Однотональна AM

Для розуміння суті амплітудної модуляції і спектральної структури АМ-сигналу корисно докладніше розглянути окремий випадок, коли модулюючий сигнал є гармонійним. Відношення між амплітудами модулюючого сигналу А_м і несучого коливання А₀ називається коефіцієнтом модуляції або глибиною модуляції: m = А₀/А₀. З урахуванням цього можна записати:

function Example15_2

Fs = 100; % % частота дискретизації

t = -10:1/Fs:10; % дискретний час

omega0 = 10; % несуча частота

OMEGA = 1; % частота модулюючого сигналу

s_AM_0 = cos(omega0 * t);

s_AM_50 = (1+0.5*cos(OMEGA*t)).* cos(omega0 * t);

s_AM_100 = (1+ cos(OMEGA*t)).* cos(omega0 * t);

subplot(3, 1, 1)

plot(t, s_AM_0) % модуляція відсутня

subplot(3, 1, 2)

plot(t, s_AM_50) % глибина модуляції 50%

subplot(3, 1, 3)

plot(t, s_AM_100) % глибина модуляції 100%

На екрані показано вигляд однотонального АМ-сигналу при різних значеннях коефіцієнта модуляції.

Зазвичай коефіцієнт модуляції повинен лежати в діапазоні 0 ...1. При m > 1 має місце перемодуляція: підстановка таких значень в наведену формулу дає наступний результат:

 

figure

A_AM_150 = 1 + 1.5*cos(OMEGA*t);

s_AM_150=A_AM_150.*cos(omega0*t);% глибина модуляції 150%

plot(t, s_AM_150, t, abs(A_AM_150), '--')

% на екрані показано вигляд однотонального АМ-сигналу в разі перемодуляції (m = 1,5).

АМ-сигнал у загальному випадкує результат множення модулюючого сигналу (з доданою постійною складовою) на гармонійне несуче коливання.

Спектр огинаючої A(t) при амплітудної модуляції зсувається в область несучої частоти ± w₀, «роздвоюючись» і зменшуючись в два рази за рівнем. Покажемо це на графіку:

function Example15_3

w = -20:0.1:20; % значення частот для розрахунку

w0 =10; % несуча частота

S_A = 1./(1+w.^2); % спектр сигналу, що модулює

% спектр модульованого сигналу

S_AM = 0.5 ./(1+(w+w0) .^2) + 0.5./(1+(w-w0).^2);

plot(w, S_A, '--', w, S_AM)

На екрані показані спектри огинаючої (пунктирна лінія) і АМ-сигналу (суцільна лінія).

Отже, спектр АМ-сигналу в загальному випадку містить несучу частоту (рівень якої визначається постійною складовою огинаючої), а також верхню і нижню бічні смуги.

Обчислимо значення спектральної функції АМ-сигналу на несучій частоті:

Перший доданок - поділена навпіл постійна складова модулюючого сигналу. А ось другий доданок представляє собою «хвіст» від другої «половинки» спектру, сконцентрованої в області негативних частот, в околицях частоти -w₀. Слід мати на увазі, що, оскільки всі реальні сигнали мають кінцеву тривалість (і, отже, нескінченно протяжний спектр), дане явище накладання «хвостів» завжди буде мати місце. У більшості практичних ситуацій, однак, несуча частота значно перевищує ефективну граничну частоту спектра обвідної, так що вплив даного ефекту дуже малий.

Графічно проілюструємо накладення «хвостів» зсунутих копій спектру, зменшивши в розглянутому раніше прикладі несучу частоту:

function Example15_4

w = -5:0.1:5; % значення частот для розрахунку

w0 = 2; % несуча частота

S_A = 1./(1+w.^2); % спектр сигналу, що модулює

% спектр модульованого сигналу

S_AM = 0.5./(1+(w+w0).^2) + 0.5./(1+(w-w0).^2);

plot(w, S_A, '--', w, S_AM) % На екрані показано, що при недостатньо високою несучою частоті спектр АМ-сигналу (суцільна лінія) може бути істотно несиметричним щодо несучої частоти через накладення хвоста

15.4.Енергетичні співвідношення в АМ-сигналі

Повернемося до розгляду однотонального АМ-сигналу, щоб з'ясувати, як розподіляється потужність у його спектрі. Введемо в розгляд коефіцієнт корисної дії (ККД) амплітудної модуляції, визначивши його як відношення потужності бічних частот до загальної середньої потужності сигналу. Побудуємо графік залежності ККД від коефіцієнта модуляції т:

function Example15_5

m = 0:0.01:1;

eta = m.^2./(m.^2+2);

plot(m, eta)

xlabel('m')

ylabel('eta_{AM}') % На екрані показано залежність ККД від коефіцієнта амплітудної модуляції.

Демодуляція AM-сигналу може бути виконана кількома способами. Найпростіший шлях - імітувати роботу аналогового двухполуперіодного детектора. Ми обчислюємо модуль вхідного АМ-сигналу, а потім згладжуємо получені однополярні косінусоідальні імпульси, пропускаючи їх через ФНЧ:

function Example15_6

Fs = 100;

t = -10:1/Fs:10;

omega0 = 10;

OMEGA = 1;

s_AM_50 = (1+0.5*cos(OMEGA*t)).* cos(omega0 * t);

y = abs(s_AM_50);

[b, a]= butter(5, 2*OMEGA/pi/Fs);

z = filtfilt(b, a, y);

plot(t(1:1000), y(1:1000), '--', t(1:1000), z(1:1000))

На екрані показано двохполуперіодне детектування АМ-сигналу: однополярні імпульси (пунктирна лінія) і результат їх згладжування (суцільна лінія). Даний спосіб, очевидно, не буде працювати правильно в разі перемодуляції.

Наступний метод - так зване синхронне детектування, суть якого полягає в множенні частоти сигналу на опорне коливання:

figure

y = s_AM_50 .* cos(omega0 * t);

[b, a] = butter(5, 2*OMEGA/pi/Fs);

z = filtfilt(b, a, y);

plot(t(1:1000), y(1:1000), '--', t(1:1000), z(1:1000))

На екрані показано синхронне детектування АМ-сигналу: результат множення на опорне коливання (пунктирна лінія) і виділений низькочастотний сигнал (суцільна лінія).

Перевагою синхронного детектування є те, що воно дозволяє правильно демодулювати сигнал навіть у випадку перемодуляції.

Питання для самоперевірки

1. Що таке амплітудна модуляція?

2. Що таке однотональна модуляція?

3. Що таке АМ-сигнал у загальному випадку?

4. Які енергетичні співвідношення в АМ-сигналі?

5. Що таке демодуляція?