Реферат Курсовая Конспект
Математические модели и численные методы - раздел Философия, Математические Модели И Численные ...
|
Решение уравнений с одной переменной
Постановка задачи
Рассмотрим уравнение вида F(x)=0, где F(x) – определенная и непрерывная на отрезке [a,b] функция.
Корнем уравнения F(x)=0 называется такое значение x*, которое обращает уравнение в верное равенство.
x* - корень уравнения F(x)=0 x* - нуль функции y=F(x).
Решить уравнение – значит установить, имеет ли оно корни, сколько корней, и найти их значения с заданной степенью точности.
Нахождение корней уравнения состоит из двух этапов:
I. Отделение корней – выделение промежутков, содержащих ровно 1 корень.
II. Уточнение корней – нахождение корней с заданной степенью точности.
Отделение корней
Отделение корней может осуществляться графически или программным путем.
Уточнение корней
Уточнение корней может осуществляться различными методами.
Оценка погрешности метода итераций
Пусть xn – приближение к истинному значению x* корня уравнения x=f(x).
Абсолютная ошибка Dxn=|x*-xn|.
Для оценки погрешности n-го приближения используется формула .
Значение q можно получить как верхнюю грань модуля производной |f’(x)| при xÎ[a,b]. Чем q меньше, тем быстрее сходится ряд.
Условие окончания счета
Решение СЛУ методом Зейделя
При решении СЛУ методом простой итерации каждый шаг итерационного процесса состоит в переходе от уже имеющегося приближения значений неизвестных к новому приближению.
Основная идея метода Зейделя состоит в том, что на каждом шаге итерационного процесса при вычислении значений yi учитываются уже полученные значения y1, y2,…,yi-1.
Условие α<1 является достаточным для сходимости итерационного процесса метода Зейделя. Причем метод Зейделя обеспечивает более быструю сходимость, чем метод простой итерации.
Запишем формулы для решения системы методом Зейделя:
Интерполирование функций
Первая интерполяционная формула Ньютона
– первая интерполяционная формула Ньютона.
Погрешность вычислений оценивается следующим образом:
Так при n=2
, где
Вторая интерполяционная формула Ньютона
Вторая интерполяционная формула Ньютона применяется, когда значение аргумента ближе к концу отрезка интерполяции (формула для интерполирования назад). .
Погрешность вычислений оценивается следующим образом:
.
Численное интегрирование
Для вычисления определенного интеграла используется формула Ньютона-Лейбница: ,
где F(x) – одна из первообразных функции f(x) (такая что F’(x)=f(x)).
Однако функция f(x) может быть задана таблицей или графиком, а также аналитически, но нахождение первообразной в аналитическом виде затруднительно. В этих случаях применяют методы приближенного (численного) интегрирования.
Формулы, используемые для приближенного вычисления однократных интегралов, называют квадратурными формулами.
Считая f(x) » Ln(x), на [a,b], получим
Формула трапеций
Формула на отрезке [x0, x1] имеет вид:
Для отрезка [a, b]: (*)
Погрешность: , где .
Программа численного интегрирования методом трапеций:
Блок-схема численного интегрирования методом трапеций: |
Формула Симпсона
Формула на отрезке [x0, x2] имеет вид:
При n=2m применив формулу к каждой паре частичных отрезков [x2i-2, x2i] (i=1,2,…,m) получим формулу Симпсона:
Погрешность: , где
При вычислении по методу повторного счета можно использовать формулу: . Если при вычислении интеграла требуемая точность не достигнута (т.е. ), предусматривается повторный счет с шагом, уменьшенным вдвое.
Численное решение дифференциальных уравнений
Классический метод Рунге-Кутта
Метод Рунге-Кутта четвертого порядка получаем при
P=4, c1=0, c2= c3=1/2, c4=1, d1=d4=1/6, d2=d3=1/3
Расчетные формулы имеют вид:
; (i=1, 2, …, m) (9)
То есть берутся 4 направления и усредняются.
Для практической реализации погрешности решения можно применять правило Рунге, полагая P=4:
Метод наименьших квадратов
Нахождение приближающей функции в виде линейной функции
Рассмотрим приближающую функцию в виде F(x,a,b) = ax+b.
Наша задача – отыскать значения параметров a и b.
Существует показатель, характеризующий тесноту линейной связи между X и Y. Это (выборочный) коэффициент корреляции. Он вычисляется по формуле:
Значение коэффициента корреляции всегда удовлетворяет соотношению: -1£r£1. Чем меньше отличается абсолютная величина r от единицы, тем ближе к линии регрессии располагаются экспериментальные точки.
Если коэффициент корреляции равен нулю, то говорят, что переменные X и Y некоррелированы.
Нахождение приближающей функции в виде других элементарных функций
1. Степенная функция: y=a xm
Прологарифмируем: ln y = ln a + m ln x
Замена: m = A, ln a = B ln y = v ln x = u
Получим функцию v = A u + B
2. Показательная функция: y=a emx
Прологарифмируем: ln y = ln a + m x
Замена: m = A, ln a = B ln y = vx = u
Получим функцию v = A u + B
3. Логарифмическая функция: y=a ln x + b
Замена: a = A, b = B y = v ln x = u
Получим функцию v = A u + B
– Конец работы –
Используемые теги: Математические, модели, Численные, Методы0.055
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Математические модели и численные методы
Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов