рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Математические модели и численные методы

Математические модели и численные методы - раздел Философия, Математические Модели И Численные ...

Математические модели и численные методы

1. Математическая постановка задачи и построение математической модели. На данном этапе требуется · определить, что дано, что надо получить; · выделить наиболее существенные свойства изучаемого объекта;

Структура погрешности при решении задачи на ЭВМ

R – точное решение задачи (результат); – приближенное решение задачи; ε – полная погрешность.

Решение уравнений с одной переменной

Постановка задачи

Рассмотрим уравнение вида F(x)=0, где F(x) – определенная и непрерывная на отрезке [a,b] функция.

Корнем уравнения F(x)=0 называется такое значение x*, которое обращает уравнение в верное равенство.

x* - корень уравнения F(x)=0x* - нуль функции y=F(x).

Решить уравнение – значит установить, имеет ли оно корни, сколько корней, и найти их значения с заданной степенью точности.

Нахождение корней уравнения состоит из двух этапов:

I. Отделение корней – выделение промежутков, содержащих ровно 1 корень.

II. Уточнение корней – нахождение корней с заданной степенью точности.

Отделение корней

Отделение корней может осуществляться графически или программным путем.

I. Графический способ отделения корней

Если на отрезке [a,b] функция y=F(x) определена и непрерывна, и на его концах принимает значения разных знаков (т.е. F(a)F(b)<0), то уравнение…      

II. Отделения корней программным способом.

  Правильность нахождения отрезков, содержащих один корень, зависит от характера функции y=F(x) и от величины шага h.…

Уточнение корней

Уточнение корней может осуществляться различными методами.

Метод половинного деления

2) F(a)F(b)<0 Требуется найти корень на отрезке с точностью ε. Разделим отрезок [a,b] пополам точкой . Если , то возможны два случая: 1) F(x) меняет знак на отрезке [a; c];

Метод хорд

В качестве приближений к корню принимаются значения c0, c1, c2… точек пересечения хорды с осью абсцисс или Точка c делит отрезок [a,b] на две части. Ту из них, на которой функция знака… В качестве условия окончания счета можно принять условия:

Метод касательных

Требуется найти корень на отрезке с точностью ε. На kой итерации проводится касательная к графику функции y=F(x) при x=ck и… Уравнение касательной к графику функции y=F(x) в точке x0 имеет вид: . Пересечение с осью Ox находится из условия y=0,…

Метод простой итерации

Теорема. Пусть уравнение x=f(x) имеет единственный корень на отрезке [a,b] и выполнены… 1) функция f(x) определена и дифференцируема на отрезке [a,b];

Оценка погрешности метода итераций

Пусть xn – приближение к истинному значению x* корня уравнения x=f(x).

Абсолютная ошибка Dxn=|x*-xn|.

Для оценки погрешности n-го приближения используется формула .

Значение q можно получить как верхнюю грань модуля производной |f’(x)| при xÎ[a,b]. Чем q меньше, тем быстрее сходится ряд.

Условие окончания счета

Преобразование к итерационному виду

Уравнение F(x)=0 приводится к равносильному уравнению x = x – m F(x), таким образом, f(x) = x – m F(x). Исходя из третьего условия теоремы: ($q) ("xÎ[a,b]) [… Достаточно подобрать m так, чтобы выполнялось неравенство 0<mF’(x)<1, откуда следует и .

Постановка задачи

Ее можно записать в матричном виде A x = B, где

Метод Гаусса

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными: Алгоритм состоит из двух этапов.

Метод простой итерации

1) r(x,y)³0 2) r(x,y)=0 • x=y 3) r(x,y)= r(y,x)

Решение СЛУ методом Зейделя

При решении СЛУ методом простой итерации каждый шаг итерационного процесса состоит в переходе от уже имеющегося приближения значений неизвестных к новому приближению.

Основная идея метода Зейделя состоит в том, что на каждом шаге итерационного процесса при вычислении значений yi учитываются уже полученные значения y1, y2,…,yi-1.

Условие α<1 является достаточным для сходимости итерационного процесса метода Зейделя. Причем метод Зейделя обеспечивает более быструю сходимость, чем метод простой итерации.

Запишем формулы для решения системы методом Зейделя:

 

Интерполирование функций

Постановка задачи

Требуется получить y=f(x) для xÏ[x0,xn], где x¹xi. При этом аналитическое выражение · не пригодно ля вычислений либо · неизвестно.

Интерполяционный многочлен Лагранжа

. Погрешность вычисляется по формуле: , где

Интерполяционный многочлен Ньютона для равноотстоящих узлов

Рассмотрим конечные разности: – конечные разности 1-го порядка – разности между значениями функции в… – конечные разности 2-го порядка – разности между конечными разностями 1-го порядка.

Первая интерполяционная формула Ньютона

– первая интерполяционная формула Ньютона.

Погрешность вычислений оценивается следующим образом:

Так при n=2

, где

Вторая интерполяционная формула Ньютона

Вторая интерполяционная формула Ньютона применяется, когда значение аргумента ближе к концу отрезка интерполяции (формула для интерполирования назад). .

Погрешность вычислений оценивается следующим образом:

.

 

Численное интегрирование

Для вычисления определенного интеграла используется формула Ньютона-Лейбница: ,

где F(x) – одна из первообразных функции f(x) (такая что F’(x)=f(x)).

Однако функция f(x) может быть задана таблицей или графиком, а также аналитически, но нахождение первообразной в аналитическом виде затруднительно. В этих случаях применяют методы приближенного (численного) интегрирования.

Формулы, используемые для приближенного вычисления однократных интегралов, называют квадратурными формулами.

Считая f(x) » Ln(x), на [a,b], получим

Формула трапеций

Формула на отрезке [x0, x1] имеет вид:

Для отрезка [a, b]: (*)

Погрешность: , где .

Программа численного интегрирования методом трапеций:

Блок-схема численного интегрирования методом трапеций:
     

 


Формула Симпсона

Формула на отрезке [x0, x2] имеет вид:

При n=2m применив формулу к каждой паре частичных отрезков [x2i-2, x2i] (i=1,2,…,m) получим формулу Симпсона:

Погрешность: , где

При вычислении по методу повторного счета можно использовать формулу: . Если при вычислении интеграла требуемая точность не достигнута (т.е. ), предусматривается повторный счет с шагом, уменьшенным вдвое.

 

Численное решение дифференциальных уравнений

Основные определения и постановка задачи

(1) Решением дифференциального уравнения (1) называется функция y(x), подстановка… График решения y=y(x) называется интегральной кривой.

Метод Эйлера

Угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в точке M0(x0,y0) равен . Найдем ординату y1 касательной, соответствующей абсциссе x1=x0+h. Уравнение касательной к кривой в точке M0 имеет вид или , откуда y1=y0+hf(x0,y0).

Методы Рунге-Кутта

; (i=1, 2, …, m) (7) , Метод называют методом Рунге-Кутта порядка P, если от имеет P-й порядок точности по шагу h на сетке.

Классический метод Рунге-Кутта

Метод Рунге-Кутта четвертого порядка получаем при

P=4, c1=0, c2= c3=1/2, c4=1, d1=d4=1/6, d2=d3=1/3

Расчетные формулы имеют вид:

; (i=1, 2, …, m) (9)

То есть берутся 4 направления и усредняются.

Для практической реализации погрешности решения можно применять правило Рунге, полагая P=4:

Метод наименьших квадратов

Постановка задачи

Поставим задачу об отыскании аналитической зависимости между x и y, т.е. некоторой формулы y=f(x). При этом потребуем, чтобы график искомой функции…    

Нахождение приближающей функции в виде линейной функции

Рассмотрим приближающую функцию в виде F(x,a,b) = ax+b.

Наша задача – отыскать значения параметров a и b.

Существует показатель, характеризующий тесноту линейной связи между X и Y. Это (выборочный) коэффициент корреляции. Он вычисляется по формуле:

Значение коэффициента корреляции всегда удовлетворяет соотношению: -1£r£1. Чем меньше отличается абсолютная величина r от единицы, тем ближе к линии регрессии располагаются экспериментальные точки.

Если коэффициент корреляции равен нулю, то говорят, что переменные X и Y некоррелированы.

Нахождение приближающей функции в виде других элементарных функций

1. Степенная функция: y=a xm

Прологарифмируем: ln y = ln a + m ln x

Замена: m = A, ln a = B ln y = v ln x = u

Получим функцию v = A u + B

 

2. Показательная функция: y=a emx

Прологарифмируем: ln y = ln a + m x

Замена: m = A, ln a = B ln y = vx = u

Получим функцию v = A u + B

 

3. Логарифмическая функция: y=a ln x + b

Замена: a = A, b = B y = v ln x = u

Получим функцию v = A u + B

 

– Конец работы –

Используемые теги: Математические, модели, Численные, Методы0.055

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Математические модели и численные методы

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Еще рефераты, курсовые, дипломные работы на эту тему:

Математические модели и численные методы
Постановка задачи... Рассмотрим уравнение вида F x где F x определенная и непрерывная на отрезке a b функция...

Методы решения жестких краевых задач, включая новые методы и программы на С++ для реализации приведенных методов
Стр. 8. Второй алгоритм для начала счета методом прогонки С.К.Годунова.Стр. 9. Замена метода численного интегрирования Рунге-Кутта в методе прогонки… Стр. 10. Метод половины констант. Стр. 11. Применяемые формулы… Стр. 62. 18. Вычисление вектора частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений. Стр. 19. Авторство.…

Математические методы и модели в расчетах на ЭВМ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение... высшего профессионального образования... Воронежская государственная лесотехническая академия Математические методы и модели в расчетах на...

Применение информатики, математических моделей и методов в управлении
Ускорение темпов научно-технического прогресса влечет за собой небывалый рост объемов производства и его концентрации. Возросшая сложность и динамичность производства, развитие специализации… Огромное количество информации, которую необходимо качественно переработать и представить в виде планов, различного…

Статистические показатели себестоимости продукции: Метод группировок. Метод средних и относительных величин. Графический метод
Укрупненно можно выделить следующие группы издержек, обеспечивающих выпуск продукции: - предметов труда (сырья, материалов и т.д.); - средств труда… Себестоимость является экономической формой возмещения потребляемых факторов… Такие показатели рассчитываются по данным сметы затрат на производство. Например, себестоимость выпущенной продукции,…

Численные методы решения краевых задач математической физики
На сайте allrefs.net читайте: "Численные методы решения краевых задач математической физики"

Сравнение эффективности методов сортировки массивов: Метод прямого выбора и метод сортировки с помощью дерева
При прямом включении на каждом шаге рассматриваются только один очередной элемент исходной последовательности и все элементы готовой… Полностью алгоритм прямого выбора приводится в прогр. 3. Таблица 2. Пример… Можно сказать, что в этом смысле поведение этого метода менее естественно, чем поведение прямого включения.Для С имеем…

Рабочая программа дисциплины модуля: Численные методы и математическое моделирование
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего... УТВЕРЖДАЮ...

Курсовая работа По дисциплине Математические модели и методы в торфяном производстве
Белорусский национальный технический университет... Факультет горного дела и инженерной экологии... Кафедра Горные машины...

по курсу “Математические модели и методы исследования
На сайте allrefs.net читайте: по курсу “Математические модели и методы исследования...

0.034
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • По категориям
  • По работам