рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Философия
/
Основные определения и постановка задачи

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Основные определения и постановка задачи

Основные определения и постановка задачи - раздел Философия, Математические модели и численные методы Дифференциальное Уравнение 1-Го Порядка, Разрешенное Относительно Производной...

Дифференциальное уравнение 1-го порядка, разрешенное относительно производной, имеет вид:

(1)

Решением дифференциального уравнения (1) называется функция y(x), подстановка которой в уравнение обращает его в тождество: .

График решения y=y(x) называется интегральной кривой.

Задача Коши для дифференциального уравнения (1) состоит в том, чтобы найти решение дифференциального уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию y(x₀)=y₀ (2). Пару чисел (x₀,y₀) называют начальными данными.

Решение задачи Коши называется частным решением дифференциального уравнения (1) при условии (2).

Геометрически задача Коши означает, что требуется найти интегральную кривую y=y(x), проходящую через заданную точку (x₀,y₀).

Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши.

Пусть функция f(x,y) – правая часть уравнения - непрерывна вместе со своей частной производной по переменной y в некоторой области D на плоскости. Тогда при любых начальных данных (x₀,y₀)ÎD задача Коши имеет единственное решение y=y(x).

При выполнении условий теоремы через точку (x₀,y₀) на плоскости проходит единственная интегральная кривая.

В классическом анализе разработано немало приемов решения дифференциальных уравнений, однако при решении практических задач эти методы не дают результата. В этом случае прибегают к методам приближенного решения дифференциальных уравнений. В зависимости от формы представления решения выделяют

· аналитические методы (решение в виде аналитического выражения);

· графические методы (решение в виде графика);

· численные методы (решение в виде таблицы).

Численное решение задачи Коши состоит в том, чтобы получить искомое решение y(x) в виде таблицы его приближенных значений аргумента x на некотором отрезке [a, b]:

x₀=a, x₁, x₂, …, x_m=b (3)

Точки (3) называют узловыми, множество этих точек называют сеткой на отрезке [a, b].

Как правило, используют равномерную сетку с шагом h:

x_i=x₀+ih (i=0, 1, …, m)

Приближенные значения численного решения задачи Коши в узловых точках обозначим y_i.

y_i » y(x_i), где (i=0, 1, …, m)

Начальное условие выполняется точно: y₀ = y(x₀).

Величина погрешности численного решения задачи Коши на сетке отрезка [a, b] оценивается величиной ,

т.е. расстоянием между векторами приближенного решения (y₀, y₁, …,y_m) и точного решения (y(x₀), y(x₁), …,y(x_m)) на сетке по m-норме.

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Математические модели и численные методы

Постановка задачи... Рассмотрим уравнение вида F x где F x определенная и непрерывная на... Корнем уравнения F x называется такое значение x которое обращает уравнение в верное равенство...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Основные определения и постановка задачи

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Математические модели и численные методы
Процесс решения задачи с использованием ЭВМ включает, как правило, следующие этапы: 1. Математическая постановка задачи и построение математической модели. На данном этапе

Структура погрешности при решении задачи на ЭВМ
Погрешность возникает на ряде этапов решения задачи. Введем обозначения: R – точное решение задачи (результат);

I. Графический способ отделения корней
а) Теорема. Если на отрезке [a,b] функция y=F(x) определена и непрерывна, и на его концах п

II. Отделения корней программным способом.
Пусть имеется уравнение F(x)=0, причем все корни находятся на отрезке [a,b]. Будем вычислять все значения функции y=F(x), начиная с точки x=a, двигаясь вправо шагом h

Метод половинного деления
Пусть 1) функция y=F(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b]. 2) F(a)F(b)<0 Требуется найти корень на отрезке с точностью ε. Разделим отр

Метод хорд
Пусть 1) функция y=F(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b]. 2) F(a)F(b)<0. Требуется найти корень на отрезке с точностью ε. В качестве приближений

Метод касательных
Пусть функция y=F(x) определена, непрерывна, монотонна и дифференцируема в некоторой окрестности корня. Требуется найти корень на отрезке с точностью ε. На k

Метод простой итерации
Заменим уравнение F(x)=0 равносильным уравнением x = f(x). Теорема. Пусть уравнение x=f(x) имеет единственный корень на отрезке [a,b] и выполнены услов

Преобразование к итерационному виду
1) Универсальный способ приведения уравнения F(x)=0 к виду x=f(x). Уравнение F(x)=0 приводится к равносильному уравнению x = x – m F(x), таким образом, f(x)

Постановка задачи
Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными: Ее можно записать в мат

Метод Гаусса
Метод Гаусса относится к точным методам, однако вычислительная ошибка присутствует всегда (ошибка округления и, возможно, ошибка исходных данных). Рассмотрим систему m линейных урав

Метод простой итерации
Функцию r(x,y), определяющую расстояние между точками x и y множества X назовем метрикой, если 1) r(x,y)³0 2) r(x,y)=0 • x=y

Постановка задачи
Пусть известны значения функции f в некоторых точках: x x0 x0 x0

Интерполяционный многочлен Лагранжа
Пусть функция задана таблицей (1). Построим интерполяционный многочлен Ln(x), чья степень не превосходит n, и для которого выполнены условия (2). Получим интерполяционный м

Интерполяционный многочлен Ньютона для равноотстоящих узлов
Рассмотрим случай, когда h=xi+1 – xi=const (i=0, 1, …). Рассмотрим конечные разности:

Метод Эйлера
В основе метода Эйлера лежит идея графического построения решения дифференциального уравнения, этот метод называется также методом ломаных Эйлера. Угловой коэффициент касательной к интегра

Методы Рунге-Кутта
Численные методы решения задачи Коши , y(x0)=y0 на равномерной сетке {x0

Постановка задачи
Пусть данные некоторого эксперимента представлены в виде таблицы: xi x1 x2