

 

Білет №7.

Теорія ймовірностей та математична статистика.

1. Ймовірність відхилення відносної частоти від ймовірності в незалежних випробуваннях.

2. Випадкові величини та їх класифікація. Закон розподілу для дискретної випадкової величини.

3. Задача. У першій урні білих і чорних кульок, в другій білих та чорних. З першої в другу переклали куль, потім з другої вийняли одну кулю. Знайти ймовірність того, що вийнята з другої урни куля – біла.

 

Викладач к. психол.н. Жогно Ю.П.

Зав. каф. СДЗ та МП д.м.н. Аймедов К.В.

 

Білет №8.

Теорія ймовірностей та математична статистика.

1. Функції розподілу ймовірностей для неперервної випадкової величини та їх властивості.

2. Числові характеристики випадкових величин: математичне сподівання, дисперсія, середнє квадратичне відхилення, мода, медіана, початкові і центральні моменти, асиметрія та ексцес.

3. Задача.В магазин надходять однотипні вироби з трьох заводів, причому з -го заводу надходить виробів . Серед виробів -го заводу першого сорту. Куплено один виріб. Він виявився першого сорту. Знайти ймовірність того, що придбаний виріб з -го заводу.

 

Викладач к. психол.н. Жогно Ю.П.

Зав. каф. СДЗ та МП д.м.н. Аймедов К.В.

 

Білет №9.

Теорія ймовірностей та математична статистика.

1. Визначення багатовимірної випадкової величини та її закон розподілу. Система двох дискретних випадкових величин, числові характеристики системи.

2. Коефіцієнт кореляції та його властивості.

3. Задача. Ймовірність виграшу в лотерею по одному білету дорівнює . Придбано білетів. Знайти найімовірніше число виграшних білетів та відповідну ймовірність.

Викладач к. психол.н. Жогно Ю.П.

Зав. каф. СДЗ та МП д.м.н. Аймедов К.В.

Білет №10.

Теорія ймовірностей та математична статистика.

1. Функція розподілу ймовірностей та густина ймовірностей системи, їх властивості.

2. Числові характеристики двох неперервних випадкових величин.

3. Задача.Ймовірність „збою” в роботі телефонної станції при кожному виклику рівна . Надійшло викликів. Знайти ймовірність „збоїв”.

 

 

Викладач к. психол.н. Жогно Ю.П.

Зав. каф. СДЗ та МП д.м.н. Аймедов К.В.

 

 

Білет №11.

Теорія ймовірностей та математична статистика.

1. Умовні закони розподілу та їх числові характеристики. Визначення кореляційної залежності.

2. Система n випадкових величин, числові характеристики системи.

3. Задача.Ймовірність настання деякої події в кожному з незалежних випробувань рівна . Знайти ймовірність того, що кількість настання події задовольняє нерівність.

Варіанти 1–11: .

Варіанти 12–21: .

Варіанти 22–30: .

 

 

Викладач к. психол.н. Жогно Ю.П.

Зав. каф. СДЗ та МП д.м.н. Аймедов К.В.

 

Білет №12.

Теорія ймовірностей та математична статистика.

1. Визначення функції випадкових величин. Функція дискретного випадкового аргументу та її числові характеристики.

2. Функції неперервного випадкового аргументу та її числові характеристики.

3. Задача. У першій урні білих і чорних кульок, в другій білих та чорних. З першої в другу переклали куль, потім з другої вийняли одну кулю. Знайти ймовірність того, що вийнята з другої урни куля – біла.

 

Викладач к. психол.н. Жогно Ю.П.

Зав. каф. СДЗ та МП д.м.н. Аймедов К.В.

 

Білет №13.

Теорія ймовірностей та математична статистика.

1. Визначення функції розподілу ймовірностей та її густини для функцій двох випадкових елементів.

2. Визначення цілочислової випадкової величини. Ймовірна твірна функція та її властивості.

3. За допомогою радіодалекоміра проведено 9 незалежних вимірювань до цілі. Оцінити точність визначення відстані до цілі з надійністю , якщо точність вимірювання характеризується серединною помилкою м.

 

Викладач к. психол.н. Жогно Ю.П.

Зав. каф. СДЗ та МП д.м.н. Аймедов К.В.

 

 

Білет №14.

Теорія ймовірностей та математична статистика.

1. Біноміальний, пуассонівський, геометричний та рівномірний закон розподілу.

2. Гіпергеометричний закон.

3. Цифри 0, 1, 2,..., 9 серед 800 перших десяткових знаків числа з’явились відповідно 74, 92, 83, 79, 80, 73, 77, 75, 76, 91 раз. Перевірити за допомогою критерію гіпотезу про згоду цих даних з законом рівномірного розподілу при рівні значимості .

 

 

Викладач к. психол.н. Жогно Ю.П.

Зав. каф. СДЗ та МП д.м.н. Аймедов К.В.

 

Білет №15.

Теорія ймовірностей та математична статистика.

1. Нормальний закон розподілу та його значення в теорії ймовірностей.

2. Логарифмічний нормальний закон. Гамма-розподіл.

3. За результатами 20 вимірювань визначено м і м. Оцінити точність визначення дисперсії з надійністю 0,96.

 

Викладач к. психол.н. Жогно Ю.П.

Зав. каф. СДЗ та МП д.м.н. Аймедов К.В.

 

Білет №16.

Теорія ймовірностей та математична статистика.

1. Експоненціальний закон та його використання у теорії надійності, теорії черг.

2. Рівномірний закон. Розподіл Х² , Х.

3. Партія виробів приймається, якщо ймовірність того, виріб виявиться бракованим, не перевищує 0,03. Серед випадково відібраних 400 виробів виявилось 18 бракованих. Чи можна партію прийняти?

 

Викладач к. психол.н. Жогно Ю.П.

Зав. каф. СДЗ та МП д.м.н. Аймедов К.В.

 

 

Білет №17.

Теорія ймовірностей та математична статистика.

1. Розподіл Стьюдента, Фішера.

2. Нерівність Чебишева та її значення.

3. Задача. Для порівняння точності двох приладів було виміряно деяку величину. За вимірюванням для першого приладу знайдено виправлену вибіркову дисперсію , за вимірюванням для другого приладу - . При рівні значимості перевірити, чи можна вважати точність приладів однаковою, чи другий прилад забезпечує більшу точність вимірювання.

 

Викладач к. психол.н. Жогно Ю.П.

Зав. каф. СДЗ та МП д.м.н. Аймедов К.В.

 

Білет №18.

Теорія ймовірностей та математична статистика.

1. Теорема Чебишева, Бернуллі.

2. Центральна гранична теорема теорії ймовірностей (теорема Ляпунова).

3. Нехай - вибірка з генеральної сукупності, в якій ознака, що досліджується, є випадковою величиною з щільністю розподілу:

 

Користуючись методом найбільшої правдоподібності, оцінити параметри і .

 

 

Викладач к. психол.н. Жогно Ю.П.

Зав. каф. СДЗ та МП д.м.н. Аймедов К.В.

 

Білет №19.

Теорія ймовірностей та математична статистика.

1. Визначення випадкового процесу та класифікація випадкових процесів. Закон розподілу й основні характеристики.

2. Пуассонівський потік та його властивості.

3. Для певного класу приладів допустиме розсіяння показів . Для перевірки точності одного приладу виконано вимірювань деякої величини і отримано виправлену вибіркову дисперсію . При рівні значимості перевірити, чи можна вважати, що цей прилад відповідає вимогам стандарту?

 

Викладач к. психол.н. Жогно Ю.П.

Зав. каф. СДЗ та МП д.м.н. Аймедов К.В.

 

 

Білет №20.

Теорія ймовірностей та математична статистика.

1. Генеральна та вибіркова сукупності. Статистичні розподіли вибірок. Полігон та гістограма.

2. Числові характеристики: вибіркова середня, дисперсія вибірки, середньоквадратичне відхилення, мода й медіана.

3. Визначення діаметра втулки виконано чотирма способами, точність яких характеризується дисперсіями мм . Результати вимірювань: мм. Визначити наближене значення діаметра втулки і оцінити його точність.

Викладач к. психол.н. Жогно Ю.П.

Зав. каф. СДЗ та МП д.м.н. Аймедов К.В.

 

Білет №21.

Теорія ймовірностей та математична статистика.

1. Емпіричні початкові і центральні моменти, асиметрія й ексцес.

2. Точкові та інтервальні статистичні оцінки. Виправлена дисперсія.

3. Припустимо, що час роботи електрогенератора має щільність розподілу:

 

і термін роботи семи електрогенераторів дорівнює 100; 110; 175; 150; 185; 150; 185; 200; 220 г. Користуючись методом найбільшої правдоподібності, оцінити параметри і .

 

Викладач к. психол.н. Жогно Ю.П.

Зав. каф. СДЗ та МП д.м.н. Аймедов К.В.

Білет №22.

Теорія ймовірностей та математична статистика.

1. Точність і надійність оцінки, визначення довірчого інтервалу.

2. Побудова довірчих інтервалів для за відомого σ_г і за невідомого.

3. Протягом 502 днів фіксувалась кількість автоматичних відхилень електродвигунів внаслідок перевантаження.

У таблиці подано кількість днів, протягом яких спостерігалось відхилень. Перевірити, користуючись критерієм (Пірсона), гіпотезу про згоду даних спостережень з законом розподілу Пуассона, прийнявши рівень значимості .

 

Викладач к. психол.н. Жогно Ю.П.

Зав. каф. СДЗ та МП д.м.н. Аймедов К.В.

Білет №23.

Теорія ймовірностей та математична статистика.

1. Побудова інтервалів для D_г . σ_г.

2. Визначення статистичної гіпотези. Нульова й альтернативна, проста й складна. Помилки першого і другого роду. Статистичний критерій, спостережене значення критерію.

3. Визначення швидкості снаряду було проведено на 5 випробуваннях, у результаті яких обчислено оцінку: м/с. Знайти 95%-й надійний інтервал, якщо відомо, що розсіювання швидкості підпорядковано нормальному закону з середнім відхиленням м/с.

 

Викладач к. психол.н. Жогно Ю.П.

Зав. каф. СДЗ та МП д.м.н. Аймедов К.В.

Білет №24.

Теорія ймовірностей та математична статистика.

1. Критична область, область прийняття нульової гіпотези, критична точка. Загальна методика побудови правобічної, лівобічної та двобічної критичних областей.

2. Перевірка правдивості статистичних гіпотез: про рівність двох генеральних середніх, двох дисперсій, ознаки яких мають нормальні закони розподілу, про значення вибіркового коефіцієнта кореляції.

3. Термін служби деякого типу електроламп потужністю 100Вт можна розглядати як випадкову величину з нормальним розподілом . Вибірка з 25 таких ламп забезпечує середню тривалість горіння 1380 г.

а) При рівні значимості перевірити гіпотезу відповідно до альтернативної гіпотези .

б) Яка потужність критерію для .

 

 

Викладач к. психол.н. Жогно Ю.П.

Зав. каф. СДЗ та МП д.м.н. Аймедов К.В.

 

 

Білет №25.

Теорія ймовірностей та математична статистика.

1. Емпіричні та теоретичні частоти.

2. Перевірка правдивості нульової гіпотези нормального закону розподілу.

3. Глибина моря вимірюється приладом, систематична помилка якого дорівнює нулю, а випадкові помилки розподілені нормально з середнім відхиленням м. Скільки потрібно зробити належних вимірювань, щоб визначити глибину з помилкою не більше 15 м при надійній ймовірності 90%.

 

Викладач к. психол.н. Жогно Ю.П.

Зав. каф. СДЗ та МП д.м.н. Аймедов К.В.

 

Білет №26.

Теорія ймовірностей та математична статистика.

1. Критерій узгодженості Смирнова.

2. Модель експерименту. Однофакторний аналіз. Таблиця результатів спостереження.

3. Досвід показує, що опір на розрив дротів, вироблених деяким підприємством, можна розглядати як випадкову величину , нормально розподілену з середнім квадратичним відхиленням, яке дорівнює 15 кг/с. Вибірка об’єму 9 призводить до середнього опору кг/с. Нехай - середнє значення опору на розрив.

а) Перевірити при рівні значимості гіпотезу відповідно до альтернативної гіпотези .

б) Визначити об’єм вибірки так, щоб критерій мав потужність 0,99.

 

 

Викладач к. психол.н. Жогно Ю.П.

Зав. каф. СДЗ та МП д.м.н. Аймедов К.В.

 

Білет №27.

Теорія ймовірностей та математична статистика.

1. Загальна дисперсія, міжгрупова та внутрішньо групова дисперсія. Незалежні оцінки дисперсії.

2. Загальний метод перевірки впливу фактора на ознаку способом порівняння дисперсій.

3. За даними 16 незалежних рівно точних вимірювань деякої фізичної величини знайдено середнє арифметичне результатів вимірювань і виправлене середнє квадратичне відхилення . Знайти справжнє значення вимірюваної величини з надійністю .

 

Викладач к. психол.н. Жогно Ю.П.

Зав. каф. СДЗ та МП д.м.н. Аймедов К.В.

 

Білет №28.

Теорія ймовірностей та математична статистика.

1. Поняття про двофакторний дисперсійний аналіз.

2. Функціональна, статистична і кореляційна залежності. Рівняння парної регресії.

3. Досвід показує, що міцніть автопокришки можна вважати випадковою величиною (30000 км/800 км ). Вносяться зміни в технологічний процес. Вибірка з 100 покришок має км. На основі цієї вибірки при рівні значимості чи можна зробити висновок, що новий метод призводить до погіршення міцності покришок?

 

Викладач к. психол.н. Жогно Ю.П.

Зав. каф. СДЗ та МП д.м.н. Аймедов К.В.

 

Білет №29.

Теорія ймовірностей та математична статистика.

1. Властивості статистичних оцінок параметрів парної функції регресії.

2. Вибірковий коефіцієнт кореляції та його властивості.

3. У 300 однотипних радіоламп було в заданих умовах перевірено силу анодного струму, причому в 60 з них вона виявилась вищою за гарантовану паспортом. Знайти з надійністю 0,95 межі інтервалу, який містить долю таких радіоламп серед усіх радіоламп даного типу.

 

Викладач к. психол.н. Жогно Ю.П.

Зав. каф. СДЗ та МП д.м.н. Аймедов К.В.

Білет №30.

Теорія ймовірностей та математична статистика.

1. Множинна регресія, визначення статистичних оцінок для параметрів лінійної множинної функції регресії.

2. Нелінійна регресія. Визначення статистичних оцінок для нелінійних функцій регресії.

3. Якою повинна бути кількість дослідів, щоб з надійністю 0,98 точність оцінки математичного сподівання була 0,2, якщо середнє квадратичне відхилення ?

 

Викладач к. психол.н. Жогно Ю.П.

Зав. каф. СДЗ та МП д.м.н. Аймедов К.В.