1. Метод інваріантної імпульсної характеристики
2. Прямі методи синтезу
3. Субоптимальний синтез нерекурсивних фільтрів з використанням вікон
4. Фільтри з косінусоідальное згладжуванням АЧХ
13.1. Короткі теоретичні відомості та методичні вказівки
Під проектуванням (або синтезом) цифрового фільтру понімается вибір таких наборів коефіцієнтів {аi} і {bi}, при яких характеристики получающегося фільтра задовольняють заданим вимогам. Строго кажучи, в завдання проектування входить і вибір відповідної структури фільтра. Це особливо актуально при реалізації фільтрів «у залізі» - з використанням спеціалізованих БІС чи цифрових процесорів.
Методи синтезу цифрових фільтрів можна класифікувати за різними ознаками:
□ за типом одержуваного фільтра:
○ методи синтезу рекурсивних фільтрів;
○ методи синтезу нерекурсивних фільтрів;
□ по наявності аналогового прототипу:
○ методи синтезу з використанням аналогового прототипу;
○ прямі (без використання аналогового прототипу) методи синтезу.
13.2.Метод інваріантної імпульсної характеристики
Метод інваріантної імпульсної характеристики (impulse invariance) дозволяє синтезувати рекурсивний дискретний фільтр шляхом дискретизації імпульсної характеристики аналогового прототипу.
Як приклад синтезуємо методом інваріантної імпульсної характеристики ФНЧ Чебишева 2-го порядку з частотою зрізу 10 кГц, причому спеціально виберемо недостатньо високу частоту дискретизації (48 кГц), щоб добре бачити ефекти, пов'язані з накладенням зсунутих копій спектру.
function Example13_1
f0=10e3; % частота зрізу
[b, a]=cheby1(2, 3, f0*2*pi, 's'); % аналоговий фільтр
Fs=48e3; % частота дискретизації
[bz, az]=impinvar(b, a, Fs); % дискретний фільтр
[hz, wz]=freqz(bz, az, [], Fs, 'whole');
h=freqs(b, a, 2*pi*wz);
plot(wz, abs(h), ':')
hold on
plot(wz, abs(hz))
hold off
xlabel('Frequency (Hz)')
ylabel('Magnitude')
xlim([0 Fs])
grid on
На екрані АЧХ аналогового прототипу (пунктир) і дискретного фільтра (суцільна лінія) синтезованого методом інваріантної імпульсної характеристики
13.3. Прямі методи синтезу
Назва «прямі методи» означає, що в даному випадку не використовується аналоговий прототип. Вихідними даними для синтезу служать будь-які параметри фільтра (частіше за все - його АЧХ), які можуть задаватися, взагалі кажучи, довільно.
Прямі методи синтезу можна розділити на дві категорії:
□ оптимальні методи, в яких чисельними ітераційними методами шукається мінімум заданої функції якості;
□ субоптимальні методи, не дають в точності оптимального рішення, але дозволяють значно спростити обчислення в порівнянні з оптимальними методами. Як правило, ці методи використовують специфіку розв'язуваної задачі, наприклад дробово-раціональний вид функції передачі рекурсивного фільтра або експонентний вигляд окремих доданків його імпульсної характеристики.
13.4. Субоптимальний синтез нерекурсивних фільтрів з використанням вікон
Даний метод призначений для синтезу нерекурсивних фільтрів. Ідея його дуже проста. Перш за все, ми задаємо бажаний комплексний коефіцієнт передачі у вигляді безперервної функції, визначеної в діапазоні частот від нуля до частоти Найквіста (якщо синтезується речовинний фільтр) або до частоти дискретизації (якщо проектується комплексний фільтр). Зворотне перетворення Фур'є цієї характеристики, що обчислена з урахуванням її періодичного характеру, дасть нескінченну в обидві сторони послідовність відліків імпульсної характеристики. Для отримання реалізованого нерекурсивний фільтра заданого порядку ця послідовність буде скорочуватися - з неї вибирається центральний фрагмент потрібної довжини.
Просте усікання послідовності відліків імпульсної характеристики відповідає використанню прямокутного вікна.
Для отримання фільтра 32-го порядку вибираємо 33 відліка цієї імпульсної характеристики, розташованих симетрично відносно нуля, тобто, використовуємо k = -16 ... 16. Вибір симетричного фрагментаНІХдозволяє отримати фільтр з лінійною ФЧХ і, отже, постійної груповий затримкою, рівної (в отсчетах) половині порядку фільтра.
Скористаємося будь-якої ваговій функцією, наприклад вікном Хеммінга, яке використовується за умовчанням при синтезі фільтрів даним методом в MATLAB (функції fir1 і fir2).
function Example13_2
k =( -16:16)';
b = sinc(k/4)/4;
impz(b) % графік імпульсної характеристики
figure
[h, f]=freqz(b, 1, [], 2);
plot(f, 20*log10(abs(h))) % графік АЧХ в децибелах
ylim([-50 10])
grid on
figure % на екрані імпульсна характеристика і АЧХ ФНЧ, синтезованого за допомогою прямокутного вікна
b1 = b.*hamming(33);
impz(b1) % графік імпульсної характеристики
figure
[h1, f]=freqz(b1, 1, [], 2);
plot(f, 20*log10(abs(h1))) % графік АЧХ в децибелах
ylim([-80 10])
grid on % на екрані імпульсна характеристика і АЧХ ФНЧ, синтезованого за допомогою вікна Хеммінга
13.5. Фільтри з косінусоідальним згладжуванням АЧХ
Розрахунок фільтрів з косінусоідальним згладжуванням АЧХ слід віднести до категорії методів, заснованих на вагових функціях. Вони отримали широке поширення в телекомунікаційних системах.
Будемо використовувати коефіцієнт згладжування α = 0,25 і розрахуємо фільтр 32-го порядку, взявши k в діапазоні -16...16.
function Example13_3
k = -16:16;
alpha = 0.25; % коефіцієнт згладжування
w = cos(alpha*pi*k/4) ./ (1-(alpha*k/2).^2);
w(isinf(w)) = pi/4; % усунення невизначеності
b = w.*sinc(k/4)/4;
impz(b) % графік імпульсної характеристики
figure
[h, f]=freqz(b, 1, [], 2);
plot(f, 20*log10(abs(h)))
ylim([-60 10])
grid on % на екрані імпульсна і частотна характеристики дискретного фільтра з косінусоідальное згладжуванням АЧХ.
Питання для самоперевірки
1. У чому полягає метод інваріантної імпульсної характеристики?
2. У чому полягають прямі методи синтезу?
3. У чому полягає субоптимальний синтез нерекурсивних фільтрів з використанням вікон?
4. Що таке фільтри з косінусоідальним згладжуванням АЧХ?