Порядок виконання роботи

1. Зв'язок АЧХ з розташуванням нулів і полюсів.

2. Розрахунок частотних характеристик.

3. Побудова графіків фазочастотних характеристик.

5.1. Короткі теоретичні відомості та методичні вказівки

Дана лабораторна робота присвячена не цифровий, а аналогової обробки сигналів. Її мета – дати читачу уявлення про характеристики та способи опису аналогових систем. Розуміння цих питань необхідно для більш глибокого сприйняття теорії дискретних систем, оскільки багато методів аналізу аналогових і дискретних систем знаходяться у тісному родинному зв’язку. Крім того, в основі ряду методів проектування дискретних фільтрів лежить використання аналогових прототипів, тому кваліфіковане застосування цих методів також вимагає знайомства з теорією аналогових систем.

5.2. Класифікація систем

Системи, які використовуються для перетворення сигналів, мають найрізноманітніші фізичні характеристики та можуть класифікуватися за різними ознаками.

Найважливішою класифікаційною ознакою є лінійність або нелінійність системи. Лінійними називаються системи, для яких виконується принцип суперпозиції: реакція на суму сигналів дорівнює сумі реакцій на ці сигнали, подані на вхід окремо. Системи, для яких принцип суперпозиції не виконується, називаються нелінійними.

Наступним критерієм класифікації систем є сталість або мінливість їх характеристик у часі. Якщо довільна затримка подається на вхід сигналу призводить лише до такої ж затримки вихідного сигналу, не змінюючи його форми, система називається стаціонарною, або системою з постійними параметрами. В іншому випадку система називається нестаціонарної, параметричної або системою із змінними параметрами.

Два зазначених способу класифікації ділять системи на чотири класи. У даній лабораторній роботі мова в основному піде про лінійних стаціонарних системах.

5.3. Способи опису лінійних систем

5.3.1. Диференціальне рівняння

Зв'язок між вхідним і вихідним сигналами лінійного ланцюга може бути виражена у вигляді диференціального рівняння (ДР) виду

(5.1)

Тут x(t) - вхідний сигнал, у(t) - вихідний сигнал, а_i і b_i - постійні коефіцієнти. Таким чином, ланцюг описується наборами коефіцієнтів а_i і b_i.

Повинно виконуватися нерівність т < п, тобто максимальний порядок похідної вхідного сигналу не може перевищувати максимального порядку похідної вихідного сигналу. Це пов'язано з неможливістю реалізації операції «чистого» диференціювання аналогової ланцюгом. Значення п називається порядком ланцюга.

Якщо задати конкретний вид вхідного сигналу x(t), вийде лінійне неоднорідне диференційне рівняння з постійними коефіцієнтами. Вирішення цього ДР дає вихідний сигнал y(t).

5.3.2. Функція передачі

Якщо застосувати до обох частин наведеного в попередньому розділі ДР (5.1) перетворення Лапласа, вийде вираз для операторного коефіцієнта передачі, або функції передачі ланцюга (transfer function):

(5.2)

Тут а_i і b_i - ті ж постійні коефіцієнти, що і в наведеному раніше ДР.

5.3.3. Нулі і полюси

Розклавши чисельник і знаменник функції передачі (5.2) на множники, ми отримаємо функцію передачі в наступному вигляді:

(5.3)

Тут k = b_m /a_n - коефіцієнт посилення (gain), z_i - нулі функції передачі (zero), p_i - полюси функції передачі (pole). У точках нулів H(z_i)= 0, а в точках полюсів .

У даному випадку ланцюг описується набором параметрів (z_i), (p_i), k. Для дійсних систем нулі функції передачі є речовими або становлять комплексно-зв'язані пари. Те ж відноситься і до полюсів. Коефіцієнт посилення таких систем завжди речовинний. У випадку комплексних систем нулі, полюси і коефіцієнт передачі можуть приймати довільні комплексні значення.

5.3.4. Зв'язок АЧХ з розташуванням нулів і полюсів

Формула (5.3) дає можливість наочно показати, як впливає розташування нулів і полюсів на АЧХ ланцюга. Різниці виду (s - z_i), добуток яких дає чисельник формули (5.3), можна уявити на комплексній площині у вигляді векторів, що з'єднують точки z_i і точку, розташовану на уявної осі. Аналогічним чином можна показати на комплексній площині і різниці (s – р_i), добуток яких дає знаменник формули (5.3).

Таким чином розташування нулів і полюсів дозволяє зробити висновок про те, що АЧХ системи повинна мати піки в районі частот і і провал в районі . При цьому пік в районі частоти повинен бути виражений яскравіше, ніж пік в районі частоти , так як відповідна пара полюсів розташована ближче до уявної осі.

function Example5_1

z=[0.5+2i 0.5-2i]'; % нулі ф-ції передачі

p=[-1+1i -1-1i -1.5+3i -1.5-3i]'; % полюси ф-ції передачі

k=1; % загальний коефіцієнт посилення

[b, a]=zp2tf(z, p, k); % шукаємо ф-цію передачі

w=0:0.01:5; % сітка частот для аналізу

h=freqs(b, a, w); % розрахунок коефіцієнта передачі

plot(w, abs(h)) % графік АЧХ

grid on %

На екрані АЧХ ланцюга підтверджує передбачення, зроблені виходячи з розташування нулів і полюсів.